八年級上冊全部知識點(diǎn)匯總及試卷含答案

第章三角形的初步知識

復(fù)習(xí)總目

1、掌握三角形的角平分線、中線和高線

2、理解三角形的兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)

3、掌握三角形全等的判定方法

知識點(diǎn)概要

1、三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做

三角形.

三角形有三條邊，三個內(nèi)角，三個頂點(diǎn).組成三角形的線段叫做三角形的邊;

相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)，

三角形ABC用符號表示為aABC,三角形ABC的邊AB可用邊AB所對的角C的小

寫字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.\

注意：（1）三條線段要不在同一直線上，且首尾順次相接；/\

（2）三角形是一個封閉的圖形；B-

（3）ZXABC是三角形ABC的符號標(biāo)記，單獨(dú)的△沒有意義.

2、三角形的分類：

（1）按角分類：

（直角三象形

三角形J,

銳角三角形

斜三角形《

鈍角三角形

⑵按邊分類：'

r等腰三角形1底邊和腰不相等的等腰三角形

三角形.I等邊三角形

、不等邊三角形

3、三角形的主要線段的定義:

（1）三角形的中線

三角形中，連結(jié)一個頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段.

表示法：1.AD是AABC的BC上的中線.

BDC

2.BD=DC=-BC.

2

注意：①三角形的中線是線段；

②三角形三條中線全在三角形的內(nèi)部；

③三角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；

④中線把三角形分成兩個面積相等的三角形.

A

（2）三角形的角平分線必、

三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角頂點(diǎn)與交//y/點(diǎn)

之間的線段BDC

表示法：1.AD是4ABC的NBAC的平分線.

2.Z1=Z2=-ZBAC.

2

注意：①三角形的角平分線是線段；

②三角形三條角平分線全在三角形的內(nèi)部；

③三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；

④用量角器畫三角形的角平分線.

（3）三角形的高A

從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間/\

的線段.Z___\

BDC

表示法：1.AD是aABC的BC上的高線.

2.AD_LBC于D.

3.ZADB=ZADC=90°.

注意：①三角形的高是線段；

②銳角三角形三條高全在三角形的內(nèi)部，直角三角形有兩條高是邊，鈍角

三角形有兩條高在形外；

③三角形三條高所在直線交于一點(diǎn).

4、三角形的三邊關(guān)系

三角形的任意兩邊之和大于第三邊;任意兩邊之差小于第三邊.

注意：（1）三邊關(guān)系的依據(jù)是：兩點(diǎn)之間線段是短；

（2）圍成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊.

5、三角形的角與角之間的關(guān)系:

（1）三角形三個內(nèi)角的和等于180°;

（2）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；

（3）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.

⑷直角三角形的兩個銳角互余.

6、三角形的穩(wěn)定性：

三角形的三邊長確定，則三角形的形狀就唯一確定，這叫做三角形的穩(wěn)定性.

注意：（1）三角形具有穩(wěn)定性；

（2）四邊形沒有穩(wěn)定性.

7、全等三角形

（1）全等三角形的概念

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。。

（2）三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡

寫成“邊角邊”或“SAS”）

（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡

寫成“角邊角”或“ASA”）

（3）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”

或“SSS”）。

直角三角形全等的判定：

對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定

理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、

直角邊”或“HL”）

（3）全等變換

只改變圖形的位置，不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。

全等變換包括一下三種：

（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。

（2）對稱變換：將圖形沿某直線翻折180°,這種變換叫做對稱變換。

（3）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個位置，這種變換叫

做旋轉(zhuǎn)變換。

中考規(guī)律盤點(diǎn)及預(yù)測

三角形的兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)歷年來是經(jīng)?？嫉降奶羁疹}的類型，三

角形角度的計(jì)算也是考到的填空題的類型，三角形全等的判定是很重要的知識

點(diǎn)，在考試中往往會考到。

典例分析

例1如圖，已知N1=N2,則不一定能使4ABD烏Z\ACD的條件是()

A、AB=ACB、BD=CDC、ZB=ZCD、ZBDA=ZCDA

考點(diǎn)：全等三角形的判定。

分析：利用全等三角形判定定理ASA,SAS,AAS對各個選項(xiàng)逐一分析即可得出答

案.

解答：證明：A、VZ1=Z2,AD為公共邊，若AB=AC,則AABD組Z\ACD(SAS)；

故本選項(xiàng)正確，不合題意.

BsVZ1=Z2,AD為公共邊，若BD=CD,不符合全等三角形判定定理，不能判定

△ABD^AACD；故本選項(xiàng)錯誤，符合題意.

C、VZ1=Z2,AD為公共邊，若NB=NC,則aABD組4ACD(AAS)；故本選項(xiàng)正

確，不合題意.

D、VZ1=Z2,AD為公共邊，若NBDA=NCDA,則△ABDgZ\ACD(ASA)；故本選

項(xiàng)正確，不合題意.故選B.

點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對全等三角形判定定理的理解和掌握，此題難度不大，

屬于基礎(chǔ)題.

例21、在AABC中，已知NB=40°,ZC=80°,則NA=60(度)

2、在AABC中，ZA=60°,ZC=50°,則NB的外角=110°

考點(diǎn)：1、2兩題均為三角形的內(nèi)角之和為180。

點(diǎn)評：三角形內(nèi)角之和等于180°是學(xué)生必掌握的知識點(diǎn)，這兩題是基礎(chǔ)題

3、下列長度的三條線段能組成三角形的是（C）

A.3cm,4cm,8cmB.5cm,6cm,11cmC.5cm,6cm,10cmD.3cm,8cm,12cm

4、小華要從長度分別為5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中選出三根擺成一

個三角形，那么他選的三根木棒的長度分別是.一11一.—16—.

考點(diǎn)：3、4兩題是三角形的兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)

點(diǎn)評：三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)是關(guān)于判定能否組成三角形的一個重要

知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題

例3如圖，AD是aABC的角平分線，DF±AB,垂足為F,DE=DG,AADG^AAED

的面積分別為50和39,則4EDF的面積為（）

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。

分析：作DM=DE交AC于M,作DNJ_AC,利用角平分線的性質(zhì)得到DN=DF,將三

角形EDF的面積轉(zhuǎn)化為三角形DNM的面積來求.

解答：解：作DM=DE交AC于M,作DNLAC,

VDE=DG,

.\DM=DE,

VAD是4ABC的角平分線，DF±AB,

.,.DE=DN,

.,.△DEF^ADNM,

AADG和ZXAED的面積分別為50和39,

SAMDG=SAADG-SAAMG=590-39=11,

SADNM=SZ\DEF=錯誤！未找到引用源。Sa?i）G=—X11錯誤！未找到引用源。=5.5

2

A

點(diǎn)評：本題考查了角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正

確的作出輔助線，將所求的三角形的面積轉(zhuǎn)化為另外的三角形的面積來求.

例4如圖，在下列條件中，不能證明AABD組Z\ACD的是（）

A.BD=DC,AB=ACB.ZADB=ZADC,BD=DC

C.ZB=ZC,ZBAD=ZCADD.ZB=ZC,BD=DC

考點(diǎn)：全等三角形的判定.

分析：兩個三角形有公共邊AD,可利用SSS,SAS,ASA,AAS的方法判斷全等三

角形.

解答：解：VAD=AD,

A.當(dāng)BD=DC,AB=AC時，利用SSS證明△ABDgZXACD,正確；

B.當(dāng)NADB=NADC,BD=DC時,利用SAS證明△ABDg^ACD,正確；

C.當(dāng)NB=NC,NBAD=NCAD時，利用AAS證明△ABDgZ\ACD,正確;

D.當(dāng)NB=NC,BD=DC時，符合SSA的位置關(guān)系，不能證明aABD^aACD,錯誤.

故選D.

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的幾種判定方法.關(guān)鍵是根據(jù)圖形條件，角與邊的

位置關(guān)系是否符合判定的條件，逐一檢驗(yàn).

例5如圖，點(diǎn)反F、a￡在同一條直線上，點(diǎn)力、〃在直線切的兩側(cè)，AB//

DE,BQCE,請?zhí)砑右粋€適當(dāng)?shù)臈l件：

使得AODF.

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).

分析：要使力信加，則必須滿足△/況必△儂；已知力6〃龐，正圓則可得到

/B=/E,BC=EF,從而添加/斤應(yīng)即可利用SAS判定△46隹△瓦F.

解答：解：添加：AB=DE

'：AB//DE,BRCE,：.444E,B6EF,

?:A±DE,：./\ABC^/\DEF,：.AODF.

故答案為：AB^DE.

點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用能力.

基礎(chǔ)練習(xí)

一、精心選一選（每小題3分，共30分）

1、在下列各組圖形中，是全等的圖形是（）

AA深。

A、B、C、

2、下列各圖中，正確畫出AC邊上的高的是（）

3、如圖1,工人師傅砌門時,常用木條EF固定長方形門框ABCD,使其不變形,

這樣做的根據(jù)是（）

A、兩點(diǎn)之間的線段最短；

B、三角形具有穩(wěn)定性；

C、長方形是軸對稱圖形；

D、長方形的四個角都是直角;

4、圖2中的三角形被木板遮住了一?部分，被遮住的兩個角不可能是（）

A、一個銳角，一個鈍角；B、兩個銳角；

C、一個銳角，一個直角；D、一個直角，一個鈍角；

5、以下不能構(gòu)成三角形三邊長的數(shù)組是（）

A、（1,73,2）B、（3,4,5）C、（32,42,52）D、（73,4,百）

6、一個三角形的兩個內(nèi)角分別為55°和65°,這個三角形的外角不可能是

（）

A、115°B、120°C、125°D、130°

7、小明不慎將-塊三角形的玻璃碎成如圖3所示的四塊（圖中所標(biāo)1、2、3、4）,

你認(rèn)為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來大小一樣僻角形玻璃？應(yīng)該帶

（）去/2\

A、第1塊；B、第2塊；/、、圖3

C、第3塊；D、第4塊；'

8、如圖4,在銳角^ABC中，CD、BE分別是一

AB、AC邊上的高，且CD、BE相交于一點(diǎn)P,若NA=50°,

A、150°B、130°

C、120°D、100°

9、用12根火柴棒（等長）拼成一個三角形，火柴

棒不允許剩余、重疊和折斷，則能擺出不同的

三角形的個數(shù)是（）

A、1B、2C、3D、4

10、如圖5,在aABC中，D、E分別是AC、BC邊上的

點(diǎn)，若△ADBgaEDBg/\EDC,則NC的度數(shù)為（）

A、15°B、20°C、25°D、30°

二、耐心填一填（每小題3分，共30分）

11、在4ABC中，若NA—NB=90°,則此三角形是三角形；若

NA=LZB=1NC,由此三角形是______三角形；

23

12、如圖6,已知AC=BD,要使△ABCgADCB,

只需增加的一個條件是;

13、設(shè)AABC的三邊為a、b、c,化簡

la-b-cl+lb-c-al+lc-a-bl=

14、已知三角形的兩邊長分別是3cm和7cm,第三邊長是偶數(shù)，則這個三角形的

周長為cm；

15、如圖7,在AABC中，已知AD=DE,AB=BE,ZA=80°,則NCED=

16、如圖8,把矩形ABCD沿AM折疊，使D點(diǎn)落在BC上的N點(diǎn)處，如果AD=56cm,

DM=5cm,ZDAM=30°,則AN=____cm,NM=cm,

ZBNA=_________度；

17、如圖9,AABC中，AB=AC,BD、CE分別是AC、AB邊上的高，BD、CE交于點(diǎn)

0,且AD=AE,連結(jié)AO,則圖中共有________對全等三角形；

18、如圖10,已知NB=NC,AD=AE,則AB=AC,請說明理由（填空）

B

解：在aABC和4ACD中，

fZB=Z（）

ZA=Z

/.△ABE^AACD

/.AB=AC

19、如圖11所，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=；

20、用一副三角板可以直接得到30°、45°、60°、

90°四種角，利用一副三角板可以拼出另外一些特殊角,

如75°、120°等，請你拼一拼，用一副三角板還能拼

還能拼出哪些小于平角的角？這些角的度數(shù)是：

C圖11D

三、細(xì)心做一做（共60分）

21、（8分）七年級某班的籃球啦啦隊(duì)同學(xué)，為了在明天比賽中給同學(xué)加油助威，

提前制作了同一規(guī)格的彩旗。小明在放學(xué)回家后，發(fā)現(xiàn)自己的彩旗破損了一角，

他想用彩紙重新制作一面彩旗（如圖12所示），請你幫助小明，用直尺和圓規(guī)在

彩紙上作出一個與破損前完全一樣的三角形，并解釋你作圖的理由。

理由:

22、（9分）如圖13,四邊形ABCD中，AC垂直平分BD于點(diǎn)0

（1）圖中有多少對全等三角形？請把它們都寫出來；

（2）任選（1）中的一對三角形對其全等加以說明；

圖13

23>（10分）小明做了一個如圖14所示的風(fēng)箏，他想去驗(yàn)證NBAC與NDAC是否

相等，手頭只有一把（足夠長）尺子，你能幫助他想個方法嗎？說明你這樣做的理

圖14

24、(8分)某產(chǎn)品的商標(biāo)如圖15所示，0是線段AC、DB的交點(diǎn)，且AC=BD,AB=DC,

小華認(rèn)為圖中的兩個三角形全等，他的思考過程是：

VAC=DB,ZAOB=ZDOC,AB=AC,

.,.△ABO^ADCO

你認(rèn)為小華的思考過程對嗎？如果正確，指出他用

的是判別三角形全等的哪個條件，如果不正確，

寫出你的思考過程。

25、(12分)沒有量角器，利用刻度尺或三角板也能畫出一個角的平分線嗎？下

面是小彬的做法，他的畫法正確嗎？請說明理由。

如圖16,角平分線的刻度尺畫法：0

(1)利用刻度尺在NA0B的兩邊上，分別取OD=OC；

⑵連結(jié)CD,利用刻度尺畫出CD的中點(diǎn)E；

(3)畫射線OEB

所以射線0E為NA0B的角平分線;圖16

26、(13分)如圖17,C在直線BE上，NABC與NACE的角平分線交于點(diǎn)A“

(1)若NA=60°,求NAi的度數(shù)；

(2)若NA=m,求NAi的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，若再作NABE、NACE的平分線，交于點(diǎn)A?；再作N&BE、

NA/CE的平分線，交于點(diǎn)A：,；……；依次類推，則NA?,ZA:i,……，NA”分別

為多e度?

Ai

A?

E

B

C

圖17

參考答案

一、1、C2、D3、B4、D5、C6、D7、B8、B9、C10、D

二、11、鈍角，直角12、/ACB=NDBC或AB=CD13、a+b+c

14、16或1815、100°16>5VL5,60°

17、ZC,已知，ZA,公共角，AD,已知，AAS,

全等三角形的對應(yīng)邊相等；

18、519、180°

20、15°、105°、135°、150°、165°（寫出三個即可）

三、21、畫圖略，理由：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等;

22、（1）三對全等三角形：Z\ABC烏/XADC、AABO^AADO.

△CBO^ACDO；（2）略；

23、用尺子量出AB、AD、BC、CD的長度，若AB=AD,BC=CD,

則NBAC=NDAC,因?yàn)楫?dāng)AB=AD,BC=CDII寸，另有AC=AC,

則AABC組aADC,由此可得NBAC=NDAC；

24、小華的思考不正確，因?yàn)锳C和BD不是這兩個三角形的邊；

正確的解答是：連結(jié)BC

在AABC和4DBC中，

VAB=CD,AC=BD,BC=BC,

.,.△ABC^ADBC

...ZA=ZD,

在AAOB和aDOC中，

VZA=ZD,ZA0B=ZD0C,AB=CD,

/.△AOB^ADOB

25、小彬的畫法正確，因?yàn)橛僧嫹ㄖ篛D=OC,CE=DE,而OE=OE,所以

^△DOE,/.ZA0E=ZB0E,，0E就是NA0B的角平分線;

26、VZA^ZAiCE-ZA^C

=-ZACE--ZABC

22

=-(ZACE-ZABC)

2

，⑴當(dāng)NA=60。時,4=30°；

(2)當(dāng)NA=m時，ZAi=—m；

2

n

(3)依次類推NA2=！m,ZA:i=-m,-,ZA?=(-)m

482

第二章特殊三角形

復(fù)習(xí)總目

1、掌握等腰三角形的性質(zhì)及判定定理

2、了解直角三角形的基本性質(zhì)

2、掌握勾股定理的計(jì)算方法

知識點(diǎn)概要

1、圖形的軸對稱性質(zhì)：對稱軸垂直平分連接兩個對稱點(diǎn)的線段；成軸對稱的兩

個圖形是全等圖形

2、等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：

定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）

推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的

頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。

推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°。

3、三角形中的中位線

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。

（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個新的三角形。

（2）要會區(qū)別三角形中線與中位線。

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

三角形中位線定理的作用：

位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。

數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。

常用結(jié)論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：

結(jié)論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。

結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。

結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。

結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。

結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。

4、直角三角形的性質(zhì)

(1)直角三角形的兩個銳角互余

(2)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

(3)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

(4)勾股定理：直角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊c的平方，即

a2+b2=c2

(5)攝影定理

在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的

比例中項(xiàng)，每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項(xiàng)

NACB=90、rCD2=AD?BD

?*AC'=AD?AB

CD±ABJ〔BC2=BD?AB

(6)常用關(guān)系式

由三角形面積公式可得：AB.CD=AC.BC

中考規(guī)律盤點(diǎn)及預(yù)測

特殊三角形中的等腰三角形與第一章的全等三角形的證明結(jié)合起來這種題

型會常出現(xiàn)，等腰三角形的性質(zhì)是基礎(chǔ)知識，必須得掌握并靈活的運(yùn)用到各類題

型中去，這類題型中考也是必考的。

典例分析

例1在aABC中，AB=AC,Zl=—ZABC,Z2=—ZACB,BD與CE相交于點(diǎn)0,

22

如圖，NBOC的大小與NA的大小有什么關(guān)系？BA⑷----?

若N1=』NABC,Z2=-ZACB,則NBOC與NA大小關(guān)系如何？

33

若N1=」NABC,Z2=-ZACB,則NBOC與NA大小關(guān)系如何？

nn

考點(diǎn)：等腰三角形

分析：在上述條件由特殊到一般的變化過程中，

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，Z1=Z2,ZABD=ZACE,

即可得到N1=LNABC,N2=L/ACB時，ZB0C=90°+—ZA；

222

Zl=-ZABC,N2=1NACB時，ZB0C=120°+-ZA；

333

Z1=-ZABC,N2=L/ACB時，ZBOC=—-180°+ZA.

nnn

例2如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC,以BP為邊作N

PBQ=60°,且BQ=BP,連結(jié)CQ.

(1)觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(2)若PA：PB：PC=3：4：5,連結(jié)PQ,試判斷

△PQC的形狀，并說明理由.

分析(1)把ZXABP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°即可得

到△CBQ.利用等邊三角形的性質(zhì)證△ABPg△CBQ,

得到AP=CQ.(2)連接PQ,則aPEQ是等邊三角

形.PQ=PB,AP=CQ故CQ：PQ：PC=PA：PB：PC=3：4：5,.?.△PQC是直角三角形.

點(diǎn)評利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識

點(diǎn)完成此題的證明.

例3已知：在中，AB=AC,BD=BC,AD=DB=BE,求，的

度數(shù).

分析由條件易得=,ZA=ZDfiA,ZG=ZCZM,

且ZD￡A=/L8BD+Z￡DB=2

I3

ZEBD=-ZAZC=Z￡tDC=ZA4-Z?fi!O=-ZA

二2,又2

3

2-^A+^A=l90°

:.2.2=45。

點(diǎn)評這題運(yùn)用到等腰三角形的等角對等邊的性質(zhì)，像這類的求角度的題是會經(jīng)

常出現(xiàn)的類型，應(yīng)熟練掌握這類題型的解題方法

例4如圖，已知：在&場C中，AB=AC,BB=CD,Zfi=70°,BD=CF.

求：￡EDP的度數(shù).

分析由已知條件易證必皿三..?.NaKDnNODP

:.NSBie+NSf=4!M+ZaS!D=1800-NJ=110°

.-.ZtfDf=180°-110°=70°

點(diǎn)評這題運(yùn)用到全等三角形的證明與等腰三角形知識的結(jié)合，比較靈活，要求

學(xué)生能靈活的將兩類知識結(jié)合起來運(yùn)用，這類題型在考試中也是比較常見的

基礎(chǔ)練習(xí)

一、填空題

1.已知等腰三角形個內(nèi)角的度數(shù)為30°,那么它的底角的度數(shù)是

2.等腰三角形的頂角的度數(shù)是底角的4倍，則它的頂角是.

3.等腰三角形的兩邊長分別為3厘米和6厘米，這個三角形的周長為

4.如圖，在中，.加平分NftIC.RTOan.AD.

則D點(diǎn)到AB的距離為

5.如圖，在&的中，^C-VT.AD平分NiMC.a&l血，若

ZZMD-30",ijiijZfl-,D8-

6.如圖，^wa-7(r.zA-5(r,4?的垂直平分線交力0于〃則

ZMC-

7.如圖，&1AC7中，龐垂直平分的周長為13,那么&的

的周長為

A

D

8.如圖，如果點(diǎn)"在的平分線上且"-6厘米，則3M

你的理由是.

9.如圖，已知樹邊的垂直平分線交皿于點(diǎn)

D,B,BE~6,則AflC陽的周長為.

二、解答題

1.如圖，^ABC中，ZC-2Z5.Z1-Z2,試說明：AB-AC+CD.

2.如圖，求作一點(diǎn)尸，使核，并且使點(diǎn)尸到乙48的兩邊的距離

相等，并說明你的理由.

3.老師正敘述這樣一道題：請同學(xué)們畫出一個山皿，然后畫出/3./C的

中垂線，且交于點(diǎn)P.請同學(xué)們想一下點(diǎn)尸到三角形三個頂點(diǎn)4及C的距離如

何？小明馬上就說：‘‘相等."他是隨便說的嗎？你同意他的說法嗎？請說明你

的理由.

4.如圖，已知&4A7中，龍垂直平分AC,交C于點(diǎn)E,交加'于點(diǎn)D,&ABD

的周長是20厘米，4。長為8厘米，你能判斷出&VC的周長嗎？試試看.

5.有一個三角形的支架如圖所示，AB-AC，小明過點(diǎn)力和a'邊的中點(diǎn)

〃又架了一個細(xì)木條，經(jīng)測量〃■",你在不用任何測量工具的前提下，能

得到和乙3的度數(shù)嗎？

BDC

6.請你在紙上畫一個等腰三角形/a'（如圖），使得.

（1）請你判斷一下N6與NC有什么大小關(guān)系呢？你的依據(jù)是什么？

（2）請你再深入地思考一個問題：若只知道與NC相等，請你判斷一

下這個三角形是什么形狀的呢？并說明你的探索思路.

（3）由第（2）你會得到一個什么結(jié)論呢？請用一句話概括出來.

（4）現(xiàn)在給出兩個三角形（如圖），請你把圖（1）分割成兩個等腰三角形,

把圖（2）分割成三個等腰三角形.動動腦筋呀！

參考答案：

一、1.30°或75°2.120°3.15厘

米4.45.30°,DC

6.2007.198.6cm,角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相

等9.22.

二、L提示：在48上截取迎,易說明&SDg&iCD,從而可

說明RD=CD=3S,所以AB=/C?CD

2.提示：作線段切的垂直平分線和右蚊》的角平分線，兩線交點(diǎn)即為所

求點(diǎn).

3.我同意小明的說法.如圖，?.?點(diǎn)。是18的中垂線上一點(diǎn)，...而?產(chǎn)《?

點(diǎn)尸是是ZC中垂線上一點(diǎn)，.??癡.：.PA-PB-PC.

X

J

￡

4."DR垂直平分/aZX?的周長是20厘米，I.

AB^BD^AD-20.：.AB+BD+DC?■20即加+紀(jì)?20.又,

;.AB+KT+AC-2S厘米.

5.--M-AC.D為切邊的中點(diǎn)，.../〃又是6。邊的高線和的角平

分線：^ADCZ&W-W.

6.(1)相等、依據(jù)，等腰三角形兩底角相等.

(2)等腰三角形.如圖，證明：過點(diǎn)A作血,在A3。和41ZX7

中?：NB-4C.4ADB?4MXT?9b.￡D?AD,A^D^tsADC,

A3=AC

(3)兩個底角相等的三角形是等腰三角形.

(4)如圖.

第三章一元一次不等式

復(fù)習(xí)總目

1、理解不等式的三個基本性質(zhì)

2、會用不等式的基本性質(zhì)解一元一次不等式并掌握不等式的解題步驟

3、會解由兩個一元一次不等式組成的不等式組

知識點(diǎn)概要

一、不等式的概念

1、不等式：用不等號表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的

未知數(shù)的值，都叫做這個不等式的解。

3、對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集

合，簡稱這個不等式的解集。

4、求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

5、用數(shù)軸表示不等式的方法

二、不等式基本性質(zhì)

1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。

2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。

3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。

4、說明：①在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號是不變的，是隨著加或

乘的運(yùn)算改變。②如果不等式乘以0,那么不等號改為等號所以在題目中，

要求出乘以的數(shù)，那么就要看看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式，如果出現(xiàn)了，

那么不等式乘以的數(shù)就不等為0,否則不等式不成立；

三、一元一次不等式

1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次

數(shù)是1,且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。

2、解一元一次不等式的一般步驟：（1）去分母（2）去括號（3）移項(xiàng)（4）合并

同類項(xiàng)（5）將x項(xiàng)的系數(shù)化為1

四、一元一次不等式組

1、一元一次不等式組的概念：兒個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一

元一次不等式組。

2、幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式

組的解集。

3、求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。

4、當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為

空集。

5、一元一次不等式組的解法

（1）分別求出不等式組中各個不等式的解集

（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。

6、不等式與不等式組

不等式：①用符號〉，=,〈號連接的式子叫不等式。②不等式的兩邊都加上或

減去同一個整式，不等號的方向不變。③不等式的兩邊都乘以或者除以一個

正數(shù)，不等號方向不變。④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號

方向相反。

7、不等式的解集：

①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

②一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。

③求不等式解集的過程叫做解不等式

中考規(guī)律盤點(diǎn)及預(yù)測

一元一次不等式(組)的解法及其應(yīng)用，在初中代數(shù)中有比較重要的地位，

它是繼一元一次方程、二元一次方程的學(xué)習(xí)之后，又一次數(shù)學(xué)建模思想的學(xué)習(xí)，

是培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題能力的重要內(nèi)容，在近兒年來的考試中會出現(xiàn)此

類型的題目

典型分析

4*2x>x<-3..........(0

例1解不等式組,7+2x2&.……(2)

4*-1>”一支….…0)

分析解不等式⑴得x>T,

解不等式⑵得xWl,0"°

圖⑴

解不等式(3)得x<2,

X>-II

-A-1>

???在數(shù)軸上表示出各個解為：-1o1

廣<2圖⑵

，原不等式組解集為T〈xWl

注意：借助數(shù)軸找公共解時，應(yīng)選圖中陰影部分，解集應(yīng)用小于號連接，由

小到大排列，解集不包括T而包括1在內(nèi)，找公共解的圖為圖（1）,若標(biāo)出解

集應(yīng)按圖（2）來畫。

點(diǎn)評這類題型是常見的解一元一次不等式組，并結(jié)合數(shù)軸解題，在解題過程中

要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性及數(shù)軸的表示法

3x-2>4x-5

例2求不等式組<的正整數(shù)解。

分析解不等式3x-2>4x-5得：x<3,

解不等式立得xW2,1、先求出不等式組的解集。

3

■<3

一J1----->2、在解集中找出它所要求的特殊

0123

解，正整數(shù)解。

...原不等式組解集為x<2,

???這個不等式組的正整數(shù)解為x=l或x=2

點(diǎn)評此類題型關(guān)鍵是正整數(shù)解，這要結(jié)合數(shù)軸將其正整數(shù)解出來，在運(yùn)算過程

中要注意正負(fù)數(shù)的運(yùn)算，這在考試中是會經(jīng)常出現(xiàn)的題型

例3m為何整數(shù)時，方程組I：'二二多的解是非負(fù)數(shù)？

13-3te

~2~

分析解方程組得《

5x+3^-13513

y-2~

：方程組J：?.，的解是非負(fù)數(shù)，p>0

&2Q

(13-%-.13

MS一

即,解不等式組.3，此不等式組解集為，Wm

、13

M2一

25

?石

又,.丁為整數(shù)，，m=3或m=4。

點(diǎn)評本題綜合性較強(qiáng)，注意審題，理解方程組解為非負(fù)數(shù)概念，即I”;：。先

卜20

解方程組用m的代數(shù)式表示x,y,再運(yùn)用“轉(zhuǎn)化思想”，依據(jù)方程組的

解集為非負(fù)數(shù)的條件列出不等式組尋求m的取值范圍，最后切勿忘記確定

m的整數(shù)值。

例4解不等式-3W3x-l<5。

分析解法(1)：原不等式相當(dāng)于不等式組L(3x-12-3

131T<5

解不等式組得<x<2,???原不等式解集為-2Wx<2。

二二

解法(2):將原不等式的兩邊和中間都加上1,得-2W3x<6,

將這個不等式的兩邊和中間都除以3得，

...原不等式解集為-：<x<2。

點(diǎn)評這題把不等式拆分成兩個不等式并組成不等式組，做題很靈活，解法有

兩種，在解題過程中要注意正負(fù)數(shù)移項(xiàng)時的符號

例5有一個兩位數(shù)，它十位上的數(shù)比個位上的數(shù)小2,如果這個兩位數(shù)大于

20并且小于40,求這個兩位數(shù)。

分析解法(1):設(shè)十位上的數(shù)為x,則個位上的數(shù)為(x+2),原兩位數(shù)為

10x+(x+2),

由題意可得：20<10x+(x+2)<40,

解這個不等式得，17(6<3看S，

???x為正整數(shù)，.?.1A<X〈3S的整數(shù)為x=2或x=3,

.,.當(dāng)x=2時,.\10x+(x+2)=24,

當(dāng)x=3時，，10x+(x+2)=35,

答：這個兩位數(shù)為24或35。

解法（2）:設(shè)十位上的數(shù)為x,個位上的數(shù)為y,則兩位數(shù)為10x+y,

CD

由題意可得卜…..（這是由一個方程和一個不等式構(gòu)成的

[20<10x+jr<40.....(2)

整體，既不是方程組也不是不等式組，通常叫做“混合組”）。

將⑴代入⑵得,20<llx+2<40,

解不等式得：7帝5

?.'X為正整數(shù)，1熱76<3點(diǎn)5的整數(shù)為x=2或x=3,

當(dāng)x=2時，y=4,1.10x+y=24,

當(dāng)x=3時，y=5,10x+y=35o

答：這個兩位數(shù)為24或35。

解法（3）:可通過“心算”直接求解。方法如下：既然這個兩位數(shù)大于20且小

于40,所以它十位上的數(shù)只能是2和3。當(dāng)十位數(shù)為2時，個位數(shù)為4,

當(dāng)十位數(shù)為3時，個位數(shù)為5,所以原兩位數(shù)分別為24或35。

點(diǎn)評這題是一個數(shù)字應(yīng)用題，題目中既含有相等關(guān)系，又含有不等關(guān)系，需運(yùn)

用不等式的知識來解決。題目中有兩個主要未知數(shù)------十位上的數(shù)字與

個位上的數(shù)；一個相等關(guān)系：個位上的數(shù)=十位上的數(shù)+2,一個不等關(guān)系:

20〈原兩位數(shù)（40。

基礎(chǔ)練習(xí)

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1、a、b、c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖1所示，下列式子中正確的有（）

圖1

①b+c>0,?a+b〉a+c,（3）bc>ac,（4）ab>ac

A.1個；B.2個；C.3個；D.4個.

2、不等式2x—5W0的正整數(shù)解有（）

A.1個；B.2個；C.3個；D.0個.

x<-2

3、如圖2,能表示不等式組解集的是（）

〃〃八」「〃〃心一一

-2-144

4、如圖3,不等式組［2》一4<0,的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

x+120

-102-102

Jx—2W0

不等式組x+l>0的解是（

A、xW2B、x22C、一lVx<2D>x>—1

6、下面不等式組無解的是（）

x—1<0Jx—1<0、Jx—1>0Jx-1>0

x+2<0'Ix+2>0*，，+2<0，D，jx+2>0

7、已知。、b為實(shí)數(shù)，且他=1,設(shè)知=」一+T<，N=-^-+-^-,則“、N的

a+1/?+1

大小關(guān)系是（）

A.M>NB.M=Nc.MYND.不確定

x<2

8、已知關(guān)于x的不等式組卜〉-l無解，則a的取值范圍是（）

x>a

A.aW—1B.a22C.—l<a<2D.a<—1,或a>2

9、小明用100元錢去購買筆記本和鋼筆共30件，已知每本筆記本2元，每支鋼

筆5元，那么小明最多能買鋼筆（）.

A.12支；B.13支；C.14支；D.15支.

10、小芳和爸爸、媽媽三人玩蹺蹺板，三人的體重一共為150千克,爸爸坐在蹺蹺

板的一端；體重只有媽媽一半的小芳和媽媽一同坐在蹺蹺板的另一端.這時，爸爸

的那一端仍然著地.請你猜一猜小芳的體重應(yīng)小于（）

A.49千克B.50千克C.24千克D.25千克

二、填空題（每小題3分，共30分）

_a_b

H、若a>b,則-5~2.

12、如果->0,那么xy_0.

13>不等式5*—9W3（x+1）的解集是.

2x+440

14、不等式組」工+2〉0的整數(shù)解為______.

15、已知上士則x的最大整數(shù)值為.

2-34

X]+x2=a,

16、在關(guān)于X”X2,X3的方程組<%+%3=%中，已知。1>42>。3，那么將X”

x3+Xj=a3

X2,X3從大到小排起來應(yīng)該是.

17、對于整數(shù)a,b,c,d,符號"”表示運(yùn)算ac-bd,已知1<1“<3,貝Ub+d

dcd4

的值是.

5-2x>-1

18、已知關(guān)于x的不等式組；無解，則a的取值范圍是_____.

x-a>0

19>已知不等式4x—aW0的正整數(shù)解是1,2,則a的取值范圍是.

20、為了加強(qiáng)學(xué)生的交通安全意識，某中學(xué)和交警大隊(duì)聯(lián)合舉行了“我當(dāng)一日小

交警”活動，星期天選派部分學(xué)生到交通路口值勤，協(xié)助交通警察維護(hù)交通秩

序.若每一個路口安排4人，那么還剩下78人；若每個路口安排8人，那么最

后一個路口不足8人，但不少于4人.則這個中學(xué)共選派值勤學(xué)生_____人，共

有個交通路口安排值勤.

三、解答題(每小題7分，共35分)

10-4(x-3)>2(x-l)①

21、解不等式組,l-2x6，并寫出此不等式組的整數(shù)解.

x-l>----②

I3

22、已知關(guān)于x、y的方程組[尤―)'="+3的解滿足x>y>o,化簡g|+|3—a].

2x+y=5a

23、有一個兩位數(shù)，其中十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字小2,如果這個兩位數(shù)大

于20而小于40,求這個兩位數(shù).

24、慧秀中學(xué)在防“非典”知識競賽中，評出一等獎4人，二等獎6人，三等獎

20人，學(xué)校決定給所有獲獎學(xué)生各發(fā)一份獎品，同一等次的獎品相同.

(1)若一等獎，二等獎、三等獎的獎品分別是噴壺、口罩和溫度計(jì)，購買這三

種獎品共計(jì)花費(fèi)113元，其中購買噴壺的總錢數(shù)比購買口罩的總錢數(shù)多9元，而

口罩的單價比溫度計(jì)的單價多2元，求噴壺、口罩和溫度計(jì)的單價各是多少元？

(2)若三種獎品的單價都是整數(shù)，且要求一等獎的單價是二等獎單價的2倍，

二等獎的單價是三等獎單價的2倍，在總費(fèi)用不少于90元而不足150元的前提

下，購買一、二、三等獎獎品時它們的單價有幾種情況，分別求出每種情況中一、

二、三等獎獎品的單價？

25、某班為了從甲、乙兩同學(xué)中選出班長，進(jìn)行了一次演講答辯與民主測評.A、

B、C、D、E五位老師作為評委，對“演講答辯”情況進(jìn)行評價，全班50位同學(xué)

參與了民主測評.結(jié)果如下表所示：

表1演講答辯得分表(單位：分)

ABCDE

甲9092949588

乙8986879491

表2民主測評票數(shù)統(tǒng)計(jì)表(單位：張)

“好”票數(shù)“較好”票數(shù)“一般”票數(shù)

甲4073

乙4244

規(guī)定：演講答辯得分按“去掉一個最高分和?個最低分再算平均分”的方法

確定;

民主測評得分=“好”票數(shù)X2分+“較好”票數(shù)XI分+“一般”票數(shù)X0

分；

綜合得分=演講答辯得分x(1-a)+民主測評得分Xa(0.5<aW0.8).

⑴當(dāng)a=0.6時，甲的綜合得分是多少?

⑵a在什么范圍時，甲的綜合得分高？a在什么范圍時，乙的綜合得分高?

四、探索題(第26、27小題，每小題8分，第28小題9