重組卷01（理科）-沖刺2023年高考數(shù)學(xué)真題重組卷（參考答案）

沖刺2023年高考數(shù)學(xué)真題重組卷01(理科)

課標(biāo)全國(guó)卷地區(qū)專用(參考答案)

123456789101112

ADBBBACBCcAD

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.

【答案】A

【分析】先寫(xiě)出集合M,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可

【詳解】由題知M={2,4,5},對(duì)比選項(xiàng)知，A正確,BCD錯(cuò)誤

故選:A

2.

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z即可.

【詳解】因?yàn)閦=」-=———=-+-j,

l-3i(l-3i)(l+3i)1010

所以復(fù)數(shù)Z=2的虛部為怖.

1-3110

故選：D.

【點(diǎn)晴】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，涉及到復(fù)數(shù)的虛部的定義，是一道基礎(chǔ)題.

3.

【答案】B

【分析】算出第二天訂單數(shù)，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數(shù)即可.

【詳解】由題意，第二天新增訂單數(shù)為500+1600-1200=900,

黑=18,故至少需要志愿者18名.

故選：B

【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.

【答案】B

【分析】分別求出選項(xiàng)的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.

【詳解】由題意可得/(x)=M=-i+g,

對(duì)于A,/(x—1)—1=1-2不是奇函數(shù)：

對(duì)于B,/(x-1)+1=:是奇函數(shù)；

對(duì)于C,/(x+1)-1=^-2,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)；

對(duì)于D,f(x+l)+l=魄，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù).

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查奇函數(shù)定義，考查學(xué)生對(duì)概念的理解，是一道容易題.

5.

【答案】B

【分析】根據(jù)框圖循環(huán)計(jì)算即可.

【詳解】執(zhí)行第一次循環(huán)，b=b+2a=1+2=3,

a=b-Q=3—l=2,7i=n+l=2,

IS-2l=IS-2l=；>001；

執(zhí)行第二次循環(huán)，b=b+2a=3+4=7,

a=b—a=7—2=5,71=71+1=3,

|^-2|=g-2|=^>0,01；

執(zhí)行第三次循環(huán)，匕=b+2a=7+10=17,

a=b—a=17—5=12,n=n+1=4,

K-21=|ig-2|=^-<0.01,此時(shí)輸出n=4.

Ia2II12zI144

故選：B

6.

【答案】A

【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出IP&I/PF2I，結(jié)合余弦定理可得答案.

【詳解】因?yàn)閨P&|=3|PF2|,由雙曲線的定義可得［PFj-IPF2I=2\PF2\=2a,

所以|PF2l=a,|PF/=3a；

因?yàn)镹&PF2=60。,由余弦定理可得4c2=9a2+a2—2x3a-a-cos60°,

整理可得4c2=7a2,所以e2=0=Z,即6=先.

az42

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線的定義是入手點(diǎn)，利用余弦定理建立a,c間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.

7.

【答案】C

【分析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個(gè)面的面積，即可求得其表面

積.

【詳解】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形

根據(jù)立體圖形可得：SA.BC=S^ADC=S^CDB=-x2x2=2

根據(jù)勾股定理可得：AB=AD=DB=2V2

???△ADB是邊長(zhǎng)為2魚(yú)的等邊三角形

根據(jù)三角形面積公式可得：

11一舊有

SAADB=^AB-AD-sin60°=-(2魚(yú)產(chǎn).-=2>/3

??.該幾何體的表面積是：3x2+2b=6+2焉.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖畫(huà)出立體圖形，

考查了分析能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.

【答案】B

【分析】當(dāng)q>0時(shí)，通過(guò)舉反例說(shuō)明甲不是乙的充分條件；當(dāng)好總是遞增數(shù)列時(shí)，必有即>0成立即可說(shuō)

明q>0成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案.

【詳解】由題，當(dāng)數(shù)列為一2,—4,一8,…時(shí)，滿足q>0,

但是｛Sn｝不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件.

若｛SJ是遞增數(shù)列，則必有即>0成立，若q>0不成立，則會(huì)出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則q>0成

立，所以甲是乙的必要條件.

故選：B.

【點(diǎn)睛】在不成立的情況下，我們可以通過(guò)舉反例說(shuō)明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過(guò)

程.

9.

【答案】C

【分析】求得。+獷展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為北+1=C05-y。eN且r<5),即可求得(x+與(x+展

開(kāi)式的乘積為或CJx4-‘r+2形式，對(duì)r分別賦值為3,1即可求得二丫3的系數(shù)，問(wèn)題得解.

【詳解】(x+y)5展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為7；+1=C^x3-ryr(rGN且r<5)

所以(％+?)的各項(xiàng)與(x+yK展開(kāi)式的通項(xiàng)的乘積可表示為：

5rrrr+2

xTr+1=xC^x-y=C06-ryr和=c^^y

r33

在％G+i=Cf%6-yr中，令r=3,可得：XT4=C^xy,該項(xiàng)中/y3的系數(shù)為10,

在97r+l=Cp4-ryr+2中，令r=1,可得：?72=C*3y3,該項(xiàng)中/y3的系數(shù)為5

所以爐y3的系數(shù)為10+5=15

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分析能力，屬

于中檔題.

10.

【答案】C

【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為I,甲圓錐底面半徑為乙圓錐底面圓半徑為『2,根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得q=2七，

再結(jié)合圓心角之和可將萬(wàn)分別用2表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即

可得解.

【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為2,甲圓錐底面半徑為q,乙圓錐底面圓半徑為上，

所以q=2r2,

則牛=1,

所以f=|行2=夕，

所以甲圓錐的高刈=小2一款=爭(zhēng),

乙圓錐的高電==爭(zhēng),

故選：C.

11.

【答案】A

【分析】由二倍角公式可得tan2a=注=筌等，再結(jié)合己知可求得sina=：,利用同角三角函數(shù)的基

cos2al-2sinza4

本關(guān)系即可求解.

【詳解】rtan2a

2-sina

???tan2a=sin2a2sinacosa

cos2al-2sin2a2-sina

,解得sina=7

l-2sin2a2-sina

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡(jiǎn)求出sina.

12.

【答案】D

【分析】通過(guò)/"(X+1)是奇函數(shù)和/'(x+2)是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式f(x)=-2x2+2,進(jìn)而利

用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案.

【詳解】［方法一］：

因?yàn)閒(x+1)是奇函數(shù)，所以f(一萬(wàn)+1)=-/(x+1)①；

因?yàn)閒(%+2)是偶函數(shù)，所以/(x+2)=f(-x+2)②.

令x=l,由①得：/(0)=-/(2)=—(4a+b),由②得：/'(3)=f(l)=a+b,

因?yàn)閒(0)+f(3)=6,所以—(4Q+b)+a+b=6=Q=-2,

令％=0,由①得：/(I)=—/(I)=/(I)=0=b=2,所以/(%)=-2x2+2.

思路一：從定義入手.

瑤)=瑤+2)=，(-2)=0

?［二―1)=-瑤+1)=一瑤)

??)=-嗚+2)=-f?+2)=一道)

所以啕=-啕=：.

［方法二］:

因?yàn)?1)是奇函數(shù)，所以/(一久+1)=-f(x+1)①；

因?yàn)閒(%+2)是偶函數(shù)，所以/(%+2)=/(-x+2)②.

令x=l,由①得：/1(0)=-f(2)=-(4a+b),由②得：/(3)~/(I)=a+b,

因?yàn)閒(0)+f(3)=6,所以—(4a+b)+a+b=6=>a=—2,

令x=0,由①得：/(I)=-/(I)=/(I)=0=b=2,所以/'(x)=-2x2+2.

思路二：從周期性入手

由兩個(gè)對(duì)稱性可知，函數(shù)f(x)的周期7=4.

所以4)=啕=一噌4

故選：D.

【點(diǎn)睛】在解決函數(shù)性質(zhì)類問(wèn)題的時(shí)候，我們通?？梢越柚恍┒?jí)結(jié)論，求出其周期性進(jìn)而達(dá)到簡(jiǎn)便計(jì)

算的效果.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.

【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算即可

【詳解】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3,從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，

有：(甲，乙，1),(甲，乙，2),(甲，乙，3),(甲，1,2),(甲，1,3),(甲，2,3),(乙，1,2),(乙，1,

3),(乙，2,3),(1,2,3),共10種選法；

其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率P=卷.

故答案為:高

解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為量=10

甲、乙都入選的方法數(shù)為瑪=3,所以甲、乙都入選的概率P=不

故答案為：總

14.

【答案】一日.

【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得向量，的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得k的值

【詳解】＜2=(3,1),b=(1,0),c=a+kb=(_3+k,1),

a1c,a-c=3(3+k)+1x1=0,解得A=-爭(zhēng)

故答案為：-學(xué)

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量力=(xi，yi),@=

(工2，、2)垂直的充分必要條件是其數(shù)量積X1尤2+丫，2=0.

15.

【答案】2V2

【分析】由三角形面積公式可得ac=4,再結(jié)合余弦定理即可得解.

【詳解】由題意，ShABC=^acsinF=yac=V3,

所以QC=4,彥+=12,

22

所以/?2=a+c-2accosB=12-2x4x(=8,解得b=2^2(負(fù)值舍去).

故答案為：2夜.

16.

【答案】2

【分析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)/(x)的解析式，再求出/(-9手)的值，然后求解三角不等式可得最小正整

數(shù)或驗(yàn)證數(shù)值可得.

【詳解】由圖可知:7=等一3=F，即7=空=兀，所以3=2；

412343

由五點(diǎn)法可得2xg+w=m，即0=—g

326

所以/(%)=2cos(2x-*).

因?yàn)?-勺=2cos(-等)=1,f管)=2cos(1)=0；

所以由(7(x)-/(一號(hào))(f(x)-/(詈))>0可得f(x)>1或/⑴<0；

因?yàn)?'(1)=2cos(2—%)<2cosQ—^=1,所以，

方法一：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足/(x)<0,BPcos(2%-^)<0,

解得北兀+巴<x<卜兀+口，k€Z,令k=0,可得2<x<‘，

3636

可得久的最小正整數(shù)為2.

方法二：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足/(%)<0,又f(2)=2cos(4-￡)<0,符合題意，可得久的最

小正整數(shù)為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)圖象求解函數(shù)的解析式是本題求解的關(guān)鍵，根據(jù)周期求解3,根據(jù)特殊點(diǎn)求解°

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考

生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分。

17.

【答案】(1)x=10,y=10.3,sf=0.036,sf=0.04；(2)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯

著提高.

【分析】(1)根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算方法，計(jì)算出平均數(shù)和方差.

(2)根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合(1)的結(jié)論進(jìn)行判斷.

【詳解】(1)±=9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7=10,

10

10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.510.3,

y=10

0.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32

S：=0.036,

10

0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22八八.

=-----------------------------------=0.04.

S210

(2)依題意，y-x=0.3=2x0,15=2?1尹=2師芯，2產(chǎn)泮=2倔麗

y-x>2盤(pán)I所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.

18.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)詈.

【分析】(1)要證明R4，平面PBC,只需證明P41PB,P41PC即可；

(2)方法一：過(guò)。作。N〃8C交AB于點(diǎn)N,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，04為x軸，0N為y軸建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系，分別算出平面PCB的一個(gè)法向量元，平面PCE的一個(gè)法向量為防,利用公式cos<元五>=韶

計(jì)算即可得到答案.

【詳解】(1)［方法一］：勾股運(yùn)算法證明

由題設(shè)，知AZME為等邊三角形，設(shè)4E=1,

則。。=—>CO=BO=-AE=所以PO=—DO=

22264

PC=y/PO2+OC2=咚=PB=PA

4

又△ABC為等邊三角形，則g=204所以=

sin602

PA2+PB2=-=AB2,則44PB=90。，所以P4J.P8,

4

同理PAIPC,又PCCPB=P,所以24_1_平面03(；；

［方法二］:空間直角坐標(biāo)系法

不妨設(shè)ZB=2百，則4E=4D='^=4,由圓錐性質(zhì)知DOJL平面4BC,所以D0=辦萬(wàn)一衲=

sin600

V42-22=2V3,所以PO=3DO=&.因?yàn)?。是△ABC的外心，因此AE，BC.

6

在底面過(guò)。作BC的平行線與力B的交點(diǎn)為卬，以。為原點(diǎn)，前方向?yàn)閤軸正方向，炭方向?yàn)閥軸正方向，

。。方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

則力(0,-2,0),F(V3,l,0),C(-V3,l,0),E(0,2,0),P(0,0,V2).

所以而=(0,2,夜)，=(-V3)-1,V2),CP=(V3,-1,V2).

故而?前=0-2+2=0,AP-CP=0-2+2=0.

所以APIBP,AP1CP.

又BPCCP=P,故4Pl平面PBC.

［方法三］:

因?yàn)椤鰽BC是底面圓。的內(nèi)接正三角形，且AE為底面直徑，所以4E1BC.

因?yàn)椤?（即P0）垂直于底面，BC在底面內(nèi)，所以P01BC.

又因?yàn)槭平面P4E,AEu平面PAE,POCtAE=0,所以BC1平面P4E.

又因?yàn)镻4u平面P4E,所以P4JLBC.

設(shè)AEnBC=F,則F為BC的中點(diǎn)，連結(jié)PF.

設(shè)。。=a,且PO=—D0,

6

則力F=?a,PA=^a,PF=\a.

因此P/2+PF2=」產(chǎn),從而PAIPF.

又因?yàn)镻FnBC=F,所以241平面PBC.

［方法四］:空間基底向量法

如圖所示，圓錐底面圓。半徑為R,連結(jié)DE,AE=AD=DE,易得。。=百R,

D

以0408,OD為基底，0D1平面ABC,則AP=4。+OP=-04+上?！辏?

6

BP=B0+0P=-OB+—OD,且赤?麗=一］/?2,0A.0D=0B.0D=Q

62

所以而.前=（-04+^00）?（-?礪+華彷）=OA-OB-OA-^-OD-OB■^~0D+iOD2=0.

故而?前=0.所以開(kāi)，前，即APIBP.

同理APICP.又BPCCP=P,所以4PJ■平面PBC.

（2）［方法一］:空間直角坐標(biāo)系法

過(guò)。作。N〃BC交AB于點(diǎn)N,因?yàn)镻O_L平面力BC,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0A為x軸，ON為y軸建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系，

則E（心,0,0）,P（0,0,箭,B（一；片,0）,C（一；,一4,0）,

詼=（廿，一今-小而=?-%而=（-），

設(shè)平面PC8的一個(gè)法向量為有=(xnynzi),

向元?匹=0,得卜與一福為—缶1=0

令%1=V2,得Zi=Ty]=0,

m-PB=01—%1+—V2zx=0

所以元=(魚(yú)

設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為沆=(x2fy2fz2)

由伊.四=0,得「不-V3y2-V2Z2=0

令％2=1，得Z2=-V2,y2=

I布?PE=0I-2x2—V2Z2=0

所以沅=(1,今一夜)

nm2\/2

故cos＜沅，元＞=

同同一Ox隼-5

V3

設(shè)二面角B-PC-E的大小為仇由圖可知二面角為銳二面角，所以cos?=等.

［方法二］【最優(yōu)解】：幾何法

設(shè)BCn4E=F,易知尸是BC的中點(diǎn)，過(guò)尸作FGII4P交PE于G,取PC的中點(diǎn)，,

聯(lián)結(jié)GH,則HFIIPB.

由P4_L平面PBC,得FG_L平面PBC.

由（1）可得，BC2=PB2+PC2,得P81PC.

所以FHLPC,根據(jù)三垂線定理，得GH1PC.

所以乙GHF是二面角B-PC-E的平面角.

設(shè)圓0的半徑為r,貝MF=4Bsin60。=-r,AE=2r,EF=-r,—=所以尸G=-PA,FH=-PB=-PA,

22AF3422

FG_1

FH~2*

在RtAGFH中，tanzGHF

FH2

cos4GHF=

所以二面角B-PC-E的余弦值為竿.

D

［方法三］:射影面積法

如圖所示，在PE上取點(diǎn)H,使HE=」PE,設(shè)BCC4E=N,連結(jié)NH.

4

由（1）知NE=24E,所以NH|］24.故NH_L平面P8C.

4

所以，點(diǎn)，在面PBC上的射影為M

故由射影面積法可知二面角B-PC-E的余弦值為cos?=受型.

S&PCH

在中，令PC=PE=t，則易知S“CE=￡所以S“CH=\SAPCE=

APCEZCE=1,44瞽1O?

又SAPCN=沮PBC=故cos。=尚第=矗=竿

【整體點(diǎn)評(píng)】本題以圓錐為載體，隱含條件是圓錐的軸垂直于底面，（1）方法一：利用勾股數(shù)進(jìn)行運(yùn)算證

明，是在給出數(shù)據(jù)去證明垂直時(shí)的常用方法；方法二：選擇建系利用空間向量法，給空間立體感較弱的學(xué)

生提供了可行的途徑；方法三：利用線面垂直，結(jié)合勾股定理可證出：方法四：利用空間基底解決問(wèn)題，

此解法在解答題中用的比較少；

（2）方法r建系利用空間向量法求解二面角，屬于解答題中求角的常規(guī)方法；方法二：利用幾何法，通

過(guò)三垂線法作出二面角，求解三角形進(jìn)行求解二面角，適合立體感強(qiáng)的學(xué)生；方法三：利用射影面積法求

解二面角，提高解題速度.

19.

【答案】(1)7T；(2)1+當(dāng)

【分析】(I)由題意結(jié)合三角恒等變換可得y=l-sin2x,再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解;

(2)由三角恒等變換可得y=sin(2x—》+白，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.

【詳解】(1)由輔助角公式得f(x)=sin%+cos%=V^sin(%+W),

則y=[/(%+~)]2=[V2sin(x+亨)]之=2sin2(x+手)=1—cos(2x+芋)=1—sin2x,

所以該函數(shù)的最小正周期T=y=7T；

(2)由題意，y=/(%)/(%-^)=V2sin(x4--V2sinx=2sin(x+^)sinx

V2y/2

=2sinx?(—sinx+—cosx)=v2sin2x+v2sinxcosx

=yf2?‘-+—sin2x=—sin2x——cos2x+—=sin(2x--)4--,

2222242

由XG[0,g可得[--爭(zhēng),

所以當(dāng)=]即“半時(shí)，函數(shù)取最大值1+冬

20.

【答案】(1弓+9=1

⑵(0,-2)

【分析】(1)將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；

(2)設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.

【詳解】⑴解：設(shè)橢圓E的方程為7n/+ny2=i,過(guò)4(0,-2"

貝(電n4n+=n=1「解得1n=￡1

所以橢圓E的方程為：1+1=1.

43

⑵A(0,-2),B(|,-l),所以AB:y+2=|x,

①若過(guò)點(diǎn)P(l,-2)的直線斜率不存在，直線x=1.代入[+[=1,

可得M(l,—孚)，N(1，竽)，代入AB方程y=|工一2,可得

T(-V6+3,-乎)，由而=前得到H(-2乃+5,-乎).求得HN方程:

丫=(2+手)工—2,過(guò)點(diǎn)(0,-2).

②若過(guò)點(diǎn)PQ,-2)的直線斜率存在,設(shè)h—y-(k+2)=0,〃021),/(%2，%)?

(kx—y—(fc+2)=0

聯(lián)立］x2y2，得(3攵2+4)/一6k(2+k)%+3k(/c+4)=0,

lT+T=1

-8(2+k)

r,v_6M2+k)

*1+"2一礪屋%+丫2=

可得3H+4

,3fc(4+fc)4(4+4左一2〃2)

.*62-布1V1V2=3依+4

且+》2丫1=景工(*)

y=丫1

y=lx-2，可得7(苧+3,%),“(3月+6-x).

{1,yi

可求得此時(shí)HN:y-y2=心,匯？(x-x2)>

將(0,-2),代入整理得2(xi+x2)-6(%+y2)+xty2+孫為一3yly2-12=0,

將(*)代入，得24k+12k2+96+48k-24k-48-48/c+24k2-36/c2-48=0,

顯然成立，

綜上，可得直線HN過(guò)定點(diǎn)(0,-2).

【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種:

①?gòu)奶厥馊胧?，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān):

②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.

21.

【答案】(1)當(dāng)xe(—8,0)時(shí),尸(x)<OJ(x)單調(diào)遞減,當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，4(x)>O,f(x)單調(diào)遞增.(2)

+8)

【分析】(1)由題意首先對(duì)函數(shù)二次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可.

(2)方法一：首先討論戶0的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值

即可確定實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ex+x2—x,f/[x}=ex+2%—1,

由于/〃(%)=眇+2>0,故/(久)單調(diào)遞增，注意到/''(0)=0,故:

當(dāng)％w(-8,o)時(shí),廣(%)vo,f(%)單調(diào)遞減,

當(dāng)%e(o,+8)時(shí),/(%)>o,f(%)單調(diào)遞增.

(2)[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)

由/(無(wú))>+1得，ex+ax2—%>|x3+1,其中％>0,

①.當(dāng)x=0時(shí)，不等式為：1N1,顯然成立，符合題意；

②.當(dāng)x>0時(shí)，分離參數(shù)。得，a》-三｝,

X2

,、ex-^x3-x-l(x-2)(ex-1z2-z-l)

記g(%)=----：—，gM=------F-----J

令h(x)=ex—jx2—x—1(%>0),

則九'(%)=ex—x—1,hff(x)=ex-1>0,

故”(x)單調(diào)遞增，hf(x)>hf(0)=0,

故函數(shù)M為單調(diào)遞增，h(x)>h(0)=0,

由h(x)>0可得：ex—|x2—%—1>0恒成立，

故當(dāng)％6(0,2)時(shí)，y(x)>0,g(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)％6(2,+8)時(shí)，gr(x)<0,gO)單調(diào)遞減；

因此，[g(%)]max=g(2)=r，

綜上可得，實(shí)數(shù)”的取值范圍是+8).

[方法二]：特值探路

17—Q2

3

當(dāng)K>0時(shí),/(%)>-x+1恒成立=/(2)>5=>a>.

只需證當(dāng)時(shí)，/(%)N+1恒成立.

當(dāng)a>時(shí)，f(x)=e*+ax2—%>ex+-x2—x.

44

只需證明e*+^-x2-%>|x3+1(%>0)⑤式成立.

⑤式立竺21三4,

ex

人、223、

令八j/(%)=-(e——-7)-x-+4x-+-2-x--+-4(,%>0),

CL3-e2)/+2(e2-9)7-2H3_r[2%2_(i3_e2)%_2(e2_9)]_-x(x-2)[2x+(e2-9)]

則九'(%)=QX-QX

所以當(dāng)x6［o，?］時(shí)，》(x)<。，僅X)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(亭,2),?(乃>0,%。)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(2,+oo),^(%)<0,九(x)單調(diào)遞減.

從而［7i(x)］max=max{九(0),九(2)}=4,即九(工)工4,⑤式成立.

所以當(dāng)?時(shí)，f(%)N+1恒成立.

42

綜上a>

4

［方法三］:指數(shù)集中

當(dāng)%>0時(shí)，，/(%)>^x3+1恒成立=ex>1%3+1—ax2+%=(^x3—ax2+x+l)e-x<1,

記9(%)=—a%?+%+l)e-x(x>0),

g'(x)=—(1x3—ax2+x+1-|x2+2ax—l)e-x=-^x［x2—(2a4-3)x+4a+2］e-x=—^x(x—2a—

l)(x-2)e-x,

①.當(dāng)2Q4-1<0即a<一機(jī)寸，g'(%)=0=>%=2,則當(dāng)x6(0,2)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，乂g(0)=1，

所以當(dāng)％G(0,2)時(shí)，g(x)>1,不合題意；

②.若0V2a+1<2即—}VaV［時(shí)，則當(dāng)％E(0,2a+1)U(2,+8)時(shí)，/(%)<0,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)％6

(2a+1,2)時(shí)，g\x)>0,g(%)單調(diào)遞增，又g(0)=1,

所以若滿足g(x)W1,只需g⑵W1,即g⑵=(7-40g-231=。)三上，所以當(dāng)='上3@<現(xiàn)寸，

g(%)<1成立；

32-x3x

③當(dāng)2a+1>2即Q>決寸，g(x)=(1%—ax+%+l)e<(|x+%+l)e-,又由②可知與土<a</寸，

3x

g(x)<1成立，所以Q=0時(shí)，g(x)=(|%+%+l)e-<1恒成立，

所以a23時(shí)，滿足題意.

綜上，a>

4

【整體點(diǎn)評(píng)】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，本

題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題，常用方法技巧有：

方法一，分離參數(shù)，優(yōu)勢(shì)在于分離后的函數(shù)是具體函數(shù)，容易研究；

方法二，特值探路屬于小題方法，可以快速縮小范圍甚至得到結(jié)果，但是解答題需要證明，具有風(fēng)險(xiǎn)性；

方法三，利用指數(shù)集中，可以在求導(dǎo)后省去研究指數(shù)函數(shù)，有利于進(jìn)行分類討論，具有一定的技巧性!

（-）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

22.

22

【答案】（1）G：x+y=4（0<x<4）；C2：x—y=4；（2）p=ycos0.

【分析】（1）分別消去參數(shù)。和t即可得到所求普通方程；

（2）兩方程聯(lián)立求得點(diǎn)P,求得所求圓的直角坐標(biāo)方程后，根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化即可得到所求極

坐標(biāo)方程.

【詳解】（1）［方法一］：消元法

由cos?。+sin20=1得G的普通方程為x+y=4（0<x<4）.

由參數(shù)方程可得％+y=2t,x-y=

兩式相乘得普通方程為/-好=4.

［方法二］【最優(yōu)解】：代入消元法

由cos2。+sin26）=1得G的普通方程為X+y=4（0<x<4）,

由參數(shù)方程可得1=等，

代入X=中并化簡(jiǎn)得普通方程為產(chǎn)-y2=4.

（2）［方法一］:幾何意義+極坐標(biāo)

x=tH—,co

將｛；代入x+y=4中解得t=2,故P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為P6,$.

y=t—22

Jt

設(shè)P點(diǎn)的極坐標(biāo)為P（Po，。。），

p2=X2+y2序35V34

由｛tanO=2得P°=H'tan。。=g，cos。。=—.

X

故所求圓的直徑為2r=-勺=乃，

cosO5

所求圓的極坐標(biāo)方程為p=27Tos仇即p=^-cosO.

［方法二］:

由｛11；1二4得｛"二?所以尸點(diǎn)的直角坐標(biāo)為「?'》?

因?yàn)閨OP|=J(|)2+(|)2=".

設(shè)圓C的極坐標(biāo)方程為p=2acos0,所以cos。==言，

從而^—2a,^=?解得2Q=*

故所求圓的極坐標(biāo)方程為p=ycose.

［方法三］:利用幾何意義

_5

由｛1得｛二孑所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為「0

~2,

化為極坐標(biāo)為P(",a),其中cosa=會(huì).

如圖，設(shè)所求圓與極軸交于E點(diǎn)，貝"OPE=90。，

所以0E=g=1,所以所求圓的極坐標(biāo)方程為p=”cos0.

cosa5