數(shù)學(xué)-專(zhuān)項(xiàng)14 勾股定理之垂美四邊形模型綜合應(yīng)用（3大類(lèi)型）（原版）

專(zhuān)題14勾股定理之垂美四邊形模型綜合應(yīng)用（3大類(lèi)型）解題思路解題思路【定義】對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.【結(jié)論】如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC⊥BD，則①AB2＋CD2＝AD2＋BC2.②S四ABCD＝AC·BD【典例分析】【典例1】（2022春?海珠區(qū)校級(jí)期中）定義，我們把對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．概念理解：如圖②，在四邊形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．性質(zhì)探究：如圖①，垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB、CD與BC、AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的猜想，并給出證明．

問(wèn)題解決：如圖③，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE、BG、GE．若AC＝2，AB＝5，則①求證：△AGB≌△ACE②GE＝．【變式1-1】（2022秋?禪城區(qū)校級(jí)期中）四邊形ABCD如圖所示，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，AD＝7，CD＝2．（1）求證：AC⊥CD；（2）求四邊形ABCD的面積．【變式1-2】

（2021春?祁陽(yáng)縣期末）如圖1，我們把對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．概念理解：在下列四邊形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四邊形．是垂美四邊形的是：（填寫(xiě)序號(hào)）；（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，試猜想：兩組對(duì)邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）問(wèn)題解決：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知BC＝6，AB＝10，求GE長(zhǎng)．【變式1-3】（2021春?越秀區(qū)校級(jí)期中）如圖1，對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

（1）概念理解：給出下列圖形：①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形．其中一定是“垂美四邊形”的是（填序號(hào)）；（2）性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD．求證：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解決問(wèn)題：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE．已知AC＝，AB＝3．①請(qǐng)問(wèn)四邊形CGEB是垂美四邊形嗎？并說(shuō)明理由；②求GE的長(zhǎng)．【夯實(shí)基礎(chǔ)】

1．（2022春?海安市月考）如圖1，我們把對(duì)角線(xiàn)相互垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解，在四邊形ABCD中，以下是垂美四邊形的是．①平行四邊形；②矩形；③菱形；④AB＝AD，CB＝CD．（2）性質(zhì)探究，小美同學(xué)猜想“垂美四邊形兩組對(duì)邊的平方和相等”，即，如圖1，在四邊形ABCD中，若AC⊥BD，則AB2+CD2＝AD2+BC2．請(qǐng)判斷小美同學(xué)的猜想是否正確，并說(shuō)明理由．（3）問(wèn)題解決：如圖2．在△ABC中，BC＝3，AC＝4，D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，連接AE、BD．有AE⊥BD，求AB．2．（2021?新北區(qū)一模）如圖1，我們把對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

（1）概念理解：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形、菱形、矩形、正方形，在這四種圖形中是垂美四邊形的是．（2）性質(zhì)探究：如圖2，已知四邊形ABCD是垂美四邊形，試探究其兩組對(duì)邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程．（3）問(wèn)題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，CE交AB于點(diǎn)M，已知AC＝4，AB＝5，求GE的長(zhǎng)．3．（2021春?紅谷灘區(qū)校級(jí)期末）定義：我們把對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD

，問(wèn)四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）性質(zhì)探究：①如圖1，垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB，CD與BC，AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系．寫(xiě)出你的猜想，并給出證明；②如圖3，在Rt△ABC中，點(diǎn)F為斜邊BC的中點(diǎn)，分別以AB，AC為底邊，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，連接FD，F(xiàn)E，分別交AB，AC于點(diǎn)M，N．試猜想四邊形FMAN的形狀，并說(shuō)明理由；（3）問(wèn)題解決：如圖4，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC＝2，AB＝5．求GE的長(zhǎng)．4．（2021春?岳麓區(qū)校級(jí)期末）如圖1，我們把對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）判斷：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的

有；（2）如圖2，垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB、CD與BC、AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的猜想，并給出證明；（3）如圖3，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，CE與BG交于點(diǎn)O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中線(xiàn)OH的長(zhǎng)．5．（2020?科爾沁區(qū)模擬）定義：我們把對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形稱(chēng)為“垂美四邊形”．（1）概念理解：如：圖1，四邊形ABCD中，BA＝BC，DA＝DC，問(wèn)四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）性質(zhì)探究：如圖2，四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD．試證明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）問(wèn)題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE、BG、GE．若AC＝4，AB＝5，求GE的長(zhǎng)．6．（2019春?曾都區(qū)校級(jí)期中）【知識(shí)感知】我們把對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做垂美邊形．（1）【概念理解】如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問(wèn)四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）【性質(zhì)探究】如圖1，試探索垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB，CD與

BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（3）【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC＝8，AB＝10，求GE長(zhǎng)．7．（2019?蘭州模擬）閱讀理解：如圖1，我們把對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．垂美四邊形有如下性質(zhì)：垂美四邊形的兩組對(duì)邊的平方和相等．已知：如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)E．求證：AD2+BC2＝AB2+CD2證明：∵四邊形ABCD是垂美四邊形

∴AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2．拓展探究：（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問(wèn)四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如圖3，在Rt△ABC中，點(diǎn)F為斜邊BC的中點(diǎn)，分別以AB，AC為底邊，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，連接FD，F(xiàn)E，分別交AB，AC于點(diǎn)M，N．試猜想四邊形FMAN的形狀，并說(shuō)明理由；問(wèn)題解決：如圖4，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5．求GE長(zhǎng)．8．（通州區(qū)期末）【圖形定義】我們把對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．【性質(zhì)探究】如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，試探究?jī)山M對(duì)邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；【拓展應(yīng)用】

如圖2，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，分別以AC和AB為直角邊向外作等腰Rt△ACD和等腰Rt△ABE，連接DE，若AC＝4，AB＝5，求DE的長(zhǎng)．9．（2021?南明區(qū)模擬）如圖，我把對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．（1）性質(zhì)探究：如圖1．已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2．（2）解決問(wèn)題：已知AB＝5，BC＝4，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．①如圖2，當(dāng)∠ACB＝90°，連接PQ，求PQ；②如圖3，當(dāng)∠ACB≠90°，點(diǎn)M、N分別是AC、AP中點(diǎn)連接MN．若MN＝2，則S△ABC＝．10．（天水）如圖1，對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問(wèn)四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD．試證明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解決問(wèn)題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB

為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的長(zhǎng)．11．（2021?姑蘇區(qū)校級(jí)二模）如圖1，我們把對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1