高等數(shù)學緒論

高等數(shù)學高等數(shù)學緒論預備知識0.1代數(shù)式0.2常用函數(shù)0.3數(shù)列本章小結

0.1代數(shù)式

一、乘法公式

1.平方差公式及其推廣

2.二項式展開(完全平方公式及其推廣)

由這些展開式可以看出以下規(guī)律:

(1)一個二項式的n次方展開式有n+1項.

(2)字母a按降冪排列,字母b按升冪排列,每項的冪次之和都是n.

(3)當n從0開始時,各項系數(shù)的變化規(guī)律是:

這種二項式系數(shù)“三角形”被稱為“楊輝三角形”或“賈憲三角形”.由牛頓二項式公式可以直接求出各冪次單項式的系數(shù),即上面展開式中的最后兩個式子,其中

(3)由于(x+2y)(x-2y)的結果是x2-4y2,因此它與x4-8x2y2+16y4相乘時不能應用公式.但如果逆用完全平方公式,則可得x4-8x2y2+16y4=(x2-4y2)2,再與x2-4y2相乘就可以應用公式了,即

例0-3已知x+y=4,xy=-12,求(x-y)2的值.

解

二、因式分解

把一個多項式化為幾個整式的積的形式,稱為多項式的因式分解.因式分解時應注意以下幾個問題:

(1)因式分解是對多項式而言的,因為單項式本身已經(jīng)是整式的積的形式.

(2)由于因式分解是把一個多項式化為幾個整式的積的形式,因此因式分解是整式范圍內的概念.

(3)因式分解的最后結果應是積,并且要求乘積中的每個因式都不能再分解,如a4-16=(a2+4)(a2-4)就不符合要求.

(4)因式分解與整式乘法既有區(qū)別又有聯(lián)系.從一定意義上講,它是整式乘法的相反變法,例如

注:因式分解是一種恒等變形,不能看作是運算.

1.提取公因式法

提取公因式法是因式分解的一種基本方法,是指如果多項式的各項有公因式,可以把該公因式提取出來作為多項式的一個因式;提取公因式后的式子放在括號里,作為另一個因式.提取公因式時要徹底,并且要一次完成.當公因式是多項式時,要注意以下變形:

2.公式法

公式法分解因式就是使用平方差公式及其推廣公式,以及二項展開式的逆變形對多項式進行分解.使用公式法進行因式分解的關鍵在于掌握公式的結構特征.記住,公式中的字母可以代表一個數(shù)或一個單項式,也可以代表一個多項式.

3.分組分解法

分組分解法的基本思想是把多項式恰當?shù)胤纸M后,用項數(shù)較少的多項式的分解方法進行分解.使用分組分解法的關鍵是正確分組,分組的原則是選擇系數(shù)成比例的各項進行分組或選擇符合公式條件的各項進行分組;必要時要對多項式進行先變形后分組.

4.十字相乘法

由于因式分解和十字相乘都有多種可能,因此往往要經(jīng)過多次嘗試,才能確定一個二次三項式能否分解和怎樣分解.在使用過程中,要不斷地總結規(guī)律,以便減少試驗次數(shù).

例0-4把下列各式進行因式分解:

分式的運算有以下幾種:

分式的一些概念和性質與分數(shù)類似,而與整式區(qū)別較大.整式中的字母取任意值時都有意義,而分式只有在分母不等于零時才有意義.在研究分式變形、分式相等、分式方程等與分式有關的問題時,都不要忘記只有在分式有意義的前提下才能考慮這些問題,而這一點恰恰容易被人們所忽視.

例0-6當x取何值時,下列分式的值為零?

分析只有在分式有意義的前提下,才能研究分式的值.因此,只有當分母不為零且分子為零時,分式的值才為零.

0.2常用函數(shù)

一、變量、區(qū)間與鄰域我們在觀察某一現(xiàn)象的過程時,常常會遇到各種不同的量,其中有的量在該過程中不起變化,稱之為常量;有的量在該過程中是變化的,也就是可以取不同的數(shù)值,稱之為變量.我們用x、y、z、t等字母代表變量,用a、b、c、k等字母代表常量.

如果變量的變化是連續(xù)的,我們常用區(qū)間來表示其變化范圍.在數(shù)軸上,區(qū)間是指介于某兩點之間的線段上點的全體.區(qū)間、不等式及數(shù)軸的表示如表0-1所示.

以上我們所說的都是有限區(qū)間.除此之外,還有無限區(qū)間,分別為:

(1)[a,+∞)={x|x≥a}:表示大于等于a的實數(shù)的全體.

(2)(a,+∞)={x|x>a}:表示大于a的實數(shù)的全體.

(3)(-∞,b]={x|x≤b}:表示小于等于b的實數(shù)的全體.

(4)(-∞,b)={x|x<b}:表示小于b的實數(shù)的全體.

(5)(-∞,+∞)={x|x∈R}:表示全體實數(shù).

注意:-∞和+∞分別讀作“負無窮大”和“正無窮大”,它們不是數(shù),僅僅是記號.設a、δ∈R,δ>0,數(shù)集{x||x-a|<δ,x∈R},即實數(shù)軸上和a點的距離小于δ的點的全體,稱為點a的δ鄰域,記作U(a,δ),點a與數(shù)δ分別稱為該鄰域的中心和半徑.有時用U(a)表示點a的一個泛指的鄰域.數(shù)集{x|0<|x-a|<δ,x∈R}稱為點a的去心δ鄰域,記作U°(a,δ),即

二、函數(shù)的概念

定義0-1如果在某一變化過程中有兩個變量x、y,并且對于x在某個變化范圍內的每一個確定的值,按照某個對應法則f,y都有唯一確定的值與它對應,那么y就是x的函數(shù),記作y=f(x),x∈D.其值x稱為自變量,x的取值范圍D稱為函數(shù)的定義域,和x的值相對應的y的值稱為函數(shù)值,函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域.

1.函數(shù)的表示法

(1)解析法:用等式表示兩個變量間的函數(shù)關系.

(2)列表法:列表表示兩個變量間的函數(shù)關系.

(3)圖像法:用圖像表示兩個變量間的函數(shù)關系.

2.函數(shù)的特性

1)單調性在函數(shù)有定義的一個區(qū)間上,如果對于自變量x的任意兩個值x1、x2,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么函數(shù)f(x)在此區(qū)間上是增函數(shù),如圖0-1(a)所示;如果對于自變量x的任意兩個值x1、x2,當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么函數(shù)f(x)在此區(qū)間上是減函數(shù),如圖0-1(b)所示.

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù),就說f(x)在此區(qū)間上具有單調性,此區(qū)間稱為f(x)的單調區(qū)間.圖0-1

2)奇偶性

如果f(x)的定義域關于原點對稱,對定義域內任意x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)是奇函數(shù),如圖0-2(a)所示;對定義域內任意x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)是偶函數(shù),如圖0-2(b)所示.

奇函數(shù)的圖像關于原點對稱(見圖0-2(a)),偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱(見圖0-2(b)).圖0-2

3)有界性

圖0-3設函數(shù)f(x)的定義域為D,數(shù)集X?D,若存在一個正數(shù)M,對X內任意x都有|f?(x)|≤M,則稱f(x)在X上有界,或稱f(x)是X上的≤有界函數(shù),如圖0-3所示,否則稱f(x)在X上無界,或稱f(x)是X上的無界函數(shù).

4)周期性

設函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在實數(shù)T,對D內任意x,都有f(x+T)=f(x),則稱函數(shù)f(x)為以T為周期的周期函數(shù),其中最小的正數(shù)T稱為f(x)的最小正周期.圖0-3

3.反函數(shù)

如果對于函數(shù)y=f(x)每一個確定的值f(x0)=y0,自變量x都有一個確定的值x0-和x0-對應,那么就得到一個以y為自變量、以對應的x值為函數(shù)值的函數(shù),這個函數(shù)稱為原來函數(shù)的反函數(shù),記作x=f-1(y).我們習慣上用x表示自變量,y表示因變量,把函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)記作y=f-1(x).

反函數(shù)具有下列兩個特性:

(1)y=f(x)的定義域、值域分別是y=f-1(x)的值域、定義域.

(2)y=f(x)與y=f-1(x)的圖像關于直線y=x對稱.

例如,設函數(shù)y=f(x)的圖像上任意點為P(a,b),即b=f(a),則a=f-1(b).因此,反函數(shù)圖像上的任意點可以表示為Q(b,a),如圖0-4所示.

函數(shù)的定義域和值域,函數(shù)圖像,函數(shù)的單調性、奇偶性、有界性和周期性等特性,以及反函數(shù),是了解一個函數(shù)的最基本要素.下面將主要從這幾方面入手,介紹幾類最常見的基本初等函數(shù).

圖0-4

三、基本初等函數(shù)

1.常數(shù)函數(shù)

常數(shù)函數(shù)為y=C,其中C為常數(shù),定義域為R.常數(shù)函數(shù)是偶函數(shù),其圖像如圖0-5所示.圖0-5

2.冪函數(shù)

冪函數(shù)的形式為y=xα(α是任意實數(shù)),其定義域要依α具體是什么數(shù)而定.當α=1、2、3、12、-1、-2時,y=xα是最常用的冪函數(shù),如圖0-6所示.

常見冪函數(shù)的特性如表0-2所示.圖0-6

可知x=2時y=0,所以,該函數(shù)的定義域為{2},值域為{0}.

基本初等函數(shù)與常數(shù)函數(shù)進行有限次的四則運算,我們稱之為簡單函數(shù).其中,冪函數(shù)和常數(shù)函數(shù)進行特定的四則運算時,可構成我們中學階段所學的一些重要函數(shù),如正反比例函數(shù)、二次拋物線函數(shù)等.

1)正比例函數(shù)

函數(shù)y=kx(常數(shù)k≠0)稱為正比例函數(shù).當k>0時,y=kx的圖像在第一、三象限,且y隨x的增大而增大,如圖0-7(a)所示;當k<0時,y=kx的圖像在第二、四象限,且y隨x的增大而減小,如圖0-7(b)所示.圖0-7

圖0-8

3)一次函數(shù)

一次函數(shù)y=kx+b的圖像是經(jīng)過點(0,b)而平行于直線y=kx的一條直線,如表0-3所示,因此該直線的單調性與正比例函數(shù)中對k值的分析一致.而且,當k=0時,一次函數(shù)y=b表示常數(shù)函數(shù),為一條平行于x軸的直線.

一次函數(shù)y=kx+b中,k稱作該直線的斜率,b稱作該直線的截距,這種表示法稱為斜截式表示法.

例0-8已知一條直線過點(2,5)且斜率為3,試寫出該直線的方程.

解由題意可知該直線可用點斜式表示為

即

也可化為一般式,即

4)二次函數(shù)

函數(shù)y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常數(shù),且a≠0)稱作二次函數(shù),其圖像為一條拋物線.開口方向、開口大小、對稱軸和頂點唯一地確定了一條特定的拋物線,其中常數(shù)a的值決定了拋物線的開口方向和開口大小,a、b的值決定了拋物線的對稱軸,而a、b、c的值決定了頂點的位置,如表0-4所示.

例0-9確定拋物線y=x2-6x+8的開口方向以及其與x軸的交點坐標.

解由題意可知該拋物線方程的系數(shù)a=1>0,開口向上,其與x軸的交點坐標可以通過令

x2-6x+8=0

解方程求得.因式分解得x2-6x+8=(x-2)(x-4)=0,因此兩個實根為x1=2,x2=4,即與x軸的兩個交點坐標為(2,0)、(4,0).

3.指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=ax

(a為常數(shù),且a>0,a≠1),其定義域為(-∞,+∞).當a>1和0-<a<1時,函數(shù)呈現(xiàn)不同的單調性,如表0-5所示.

指數(shù)函數(shù)過點(0,1)和(1,a),且y=a-x與y=ax的圖像關于y軸對稱.其中,最為常用的是以e=2.7182818…為底數(shù)的指數(shù)函數(shù),即

y=ex

4.對數(shù)函數(shù)

對數(shù)函數(shù)y=logax(a為常數(shù),且a>0,a≠1),它是指數(shù)函數(shù)y=ax(a為常數(shù),且a>0,a≠1)的反函數(shù),因此其定義域為(0,+∞),值域為(-∞,+∞).當a>1和0<a<1時,函數(shù)呈現(xiàn)不同的單調性,如表0-6所示.

對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)的圖像過點(1,0)和(a,1),與函數(shù)y=ax

(a>0,a≠1)的圖像關于直線y=x對稱.其中以e為底數(shù)的對數(shù)函數(shù)稱為自然對數(shù)函數(shù),記作y=lnx;以10為底的對數(shù)函數(shù)稱為常用對數(shù)函數(shù),記作y=lgx.

例0-10-求下列函數(shù)的定義域:

(1)y=logax2;(2)y=loga(4-x).

解(1)因為x2>0,即x≠0,所以該函數(shù)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞).

(2)因為4-x>0,即x<4,所以該函數(shù)的定義域為(-∞,4).

圖0-9

2)任意角的三角函數(shù)值的符號

任意角的三角函數(shù)sinθ、cosθ和tanθ的值的符號如圖0-10所示.圖0-10

3)三角函數(shù)的主要特征和圖像

表0-7列出了以上三個三角函數(shù)的定義域、值域、圖像以及函數(shù)特性.

4)特殊角的三角函數(shù)值

一些特殊角的三角函數(shù)值是學習者必須熟記的基礎知識(見表0-8),在極限計算、函數(shù)的線性近似、定積分等內容中都需要用到.

(2)常用的倍角公式為

由此變形的公式為

6.反三角函數(shù)圖0-11

0.3數(shù)列

一、數(shù)列的概念1.數(shù)列的定義定義0-2按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列里的每一個數(shù)稱為這個數(shù)列的一項,各項依次稱為這個數(shù)列的第1項,第2項,…,第n項,…,其中第1項稱為首項.

2.數(shù)列的通項公式

一個數(shù)列{an}的第n項與項數(shù)的關系,如果可以用一個公式來表示,這個公式就稱為這個數(shù)列的通項公式.如數(shù)列

的通項公式是

注:并不是所有的數(shù)列都有通項公式.