高等流體力學(xué)第一章

高等流體力學(xué)主講人：孫寶江中國石油大學(xué)〔華東〕2/18/20241工程流體力學(xué)從實用角度，對工程中涉及的問題建立相應(yīng)的理論根底，并進行計算。靜力學(xué)運動學(xué)動力學(xué)引言以理想流體為主2/18/20242高等流體力學(xué)以理論分析為主，討論實際流體運動規(guī)律。運動學(xué)動力學(xué)以實際流體為主2/18/20243主要內(nèi)容：第一章場論與張量分析初步第二章流體運動學(xué)第三章流體力學(xué)根本方程組第四章粘性流動根底第五章Navier-Stokes方程的解第六章邊界層理論第七章流體的旋渦運動第八章湍流理論2/18/20244第一章場論與張量分析初步第一節(jié)

場論簡述第二節(jié)

張量初步2/18/20245第一節(jié)

場論簡述

根本概念場的幾何表示標(biāo)量場的梯度向量的散度向量的旋度哈密頓算子▽和場論的根本運算公式2/18/20246一

根本概念場〔field〕：設(shè)在空間中的某一區(qū)域內(nèi)定義標(biāo)量函數(shù)或矢量函數(shù)，那么稱定義在此空間區(qū)域內(nèi)的函數(shù)為場。標(biāo)量場〔scalarfield〕：向量場〔vectorfield〕：均勻場〔homogeneousfield〕：非均勻場〔non-homogenousfield〕：定常流場〔steadyfield〕：非定常流場(unsteadyfield)：2/18/20247二、場的幾何表示1、scalarfield：用等值線〔面〕表示令：2、

vectorfield：大小：標(biāo)量，可以用上述等線面的概念來幾何表示。方向：采用矢量線來幾何地表示。矢量線：線上每一點的切線方向與該點的矢量方向重合。變化快等值線〔面〕2/18/20248矢量線方程：設(shè)是矢量線的切向元素，那么據(jù)矢量線的定義有直角坐標(biāo)：

那么〔1〕式變成：所以有：〔向量線方程〕向量管：在場內(nèi)取任一非向量的封閉曲線C，通過C上每一點作矢〔向〕量線，那么這些矢量曲線的區(qū)域為向量管。0向量管〔1〕2/18/20249

三、標(biāo)量場的梯度

1、定義：，

其中：為單位法向量。表征大小為，方向為的矢量為標(biāo)量函數(shù)的梯度。

2、意義：它描述了M點鄰域內(nèi)函數(shù)的變化狀況，是標(biāo)量場不均勻的量度。

2/18/202410梯度意義的證明：如圖，設(shè)方向單位向量那么而函數(shù)沿方向的變化為：

＝另：與同向時，最大MM1M'流場中兩相鄰等勢線2/18/2024113、梯度的性質(zhì)a〕滿足關(guān)系式： 證明：

=

2/18/202412b)假設(shè)任給一封閉曲線L，，且是矢徑的單值函數(shù)，那么：

證明：2/18/202413四、向量的散度(divergence)1、預(yù)備知識a.向量通過曲面的通量〔flux〕：

b.Gauss定理：假設(shè)，，在有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么：2/18/2024142、散度的定義于是Gauss定理可以寫作：2/18/202415例1：任一不可壓流場，，在流場中一點M取微元體，那么密速〔密度速度〕變化量

點源：·Source點匯：·Sink例2：令有2/18/202416五、向量的旋度〔rotation〕

1、預(yù)備知識

a.向量的環(huán)量〔Circulation〕b.Stokes定理：

(L圍成S，S單連通〕LS

XZY2/18/202417

2、旋度的定義 =

于是Stokes定理可以寫成：2/18/202418

例題3：

2/18/2024193、

無旋場〔irrotationalfield〕a)

定義的矢量場稱為無旋場b)

性質(zhì):無旋場就是位勢場，即

證明：設(shè)

即〔無旋，存在勢〕2/18/202420六、哈密頓算子▽和場論的根本運算公式1、哈密頓算子的定義：它具有矢量和對它右邊的量微分的雙重性因此：

2/18/2024212、根本運算公式：

1)

2)

2/18/2024223〕證明：令，

2/18/2024234〕證明：

注：

5〕2/18/202424

6〕證明：根據(jù)柯青法那么

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯青的運算法那么：當(dāng)除了一個矢量之外，其他的矢量都是常數(shù)時，應(yīng)該這樣來變換表達式，以使得所有常矢量都位于算子之前，而變量那么位于它之后。2/18/2024257〕證明：

XZY順變?yōu)檎孀優(yōu)樨?/18/2024268〕9〕10〕2/18/2024273、哈密頓算子對積分的應(yīng)用：

由Gauss定理有：

2/18/202428第二節(jié)

張量初步張量的定義張量的表示法幾種特殊的二階張量張量的運算2/18/202429一、張量的定義1、指標(biāo)和符號1.1自由指標(biāo)如矢量，其分量可表示為，；那么稱為自由指標(biāo)。1.2約定求和法那么和啞指標(biāo)約定在同一項中，如有兩個指標(biāo)相同，就表示對該指標(biāo)從1到3求和。這個約定稱為愛因斯坦求和約定。這重復(fù)的指標(biāo)稱為啞指標(biāo)。如：2/18/2024301、指標(biāo)和符號1.3克羅內(nèi)克爾符號定義：于是：,因此，具有替換下標(biāo)的作用。例:例：為什么2/18/2024311.4置換符號〔〕

〔注：偶排列123，231，312〕例題1：2/18/202432因為2/18/202433例題2：例題3：2/18/2024341.5恒等式

證明：令2/18/202435２、張量的定義

張量是由一組分量所構(gòu)成的集合，這組分量在坐標(biāo)改變時應(yīng)滿足一定的坐標(biāo)變換關(guān)系，以保證該張量本身所描述的一個完整的幾何對象或物理量對象不隨坐標(biāo)的變換而變化。x1X’3X’2X’1x3x2笛卡爾坐標(biāo)2/18/202436２、張量的定義

,分別是新舊坐標(biāo)系的單位基矢量

為新舊坐標(biāo)之間不同坐標(biāo)軸夾角的方向余弦x1X’3X’2X’1x3x2笛卡爾坐標(biāo)2/18/2024372.1對于流場中P點，標(biāo)量在新舊坐標(biāo)，中，量值不變。2.2對于流場中的矢量，新舊關(guān)系：基矢：

(1)在新舊坐標(biāo)系中表示為：(2)

于是：

其中是新舊坐標(biāo)中不同坐標(biāo)軸夾角的余弦。

〔3〕新舊2/18/202438〔3〕式給出了矢量的另一種定義：即對每一個直角坐標(biāo)系來說，有三個量，它根據(jù)〔3〕式變換到另一個坐標(biāo)系中的三個量中去，那么此三個量定義一新的量，稱為矢量。假設(shè)將矢量以坐標(biāo)變換的根底定義〔3〕加以推廣，可得張量的定義。2/18/2024392.3流場中點的應(yīng)力狀態(tài)它有9個分量來表示舊坐標(biāo)中基應(yīng)力矢量：〔4〕新坐標(biāo)系中，基應(yīng)力矢量〔5〕把〔4〕代入〔5〕有：〔6〕于是〔7〕而〔8〕i,k新坐標(biāo)系j,l舊坐標(biāo)系j,jl,lij2/18/202440上述矢量和應(yīng)力狀態(tài)，它們在新舊坐標(biāo)系中分量的關(guān)系具有相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，稱這類量為張量，一般定義如下：由〔7〕，〔8〕,可得〔9〕凡符合〔9〕可變換規(guī)律的物理量稱為二階張量。另：假設(shè)在一直角坐標(biāo)系內(nèi)給定了3n個數(shù)，當(dāng)坐標(biāo)變換時，所得新的數(shù)那么稱此3n個數(shù)為一個n階張量。由此，標(biāo)量是零階張量，矢量是一階張量，應(yīng)力是二階張量。2/18/202441

二、張量的表示法一階：二階：或：

一階張量二階張量或2/18/202442三、幾種特殊的二階張量1．零張量：在任意直角坐標(biāo)系中各分量皆為零的量，以0表示2．單位張量：3．共軛張量：；4．對稱張量：；5．反對稱張量：；

2/18/2024436、并矢證明：為二階張量〔1〕〔2〕要證是二階張量只需證明〔3〕