濟數(shù)學課件全微分

1第三節(jié)全微分

第七章(TotalDifferential)一、全微分的定義二、全微分存在的條件三、小結(jié)與思考練習2問題:長由3一、全微分的定義引例:

設(shè)一塊長方形金屬薄片的長和寬分別為x、y，（DefinitionofTotalDifferentials）從而薄片的面積為A＝xy，金屬薄片受溫度變化的影響,變到變到寬由則此薄片面積的增量為4一、全微分的定義引例:

設(shè)一塊長方形金屬薄片的長和寬分別為x、y，（DefinitionofTotalDifferentials）從而薄片的面積為A＝xy，金屬薄片受溫度變化的影響,變到長由變到寬由則此薄片面積的增量為關(guān)于△x、△y的線性主部當時，是比的高階無窮小.故稱為函數(shù)S＝

x

y在點(x

,y)的全微分5定義函數(shù)z=f(x,y)在定義域D

的內(nèi)點(x,y)可表示成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D

內(nèi)各點都可微,則稱函數(shù)f(x,y)在點(x,y)可微，處全增量則稱此函數(shù)在D

內(nèi)可微.一般地，我們有二元函數(shù)全微分的定義。6二、全微分存在的條件函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微得函數(shù)在該點連續(xù)即由微分定義:(2)偏導數(shù)連續(xù)下面兩個定理給出了可微與偏導數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微偏導數(shù)存在函數(shù)可微（ExistenceConditionsofTotalDifferential）7若函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微

,則該函數(shù)在該點偏導數(shù)同樣可證證:由全增量公式必存在,且有得到對x

的偏增量因此有定理1(必要條件)8反例:函數(shù)易知

但因此,函數(shù)在點(0,0)不可微.注意:

定理1的逆定理不成立.偏導數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:9證：若函數(shù)的偏導數(shù)則函數(shù)在該點可微分.定理2(充分條件)10所以函數(shù)在點可微.注意到,故有11習慣上把自變量的增量用微分表示,于是

二元函數(shù)的全微分為類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.推廣:例如,三元函數(shù)的全微分為12在點(2,1)處的全微分.解:例2

計算函數(shù)的全微分.解:

例1計算函數(shù)13內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:函數(shù)可導函數(shù)可微偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)14課后作業(yè)習題7－31,2,3思考與練習1.

已知答案:

2.設(shè)（詳細解答見下頁）15解:利用輪換對稱性,可得注意:

x,y,z

具有

輪換對稱性

2.設(shè)16函數(shù)在可微的充分條件是()的某鄰域內(nèi)存在;時是無窮小量;時是無窮小量.3.選擇題17在點(0,0)可微.在點(0,0)連續(xù)且偏導數(shù)存在,續(xù),證:

1)因故函數(shù)在點(0,0)連續(xù).但偏導數(shù)在點(0,0)不連4.

證明函數(shù)所以18同理極限不存在,在點(0,0)不