2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊(cè) 4-2直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題 課件70張

第二章4.2直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.能從方程聯(lián)立的角度理解直線與橢圓、直線與雙曲線、直線與拋物線的位置關(guān)系(相交、相切、相離).2.會(huì)求有關(guān)圓錐曲線的弦長(zhǎng)、過(guò)焦點(diǎn)的弦、中點(diǎn)弦等問(wèn)題.3.逐步學(xué)會(huì)直線與圓錐曲線的綜合性問(wèn)題(定點(diǎn)、定值、最值、存在性等問(wèn)題).基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1.從幾何角度看,可分為三類(lèi):沒(méi)有公共點(diǎn),僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).2.從代數(shù)角度看,可通過(guò)將表示直線的方程代入圓錐曲線的方程消元后所得方程解的情況來(lái)判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.設(shè)直線l的方程為Ax+By+C=0(A,B不全為0),圓錐曲線方程f(x,y)=0.如消去y后得ax2+bx+c=0.(1)若a=0,當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí),直線l與雙曲線的漸近線平行;當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí),直線l與拋物線對(duì)稱軸平行(或重合).(2)若a≠0,設(shè)Δ=b2-4ac.當(dāng)Δ

0時(shí),直線和圓錐曲線相交于不同的兩點(diǎn);

當(dāng)Δ

0時(shí),直線和圓錐曲線相切于一點(diǎn);

當(dāng)Δ

0時(shí),直線和圓錐曲線沒(méi)有公共點(diǎn).

名師點(diǎn)睛在使用根的判別式判斷位置關(guān)系時(shí)一定注意討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0,點(diǎn)斜式設(shè)直線時(shí)注意考慮斜率是否存在.>=<過(guò)關(guān)自診1.[人教B版教材習(xí)題]舉例說(shuō)明,直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)不是它們相切的充分條件.提示

例如拋物線y2=4x與直線y=1只有一個(gè)公共點(diǎn),但它們相交.2.[人教B版教材習(xí)題]已知直線l:y=kx+2和橢圓C:=1.分別求直線l與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)、只有一個(gè)公共點(diǎn)和沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)k的取值范圍.知識(shí)點(diǎn)2

直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)問(wèn)題1.斜率為k(k不為0)的直線與圓錐曲線交于點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則所得弦長(zhǎng)|P1P2|=

或|P1P2|=

.

2.當(dāng)斜率k不存在時(shí),可求出交點(diǎn)坐標(biāo),直接運(yùn)算(用兩點(diǎn)間的距離公式).3.焦點(diǎn)弦:過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)的弦叫作焦點(diǎn)弦.4.通徑:若焦點(diǎn)弦垂直于焦點(diǎn)所在的圓錐曲線的對(duì)稱軸,此時(shí)焦點(diǎn)弦也叫通徑.名師點(diǎn)睛當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),不能用弦長(zhǎng)公式解決問(wèn)題,此時(shí)過(guò)關(guān)自診[人教B版教材習(xí)題]已知直線x-2y+2=0與橢圓x2+4y2=4相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).知識(shí)點(diǎn)3

圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題

點(diǎn)差法是解決“中點(diǎn)弦”問(wèn)題的特殊方法名師點(diǎn)睛因?yàn)棣?gt;0是直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件,故在求解有關(guān)弦長(zhǎng)、對(duì)稱問(wèn)題時(shí),務(wù)必要檢驗(yàn)Δ>0.過(guò)關(guān)自診1.[人教B版教材習(xí)題]已知斜率為2的直線AB過(guò)拋物線y2=8x的焦點(diǎn),求弦AB的長(zhǎng).2.[人教B版教材習(xí)題]已知直線l:y=x-3與拋物線C:x2=-8y相交于A,B兩點(diǎn),且O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求弦長(zhǎng)|AB|以及線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo);(2)判斷

是否成立,并說(shuō)明理由.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【例1】

(1)若直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則k的值為(

)A.1 B.1或3 C.0 D.1或0D解析

由

得k2x2+(4k-8)x+4=0.若k=0,則直線為y=2,與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),符合題意.若k≠0,則Δ=0,即64-64k=0,解得k=1,所以直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),k=0或1.(2)已知直線y=kx-k+1與橢圓C:x2+my2=3恒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

(0,1)∪(1,2]

解析

∵曲線x2+my2=3表示橢圓,∴m>0且m≠1,由題意可知直線恒過(guò)定點(diǎn)(1,1),且該點(diǎn)在橢圓內(nèi)或在橢圓上,所以有1+m≤3,解得m≤2,∴m的取值范圍為(0,1)∪(1,2].規(guī)律方法

直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法用直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組的解的個(gè)數(shù),可以研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,即用代數(shù)法研究幾何問(wèn)題,這是解析幾何的重要思想方法,直線與圓錐曲線有無(wú)公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)問(wèn)題,實(shí)際上是研究方程組解的個(gè)數(shù)問(wèn)題.A(2)已知雙曲線x2-y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,動(dòng)直線l:y=kx+m與圓x2+y2=1相切,且與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為P1(x1,y1),P2(x2,y2),則x2-x1的最小值為(

)A探究點(diǎn)二圓錐曲線中的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦問(wèn)題(1)求橢圓的方程;角度2.中點(diǎn)弦問(wèn)題【例3】

(1)已知雙曲線C:=1(a>0,b>0),斜率為1的直線與C交于兩點(diǎn)A,B,若線段AB的中點(diǎn)為(4,1),則雙曲線C的漸近線方程是(

)B(2)已知P(1,1)為橢圓

=1內(nèi)一定點(diǎn),經(jīng)過(guò)P引一條弦,使此弦被P點(diǎn)平分,則此弦所在的直線方程為

.

x+2y-3=0解析

(方法一)易知此弦所在直線的斜率存在,∴設(shè)其方程為y-1=k(x-1),弦所在的直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),A(x1,y1),B(x2,y2).(方法二)易知此弦所在直線的斜率存在,∴設(shè)斜率為k,弦所在的直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),規(guī)律方法

處理中點(diǎn)弦問(wèn)題常用的求解方法(1)點(diǎn)差法:即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后,代入圓錐曲線方程,并將兩式相減,式中含有x1+x2,y1+y2,三個(gè)未知量,這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率,借用中點(diǎn)公式即可求得斜率.(2)根與系數(shù)的關(guān)系:即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組,化為一元二次方程后,由根與系數(shù)的關(guān)系求解.(2)已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1(-2,0)和F2(2,0),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A,B兩點(diǎn),求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo).探究點(diǎn)三圓錐曲線中的定點(diǎn)或定值問(wèn)題角度1.定點(diǎn)問(wèn)題【例4】

已知橢圓

=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(0,1),其長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的平方和是焦距的平方的2倍.直線l與x軸正半軸和y軸分別交于點(diǎn)Q,P,與橢圓分別交于點(diǎn)M,N,各點(diǎn)均不重合且滿足(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若λ1+λ2=-3,試證明:直線l過(guò)定點(diǎn),并求此定點(diǎn).(1)解

設(shè)橢圓的焦距為2c,由題意知b=1,且(2a)2+(2b)2=2(2c)2,又a2=b2+c2,∴a2=3.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+y2=1.規(guī)律方法

定點(diǎn)問(wèn)題的探索與證明(1)探索直線過(guò)定點(diǎn)時(shí),可先設(shè)直線方程為y=kx+b,再利用條件建立b,k的等量關(guān)系進(jìn)行消元,借助于直線系的思想找出定點(diǎn).(2)從特殊情況入手,先探求定點(diǎn),再證明與變量無(wú)關(guān).(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P是直線x=1上的動(dòng)點(diǎn),直線PA與橢圓的另一交點(diǎn)為M,直線PB與橢圓的另一交點(diǎn)為N.求證:直線MN經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).角度2.定值問(wèn)題【例5】

如圖,已知拋物線C:x2=4y,過(guò)點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A,B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)證明:動(dòng)點(diǎn)D在定直線上;(2)作C的任意一條切線l(不含x軸),與直線y=2相交于點(diǎn)N1,與(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2.證明:|MN2|2-|MN1|2為定值,并求此定值.(1)證明

依題意可設(shè)直線AB的方程為y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1x2=-8,解

依題設(shè),切線l的斜率存在且不等于0.設(shè)切線l的方程為y=ax+b(a≠0),將其代入x2=4y,得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0.由Δ=0,得(4a)2+16b=0,化簡(jiǎn)整理得b=-a2.故切線l的方程可寫(xiě)為y=ax-a2.規(guī)律方法

求定值問(wèn)題常見(jiàn)的兩種方法(1)先從特殊情況入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān).(2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量,從而得到定值.變式訓(xùn)練5已知A(1,2)為拋物線y2=2px(p>0)上的一點(diǎn),E,F為拋物線上異于點(diǎn)A的兩點(diǎn),且直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù).(1)求直線EF的斜率;(2)由題意可設(shè)直線l的方程為l:x=ty+m,P(x3,y3),Q(x4,y4),N(-m,0),把直線l的方程代入y2=4x,得y2-4ty-4m=0,所以y3+y4=4t,y3y4=-4m.探究點(diǎn)四圓錐曲線中的最值或范圍問(wèn)題【例6】

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC的周長(zhǎng)為12,AB,AC邊的中點(diǎn)分別為F1(-1,0)和F2(1,0),點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線T,直線MF1與曲線T另一個(gè)交點(diǎn)為N,線段MF2中點(diǎn)規(guī)律方法

圓錐曲線中最值與范圍的求法有兩種:(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線l與C交于M,N兩點(diǎn),P為線段MN的中點(diǎn),A為C的左頂點(diǎn),求直線PA的斜率k的取值范圍.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.(2)圓錐曲線中的弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦問(wèn)題.(3)定點(diǎn)與定值問(wèn)題.(4)最值或范圍問(wèn)題.2.方法歸納:定義法、函數(shù)法、整體代換.3.常見(jiàn)誤區(qū):直線與圓錐曲線聯(lián)立后化簡(jiǎn)不正確,忽略二次項(xiàng)系數(shù)為零的特殊情況.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)123451.已知橢圓

以及橢圓內(nèi)一點(diǎn)P(4,2),則以P為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為(

)B123452.(多選題)[2023廣東佛山高二統(tǒng)考期末]已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),且A在x軸上方,過(guò)A,B分別作拋物線C的準(zhǔn)線l的垂線,垂足分別為A',B',則(

)A.OA⊥OBB.若|AF|=5,則A的縱坐標(biāo)為4D.以A'B'為直徑的圓與直線AB相切于FBCD1234512345123453.拋物線y2=4x上不同兩點(diǎn)A,B(異于原點(diǎn)O),若