高等數(shù)學(xué)第六版習(xí)題答案

高等數(shù)學(xué)第六版上冊課后習(xí)題答案

第一章

習(xí)題1-1

1.設(shè)4=(-8,-5)55,+，),8=[-10,3),寫出

及心(小的的表達(dá)式.

解ZU3=(-8,3)D(5,+°°),

人8=[-10,-5),

^^=(-00,-10)0(5,+oo),

小(Z\5)=[—10,—5).

2.設(shè)Z、8是任意兩個(gè)集合，證明對偶律:(ZC3)C=TU3C.

證明因?yàn)?/p>

(An5)c<=>x^A%仁4或&BoxeAc或％e30=

XGAC

所以(Ar>B)c=Ac\jBc.

3.設(shè)映射y,/uX,8u￥.證明

⑴吐3月⑷5⑻；

(2)為

證明因?yàn)?/p>

yEf(AkjB)^BxE4uB,使f(x)=y

0(因?yàn)閤eA或i或

0

所以為AuB)視A)/B).

(2)因?yàn)?/p>

ye/(/c3)=>Hx“cS,使/(%)=y=(因?yàn)閄EA且%GB)ye兒4)

且y4B)nye

所以他cB)項(xiàng)4)叩8).

4.設(shè)映射/:X.K若存在一個(gè)映射g：y—Y,使g。六人，

fog=lY,其中不人分別是X、y上的恒等映射，即對于每一個(gè)xeX,

有Ixx=x;對于每一個(gè)yeY,有IYy=y.證明:/是雙射，且g是/的

逆映射:g=〃L

證明因?yàn)閷τ谌我獾膟&Y,有x=g(y)eX,且1A%)=/[g(y)]=/y

j可，即丫中任意元素都是X中某元素的像，所以/為X到丫的滿

射.

又因?yàn)閷τ谌我獾?芹%2,必有?？诖?(%2),否則若

加1)刁(%2)=>g[加1)]招[/(%2)]=>%1=%2.

因此,既是單射:又是滿射.，即/是雙射二

對于映射g：y-X,因?yàn)閷γ總€(gè)ye匕有g(shù)(y)KGX,且滿足

m)刁[g(y)]=4尸y,按逆映射的定義,g是7的逆映射.

5.設(shè)映射/：x.y,/ux.證明：

(1尸(/(/))?；

(2)當(dāng)/是單射時(shí)，有尸(/(/))=4.

證明⑴因?yàn)閤e4n危)司6>⑷=>/"'。)=撫尸加))，

所以尸(X⑷Q4

(2)由⑴知尸夕4))=)4

另一方面，對于任意的尸(/(/))=>存在使/

T(y)=x=疵)可.因?yàn)榍?是單射，所以次4這就證明了/

一以/))3.因此尸(/(Z))=/.

6.求下列函數(shù)的自然定義域：

(1).=13x+2；

解由3%+220得.全函數(shù)的定義域?yàn)椤?8).

(2)片丁=；

1-.Y-

解由1—fM得右匕].函數(shù)的定義域?yàn)?-8,-1)5-1,1)51，

+8).

(3).=/一J1一X?；

解由在0且l-x2>0得函數(shù)的定義域D=[-l,0)50,1].

1

2

解由4T2>0得|x|<2.函數(shù)的定義域?yàn)?-2,2).

(5)y=sinVx；

解由介0得函數(shù)的定義Z>[0,+8).

(6)y=tan(x+l);

解由》+1嗎(左=0,±1,±2,…)得函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

X^k7T+~~l(^=0,±1,±2,??-)-

(7)尸arcsin(x-3);

解由1%—3區(qū)1得函數(shù)的定義域。=[2,4].

(8)y=j3-x+arctan1；

x

解由3-x20且得函數(shù)的定義域。=(一8,0)5。，3).

(9)產(chǎn)ln(%+l);

解由1+1>0得函數(shù)的定義域。=(-1,+8).

1

(10)尸ex.

解由得函數(shù)的定義域。=(一8,0)u(0,+8).

7.下列各題中，函數(shù)加)和四)是否相同？為什么？

(iy(x)Tgx2,ga)=2ig%；

(2)/(%)=%,8(%)=后；

(3)f(x)=ljx4-x3,g(x)=xl/x-l.

gW-sec2x-tan2x.

解(1)不同.因?yàn)槎x域不同.

(2)不同.因?yàn)閷?yīng)法則不同,x<0時(shí),g(%)=-%.

(3)相同.因?yàn)槎x域、對應(yīng)法則均相相同.

(4)不同.因?yàn)槎x域不同.

|sinx||n|<4

8.設(shè)夕(x)={3求吟)，吟,奴-5),?-2),并作出

0|x|>|644

函數(shù)尸姓)的圖形.

解奴殺小in爸=；,到多小in介乎，奴一?月sin(-?)卜乎，奴-2)=0.

662442442

9.試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性：

⑴尸士，(-8,1)；

(2)尸x+ln],(0,+8).

證明⑴對于任意的l1,應(yīng)￡(-8,1),有1-為〉0,因?yàn)?/p>

當(dāng)Xi<X2時(shí)，

乃-%=2一---=L.<0

J力1—X11_%2(1-X1)(1-X2)，

所以函數(shù)尸3在區(qū)間(-8,1)內(nèi)是單調(diào)增加的.

⑵對于任意的屆,％20(0,+8),當(dāng)％1<X2時(shí),有

必一?2=(再+InX])-(電+In巧)=(七一巧)+In工<0,

x2

所以函數(shù)尸x+ln%在區(qū)間(0,+8)內(nèi)是單調(diào)增加的.

io.設(shè)_/(%)為定義在(-/,/)內(nèi)的奇函數(shù)，若小)在(0,0內(nèi)單調(diào)

增加，證明外)在(T,0)內(nèi)也單調(diào)增加.

證明對于VX1,%2C(-/,0)且X\<X2,有一%1,-%2G(0,/)且T]〉T2.

因?yàn)橥?在(0,0內(nèi)單調(diào)增加且為奇函數(shù)，所以

X-^2)</(-Xl),如2)<如1)，加2)刀%1),

這就證明了對于V%i,X2G(-/,0),有<%1)<八%2),所以外)在(-/,0)

內(nèi)也單調(diào)增加.

11.設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在對稱區(qū)間(-/,/)上的，

證明：

(1)兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)；

(2)兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函

數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù).

證明(1)設(shè)尸(%)=仆)+旦(%).如果八工)和爪%)都是偶函數(shù)，則

尸（-%）4-%）+8（-%）=/（%）+且（%）=尸（%）,

所以尸（%）為偶函數(shù)，即兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù).

如果兀0和g（x）都是奇函數(shù)，貝I」

尸（一%）=/（_%）+虱_%）=%）_四）=一尸（%），

所以尸（%）為奇函數(shù)，即兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù).

（2）設(shè)廠a）=/a>g（X）.如果/（%）利虱%）都是偶函數(shù)，則

尸（T）=/（r>g（T）yx>g（x）=ba）,

所以月（%）為偶函數(shù)，即兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù).

如果外）和且（%）都是奇函數(shù)，貝IJ

尸（T）=A-%）?g（T）=［TA%）］i-ga）］=/（%>ga）=Fa）,

所以網(wǎng)%）為偶函數(shù)，即兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù).

如果外）是偶函數(shù)，而g（%）是奇函數(shù)，則

尸（一九）=/（一%）2（-%）=/（%）［一虱%）］=~^%>8（%）=-b（%），

所以尸（%）為奇函數(shù)，即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù).

12.下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)，哪些是奇函數(shù)，哪些既非奇

函數(shù)又非偶函數(shù)？

（l）j=x2（l-x2）;

（2）尸3f_X3；

(4)尸%(%-1)(X+1);

(5)尸sinx-cosx+1;

⑹尸QX+Q-X

-2

解⑴因?yàn)?-(-%)2]=%2(1;⑴，所以於)是偶

函數(shù).

(2)由HT)=3(T)2-(T)3=3f+%3可見於)既非奇函數(shù)又非偶函

數(shù).

(3)因?yàn)?(-)=用)K=/?(》),所以大幻是偶函數(shù).

1+(—x)1+X”

(4)因?yàn)閥(-x)=(-x)(-x-1)(-x+l)=-x(x+l)(x-1)=-f(x),所以.火幻

是奇函數(shù).

(5)由y(T)=sin(-%)-cos(T)+l=-sin%-cosx+1可見火元)既非奇

函數(shù)又非偶函數(shù).

(6)因?yàn)?(T)=RT=-i=/(x),所以作)是偶函數(shù).

13.下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)，指出其

周期：

(l?=cos(x—2);

解是周期函數(shù)，周期為/=2萬

(2?=cos4%；

解是周期函數(shù)，周期為/=會(huì).

(3)y=l+sin亦；

解是周期函數(shù)，周期為/=2.

(4)尸xcosx;

解不是周期函數(shù).

(5)尸sin、

解是周期函數(shù)，周期為1=71.

14.求下列函數(shù)的反函數(shù):

⑴尸屈T錯(cuò)誤！未指定書簽。錯(cuò)誤！未指定書簽。；

解由片底TT得x可'-I,所以片也口的反函數(shù)為y=%3-1.

(2)y=R錯(cuò)誤！未指定書簽。；

解由片曰得'*，所以片公的反函數(shù)為片

(3)y琮焉(ad-bcM);

解由尸"±4得'=也2,所以尸土”的反函數(shù)為廣衛(wèi)也

cx+acy-acx+dcx-a

(4)y=2sin3x;

解由^=2sin3%得x=garcs嗚,所以y=2sin3%的反函數(shù)為

arcs嗚.

(5)尸l+ln(x+2);

解由尸1+ln(%+2)得x=e>'~1-2,所以尸1+ln(x+2)的反函數(shù)為

y=ex~l-2.

⑹產(chǎn)工.

1人2x+\

解由片鬻\得》=1。827^-,所以片的反函數(shù)為片log,盧~.

2-'+1\-y2V+1i-x

15.設(shè)函數(shù)/(%)在數(shù)集X上有定義，試證：函數(shù)八”)在X上有

界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界.

證明先證必要性.設(shè)函數(shù)次x)在X上有界，則存在正數(shù)M

使心)區(qū)M即-3這就證明了處c)在X上有下界-M和上

界M

再證充分性.設(shè)函數(shù)加)在X上有下界K｛和上界K2,即

KiV%)wK2.取代max{|K]|,K|},貝U-M<K^x)<

K2<M,

即\f[x}\<M.

這就證明了八工)在X上有界.

16.在下列各題中，求由所給函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，并求這

函數(shù)分別對應(yīng)于給定自變量值看和應(yīng)的函數(shù)值：

⑴尸〃2,〃=sin%,X=y；

o25

22222

解J^=sinx,yt=sin^=(-1)=1,y2=sinj=(-y-)=-1-

(2)尸sinu,u=2x,X}^,x2=^;

解sin2x,y]=sin(2彳)=sinf乃=sin(2q)=sin[=l.

842~42

⑶尸夜，〃=1+VX1=1,X2=2;

解y=yji+x2,必=J1+F=6,-2=Jl+22=亞.

(4)y=e\u=x2,x\=0,應(yīng)=1；

x22

解y=e?y}=e°=1,

(5)尸〃2,u-e,修=1,X2=-l.

解y=ex,j/i=e21=e2,^2=e2(-1-e-2.

17.設(shè)於)的定義域。=[0,1],求下列各函數(shù)的定義域：

⑴加與；

解由03金得網(wǎng)q所以函數(shù)加2)的定義域?yàn)?I,I1

⑵人sinx);

解由0<sinx<l得2〃心&2〃+1)%(〃=0,±1,±2…)，所以函

數(shù)次sin%)的定義域?yàn)?/p>

\ln7t,(2〃+1)用(〃=0,+1,±2---).

(3)4+a)(a>0);

解由OG+aWl得-。白工1-a,所以函數(shù)兀v+a)的定義域?yàn)閇-。,

1—t?].

(4)八％+。)±/(X-。)(。>0).

解由(Kx+aWlJEL0<X-(7<1得：當(dāng)時(shí)，。GWl-a;當(dāng)

時(shí)，無解.因此當(dāng)0<a§時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?-旬，當(dāng)時(shí)函

數(shù)無意義.

1|%|<1

18.設(shè)/?(》)={0向=1,g(x)=，錯(cuò)誤！未指定書簽。，求,/[g(x)]

-1|%|>1

和gg)],并作出這兩個(gè)函數(shù)的圖形.

1忸3f1x<0

解/Ig(x)]=?o|e*|=l,即力g(x)]=,0x=0.

-1|ex|>l[-1x>0

dXK

X_

g[/(x)]=e/(x)=<_u即g[/(x)]=，1

e0/X>

19.已知水渠的橫斷面為等腰梯形，斜角街40。(圖1-37).

b

明其定義域.

圖1-37

解AB=DC=—^,又從^h[BC+(BC+2cot40°h)]^S得

sin4020

BC=^—cot40°h,所以

h

hsin40

自變量h的取值范圍應(yīng)由不等式組

h>0,

-h-cot40°/?>0

確定，定義域?yàn)?<“<JSoCOt40°.

20.收斂音機(jī)每臺(tái)售價(jià)為90元，成本為60元.廠方為鼓勵(lì)

銷售商大量采購，決定凡是訂購量超過100臺(tái)以上的，每多訂購

1臺(tái)，售價(jià)就降低1分，但最低價(jià)為每臺(tái)75元.

(1)將每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)P表示為訂購量%的函數(shù)；

(2)將廠方所獲的利潤P表示成訂購量x的函數(shù)；

(3)某一商行訂購了1000臺(tái)，廠方可獲利潤多少？

解(1)當(dāng)0玄<100時(shí),p=90.

4O.O1(XO-1OO)=9O-75,得沏=1600.因此當(dāng)Q1600時(shí)，夕=75.

當(dāng)100<%<1600時(shí)，

/?=90-(x-100)x0.01=91-0.Olx

綜合上述結(jié)果得到

900<x<100

pJ91-0.01x100<x<1600.

75x>1600

3Ox0<x<100

(2)P=(p-60)x-31%-O.Olx2100<x<1600.

15xx>1600

⑶尸=31*1000-0.0lxl0002=21000(元).

習(xí)題1-2

1.觀察一般項(xiàng)加如下的數(shù)列｛%〃｝的變化趨勢，寫出它們的極

限:

⑴X"=9

解當(dāng)“700時(shí),片卷-0,物/=0.

⑵『(-I)"：；

解當(dāng)場78時(shí),x=(-1)?1^0,lim(-l)〃L=0.

n〃T0°n

⑶芍=2+方

解當(dāng)“78時(shí),x〃=2+-V—2,lim(2+-V)=2.

(心黯

解當(dāng)“78時(shí),*廣得+磊川也馬=L

⑸(一1)”.

解當(dāng)時(shí),%〃=〃(-1)"沒有極限.

COS

2.設(shè)數(shù)列｛/｝的一般項(xiàng)與=［子.問］吧X產(chǎn)？求出N,使當(dāng)

〃>N時(shí),X”與其極限之差的絕對值小于正數(shù)￡,當(dāng)“0.001吐求

出數(shù)N

解limx?=0.

〃一＞8

|cos〃勺

|x?-0|=——2_<i.V￡>0,要使|工〃-0|<￡,只要,<￡,也就是

nnYI

取N=g］,

則V〃〉N,有“一0|<￡.

當(dāng)￡=0.001時(shí)，N吧=1000.

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：

(1)lim3=0；

￥1

分析要使&-0|=*<￡,只須/>《，即〃〉場.

證明因?yàn)閂QO「N=［七］,當(dāng)〃>N時(shí)，有&-0|<￡,所以

lim4=0.

"―>8?

(2)lim誓|3.

〃一＞82〃+12,

分析要使然-非心(一<3只須｝<￡，即〃>￡

2〃+122(2〃+1)4力4〃4e

證明因?yàn)閂Q0TN=［4］，當(dāng)心N時(shí)，有|衿-永/所以

4E2〃+12

2n+l2

(3)lim無運(yùn)=1；

n—^oo匕

分析要例耳十中二標(biāo)只須

,2

n>

證明因?yàn)閂QOTN=￡],當(dāng)W〃>N時(shí)，有I近三1一1|<￡,所以

￡n

lim安運(yùn)=1.

8Y\

(4)lim0.999…9=1.

分析要使[0.99???9-1,只,須[<￡,即〃>l+lg/.

證明因?yàn)閂oO,mz=[i+lgj,當(dāng)V〃>N時(shí)，<|0.99??-9-1|<￡,

所以limO.999…9=1.

W—?ooV'

〃個(gè)

4.lim?=a,證明并舉例說明：如果數(shù)列｛叫｝有極

〃一>8M"T8

限，但數(shù)列｛與｝未必有極限.

證明因?yàn)椤╨一i>m8”.=a,所以VQO^NGN,當(dāng)"〉N時(shí)，有％-水￡,

從而

\\un\-\a\\<\un-a\<￡.

這就證明了lim|i/?|=|<7|.

〃一>oo

數(shù)列｛%|｝有極限，但數(shù)列｛%〃｝未必有極限.例如〃l一i>m8|(-l)〃|=l,

但lim(-1)"不存在.

5.設(shè)數(shù)列｛%〃｝有界,又〃一l>8imy”=0,證明：〃一l>8imxQ"=0.

證明因?yàn)閿?shù)列｛%〃｝有界，所以存在M使有網(wǎng)區(qū)

又limy”=o,所以X/￡>O,mNeN,當(dāng)〃>N時(shí)，有⑼〈春.從而當(dāng)

〃一?87V7

心N時(shí)，有

\xnyn~^xnyn\<M\yn\<M~^E,

所以limx/"=0.

6.對于數(shù)列{%"},若％2k-l7。（左78）,H（左78）,

證明:%〃7a(“T8).

證明因?yàn)閄2k-iTa(k78),X2kTa(k所以X/f>0,

BA?i,當(dāng)2左-1>2K]-1時(shí),旬X2〃-1-。|<￡；

3A?2,當(dāng)2女>2尺時(shí)，有|知-。|<￡.

取2max{2K「l,2K2},只要〃〉N,就有陶—a|<￡.

因此Xn-y61("->8).

習(xí)題1-3

1.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明：

(1)lim(3x-l)=8；

分析因?yàn)?/p>

|(3x-l)-8|=|3x-9|=3|x-3|,

所以要使|(3%-1)-8|<￡,只須.-3|<卜.

證明因?yàn)?。0,皿=2，當(dāng)0<|尤-3]<3時(shí)，有

|(3%-1)一8|<￡,

所以lim(3x-l)=8.

x—>3

(2)lim(5x+2)=12；

XT2

分析因?yàn)?/p>

|(5%+2)-12|=|5%-10|=5|%-2|,

所以要使|(5x+2)-12|<￡,只須IX-2K3.

證明因?yàn)閂￡>OT旌+,當(dāng)04-2|"時(shí)，有

|(5X+2)-12|<￡,

所以lim(5x+2)=12.

x-?2

⑶lim安4=-4；

')XT-1x+2

分析因?yàn)?/p>

|W?4)H飛出卜x+2W-(*,

所以耍使|弟-(~4)|<￡,只須|1-2)|<￡.

證明因?yàn)閂￡>0「3=￡,當(dāng)0<|%-(一2)|<^時(shí)，有

錚川<￡，

所以1加々=-4.

x—>—2x+2

⑷皿落=2?

2

分析因?yàn)?/p>

|是卜2田一2》一2|=2］》一（一；）|,

所以要使|要-2|<￡,只須『《）《￡?

證明因?yàn)?￡>0,36=；￡,當(dāng)OVxT-fl"時(shí)，有

1—4/

-2卜￡,

2x+l

所以％當(dāng)備=2?

2

2.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

1-hX3_1

(1)lim

X—>82x32

分析因?yàn)?/p>

Il+x31II1+工3一9I1

I2x32I?2x3'2|x|3'

所以要使I罷4|<￡,只須木<￡,即|X|>在.

證明因?yàn)閂￡>。,江會(huì)當(dāng)慟〉X時(shí)，有

1+x31

12x32<￡,

所以lim"

Xt82x2

(2)lim卑=0.

X-y/x

分析因?yàn)?/p>

1^-01|sin

所以要使I費(fèi)-0|<￡,只須《<￡，即》>/.

證明因?yàn)閂f>O,mx=2,當(dāng)x>X時(shí)，有

I*。"’

所以isinx.

—imyjx=0

3.當(dāng)時(shí)，產(chǎn)X274.問3等于多少，使當(dāng)|%-2|<3時(shí),

[y-4|<0.001?

解由于當(dāng)時(shí),打一2|f0,故可設(shè)|%—2|vl,即l<x<3.

要使

2

|X-4|=|X+2||X-2|<5|X-2|<0.001,

只要|x-2R氣以=0.0002.

取展0.0002,則當(dāng)0<|x-2|<3時(shí)，就有"―4|<0.001.

4.當(dāng)x78時(shí)，產(chǎn)至U1,問X等于多少，使當(dāng)|x|>X時(shí),

x+3

[y-l|<0.01?

解要使|鋁-1卜3<0.01,只要|x|>、島二=廝，故

?廿+31x2+3V0.01

^^5/397.

5.證明函數(shù)4￥)=慟當(dāng)X70時(shí)極限為零.

證明因?yàn)?/p>

]/(x)-0|=||x|-0|=|x|=|x-0|,

所以要使]/a)-oi<g只須wi<￡.

因?yàn)閷o0,m出：￡,使當(dāng)0<|x-0|<a時(shí)有

]/(x)-0|=||x|-0|<￡,

所以lim|x|=0.

XTO

6.求〃x)=W*)=因當(dāng)XTO時(shí)的左、右極限，并說明它們

XX

在X70時(shí)的極限是否存在.

證明因?yàn)?/p>

lim/(x)=lim—=lim1=1,

X—>0-X—?0-XXT。-

limf(x)=lim—=lim1=1,

x->0+XTO+Xx->0+

Jjm/(x)=Inn/(x),

所以極限limf(x)存在.

x—O'

因?yàn)?/p>

lim°(x)=lim—=lim—=-l,

10—x-?o-xXTO—x

lim奴x)=lim—=lim—=1,

10+XT0+XX70+X

limlim(p(x),

io—x—o+

所以極限limp（x）不存在.

x->0

7.證明：若X7+8及X->-8時(shí)，函數(shù)八%）的極限都存在且都

等于A,則limf（x）=A.

X-

證明因?yàn)閘imf（x）=A,limf（x）=A,所以Vf>0,

x—%—>+<?

mx〉O,使當(dāng)x<-x時(shí)，有心）-z|<￡；

共2〉0,使當(dāng)時(shí)，有依）-/1<￡.

取E=max{Xi,&},則當(dāng)慟>X時(shí),有心）一/|<￡,BPlimf（x）=A.

'X—>8

8.根據(jù)極限的定義證明：函數(shù)外）當(dāng)X->為時(shí)極限存在的充

分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.

證明先證明必要性.設(shè)/）-?，（%7%（））,則\/￡>0凸蘇0,使當(dāng)

0<|x-x0|<<y時(shí)，有

\flx）-A\<￡.

因止匕當(dāng)Xo-&^X<Xo利Xo<X<Xo+b時(shí)都有

\f{x}-A\<E.

這說明外）當(dāng)17%0時(shí)左右極限都存在并且都等于/.

再證明充分性.設(shè)次了0-O）R（%O+O）=4則V"）,

皿>0,使當(dāng)沏-4<%<%0時(shí)，有［小）々<￡；

三次>0,使當(dāng)劭<了<劭+茂時(shí)，有伏%）—山<￡.

取應(yīng)min{4,6},則當(dāng)0<|%-%（）|<3時(shí)，有x0-^<x<x0及

Xo<X<Xo+^2,從而有

\J{X}-A\<E,

即兀r）—>z（xf：o）.

9.試給出X78時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理，并加以證

明.

解X78時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理：如果大X）當(dāng)X78

時(shí)的極限存在，則存在淤>0及心0,使當(dāng)|%|>X時(shí)

證明設(shè)於）-4（X78）,則對于￡=1,BX>0,當(dāng)|%|>X時(shí)，有

\f{x}-A\<E=\.所以

a）［=］危）T+Z區(qū)心）一/|+|/|<1+|4|.

這就是說存在X>0及止0,使當(dāng)|%|>X時(shí),心）|<加，其中止1+M］.

習(xí)題1-4

1.兩個(gè)無窮小的商是否一定是無窮小？舉例說明之.

解不一定.

例如，當(dāng)xfO時(shí)，如）=2%,微）=3%都是無窮小，但!吧

架不是無窮小.

/（x）

2.根據(jù)定義證明：

⑴產(chǎn)白當(dāng)了73時(shí)為無窮??；

x+3

（2）y=xsing當(dāng)時(shí)為無窮小.

證明（1）當(dāng)XW3時(shí)I止普|卡-3|.因?yàn)閂QOT辰￡,當(dāng)

0<|x-3|<b時(shí)，有

所以當(dāng)x73時(shí)產(chǎn)二為無窮小.

x+3

⑵當(dāng)在0時(shí)沖|x||sin（傘-0|.因?yàn)閂e>0,三層￡,當(dāng)0<|%-0|<6

時(shí)，有

|^|=|x||sin'|<|x-O|<<y=￡,

x

所以當(dāng)X—?0時(shí)y=xsin—為無窮小.

x

3.根據(jù)定義證明：函數(shù)產(chǎn)業(yè)為當(dāng)X70時(shí)的無窮大.問X

X

應(yīng)滿足什么條件，能使

證明分析3=|0卜|2+42』-2,要使用只須；-2>〃，

XX|X|IX|

即4六.

證明因?yàn)殪褐v，使當(dāng)0<A0|<b時(shí)，有I號卜河,

所以當(dāng)X70時(shí)，函數(shù)尸正是無窮大.

X

取正10。則旌然.當(dāng)0小-0|<磊時(shí)，［y|>10t

1UI41UI乙

4,求下列極限并說明理由：

(l)lim2x±l;

J"X

(2)1加工

l-x

解(1)因?yàn)?=2+'而當(dāng)XTOO時(shí)L是無窮小，所以

XXX

K78X

⑵因?yàn)槲?l+x(%wl),而當(dāng)x70時(shí)X為無窮小，所以

L—X

端口

5.根據(jù)函數(shù)極限或無窮大定義，填寫下表:

加)7/於)-8於)一/)7

+oo——OO

X—X\/￡>0,

0m蘇0,使

當(dāng)

O<|x-xo|<^

時(shí)，

有恒

\fix)-A\<E.

+

0

X—X

0

Vf>0,3X>0,使當(dāng)

xy

IM>x時(shí)，

8

有恒心)|>M

x-》

4-oo

x-

—OO

解

/)一/-8H%)f+oo於》8

VQO,3<5>O,X/M>0,抽0,VM>0,抽0,V心0,m80,

X7X使當(dāng)使當(dāng)使當(dāng)使當(dāng)

0o<A%o|<視寸，0V寸，0<|%-沏|<視寸，o<A%o|<加寸，

有恒有恒〃）|>M有恒加）>".有恒加）<-M

\fix）-A\<￡.

VQO,3<5>O,X/M>0,3d>0,VM>0,抽0,V心o,m80,

使當(dāng)使當(dāng)使當(dāng)使當(dāng)

X7X

0<￥-X0<視寸，0。：一%（）<視寸，0<￥-沏<加寸，0<￥-%0〈視寸，

+

0

有恒有恒火x）|>M有恒加）>”.有恒加）<-M

網(wǎng)-*<￡

\/￡>0,3d>0,VM>0,3^0,V%0,3&>0,\7%0,抽0,

使當(dāng)使當(dāng)使當(dāng)使當(dāng)

0<￥（廠%<視寸，0<X0T<視寸，0<￥（）-%<:視寸，

0

有恒有恒依）|>M有恒加）>M有恒加）<-M

網(wǎng)-卻<￡

V￡>o,BX>0,V￡>0,3^>0,V￡>0,BA>0,\/e>0,3X>0,

使當(dāng)慟>x時(shí)，使當(dāng)|%|>X時(shí)，使當(dāng)|%|>X時(shí)，使當(dāng)|%|>X時(shí)，

龍一>8

有恒有恒火%）|>“.有恒加）>”.有恒加）<-"

\f（x）-A\<E.

\/￡>0,加0,V￡>0,止0,Vf>0,BA>0,DqO,3A>0,

X-使當(dāng)%>X時(shí)，使當(dāng)時(shí)，使當(dāng)x>X時(shí)，使當(dāng)了>X時(shí)，

OO有恒有恒火x）|>M有恒加）>”.有恒加）<-M

網(wǎng)-Z|<￡.

V￡>o,3A>0,Vf>0,3A>0,Vf>0,3A>0,Ye>0,3A>0,

X7一

使當(dāng)％<-X時(shí),使當(dāng)了<-X時(shí)，使當(dāng)了<-X時(shí),使當(dāng)％<-X吐

OO

有恒有恒火工）|>拉有恒加）>M有恒加）<-".

阿-力|<￡

6.函數(shù)尸xcosx在（-8,+8）內(nèi)是否有界？這個(gè)函數(shù)是否為當(dāng)

X7+8時(shí)的無窮大？為什么？

解函數(shù)y=xcosx在（一8,+8）內(nèi)無界.

這是因?yàn)閂M>0,在（-8,+8）內(nèi)總能找到這樣的工，使得

例如

y（2k7f）=2k7rcos2k7P=2k7r（k=0,1,2,???）,

當(dāng)左充分大時(shí)，就有|M2左砌〉M

當(dāng)X7+8時(shí)，函數(shù)產(chǎn)XCOSX不是無窮大.

這是因?yàn)閂M>0,找不到這樣一個(gè)時(shí)刻N(yùn),使對一切大于N

的％,都有雙%）|>〃.例如

M2左左+多）=（2左不+5）cos（2左乃+女）=0（仁0,1,2,???）,

對任何大的N,當(dāng)左充分大時(shí)，總有X=2而+分N,但［y（x）|=0<M

7.證明：函數(shù)廠41a在區(qū)間（0,1］上無界，但這函數(shù)不是當(dāng)

XX

X―。+時(shí)的無窮大.

證明函數(shù)片4/在區(qū)間（0,1］上無界.這是因?yàn)?/p>

XX

V%0,在（0,1］中總可以找到點(diǎn)玄，使興弘）>加例如當(dāng)

時(shí)，有

y（xk）=2kjr+g,

當(dāng)左充分大時(shí),興弘）>〃

當(dāng)X70+時(shí)，函數(shù)尸LiJ不是無窮大.這是因?yàn)?/p>

xx

VM>0,對所有的蘇0,總可以找到這樣的點(diǎn)x%使0<x*<a

但例如可取

TE，2,…)，

當(dāng)《充分大時(shí),Xk<0但y(Xk)=2k7ism2k7r=0<M.

習(xí)題1-5

1.計(jì)算下列極限:

⑴lim頭；

、,32X—3

解1加頭=蕤=一9.

X—>2%—32—3

(2)lim；

—一"+1'

解，辱鑿=爵?二°.

/2\1.X2-2x+1.

⑶.黑一

解.夸=1吧尚普T㈣曷=殳°

(4)叫^

io3X'+2X

解lim空卓士l44^±ll

103X2+2X=iimo3X+2=2

⑸**

x2+2hx+h2-x2

解lim色絆出=lim=lim(2x+/z)=2x.

力一>oh/?—>oh

(6)lim(2--+^-)；

XT8xx

角阜lim(2—■—4■—-z-)=2—lim-lim--z-=2.

xTgxX2XT8Xx->8xZ

]L

解limJ-T-；=lim——A~~-=]

X—>82x-1x—><?o112

廿一Z------y

xxz

(8)lim產(chǎn)+；；

'XT8X4-3X2-1

解lim》*=O(分子次數(shù)低于分母次數(shù)，極限為零).

xTgx—3x-I

±+±

lim32+：=/x：=o.

或lim

X—>8x4-3x2-lX—>8]21

/一彳

(n\i?12—6x+8.

⑼!嗎PR，

解]imX：_6x+8=]im)x_y=limx-2—，4-2一，2

x74%2-5x+4XT4a—1)(1一4)XT4x-l4-13

(10)lim(l+—)(2y)；

XX

解lim(l+-)(2—^)=lim(l+-)-lim(2—V)=lx2=2.

XT8XXZ18XXT8X2

(11)】im(l+；+]+…+J)；

M—>0°Z42.

解lim(l+^+^+■?-+—)=lim—=2.

〃一?8242，n—>oo[1

1-2

(12)lim1+2+3+；+("T);

W—>OO〃幺

^^1ZLdl.

解liml+2+3+--+(/7-l)Hm=1im=

〃T0°w—>0°2〃—>0°n2

(13)lim("+D(〃+?(〃+3)；

解lim(〃+D(*)("+3)='(分子與分母的次數(shù)相同，極限為

〃一0°5nJ

最高次項(xiàng)系數(shù)之比).

或lim("+l)("+；)("+3)=l]im(l+g(l+2)(i+3)=_L.

5"T8nnn5

(14)lim(-p—^3)?

al1-x\-x5

解蚓PT』『呷瑞羔1甲一四者黑片

2.計(jì)算下列極限:

⑴!蟾竽

解因?yàn)?Q喏臉=°，所以!蛾等=8.

2

⑵.煮T；

x^oo2x4-1

解!吧舄=8（因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)）.

(3)lim(2x3-x+l).

X-?c*>

解lim（2x3—x+l）=8（因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)）.

X—>8

3.計(jì)算下列極限：

（）limx2sin—；

'17x—0X

解物產(chǎn)25皿（=0（當(dāng)%70時(shí),工2是無窮小，而sin；是有界變量）.

（2）

一8X

解lim螫蛔=limLarctanx=O（當(dāng)X78時(shí)，工是無窮小，

x-?8xXT8XX

而arctan尤是有界變量）.

4.證明本節(jié)定理3中的（2）.

習(xí)題1-5

1.計(jì)算下列極限:

x—>2X—3

解1汕頭=頭=一9.

X—>2X—32—3

⑵%舄;

解,既舒=嚼?=°.

⑶/ox四i?｝下~~2廠x4-1.，

解.寸=!W消焉=呵備/=。

(4)lim生二空生；

'Jo3X2+2X

32

解lim4x-2x+x=lim4x^-2x+l=l

.io3X2+2XIO3X+22

(5)lim空華三■

h—0h

222

解lim魚”出=limx-^-2hx+h-x=lim(2x+/?)=2x.

A—>0h0Toh

(6)lim(2--+-y)；

XT8xx

解lim(2--+-^)=2-limlim-^=2.

x78XX2x->o0xx->8X2

(7)limf-1；

?182x2-x-l

T

解limI-；=lim_1

z

X—>82x-x-lX—>8r-2

XX.2

(8)lim/+^；

^0°X4-3X2-1

解lim若R=0(分子次數(shù)低于分母次數(shù)，極限為零).

X.廿一3力一1

1,1

2---I-3----

x2+x]_xi_xl_O.

或lim=im=

X—>OOx-?8<2_!

廠彳

x^-6x+8(x-2)(x-4)x^4^|

解lim=lim=limz=；=

—4X2-5%+4X74(X-1)(X-4)XT4X-J4-13

(10)lim(l+—)(2—y)；

XT8XX

解lim(l+-)(2—y)=lim(l+-)-lim(2—^-)=lx2=2.

1

XT8XXx->8Xx->8x2

(11)lim(l+J+：+…+.；

〃一?8242

抱布lim(l+?+]+…H■——)=lim

〃—>8242〃〃一>8

(12)Hm1+2+3+；+ST)；

〃—>oo

l+2+3+--.+(?-l)

解lim=Hm^=1lim=1

〃—>oow—?oo2〃一>8n2

（13）lim（'+D（"+?（"+3）；

g5n3

解lim（〃+D（*）（〃+3）=!（分子與分母的次數(shù)相同，極限為

〃一0°5nJ

最高次項(xiàng)系數(shù)之比）.

或lim("+1)("+；)("+3)=工lim(l+-)(l+-)(l+-)=1.

〃785戶5〃->8nnn5

(14)lim(J__3);

3

XT]1—X1—x

3.)=liml+x+x2-3,=fm(1W)(X+2)2-

施布lirn(^一

1-x3XT1(l-x)(l+x+x2)XT1(l-x)(l+x+x2)

=-limx+2

=-l.

XT1l+x+x2

2.計(jì)算下列極限:

⑴嚅洋

解因?yàn)閶寫叶烁厮晕?=8

2

⑵lim盧j

7X-^OO2X4-1

解！叫亮=8(因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù))?

(3)lim(2x3-x+l).

X—?8

解lim(2x3_+l)=8(因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)).

X—>8

3.計(jì)算下列極限:

(1)limx2sin—；

解lim^sinLo(當(dāng)XfO吐￥是無窮小，而sin，是有界變量).

x-XX

(2)

X—8X

解lim生皿=limLarctanx=O(當(dāng)時(shí)，工是無窮小，

x-?8xXT0°XX

而arctanx是有界變量).

4.證明本節(jié)定理3中的(2).

習(xí)題1-7

1.當(dāng)X70時(shí),2x-f與尤2T3相比，哪一個(gè)是高階無窮小?

解因?yàn)楸馐帧?1而?=0,

-v^o2x-x2x-o2-X

所以當(dāng)X70時(shí),是高階無窮小，即X2-X3=O(2X-X2).

2.當(dāng)x71時(shí)，無窮小IT和⑴1-X3,(2申12)是否同階？是

否等價(jià)？

解(1)因?yàn)?。J。。+x+/)=1加(1+.+/)=3,

x—>11—XX—>11—XX->1

所以當(dāng)了一1時(shí)，1T和1-?是同階的無窮小，但不是等價(jià)無窮小.

2

-^-(1—X)1

⑵因?yàn)閘im-2-------=--lim(14-x)=l,

x->\1-X2XTI

所以當(dāng)X71時(shí)，IT和;(1-,)是同階的無窮小，而且是等價(jià)無窮

小.

3,證明：當(dāng)工70時(shí)，有：

(1)arctan%?%;

2

(2)secx-l?5?

證明⑴因?yàn)閘im理皿=lim1-=l(提示：令產(chǎn)arctanX,則當(dāng)

ioxy->otany

x—^0時(shí),y->0),

所以當(dāng)170時(shí)，arctanx~x.

2sin2^2sin^

⑵因?yàn)閘im半M=21im與江=lim----=-2-=lim(------)2=1

1

x—01￡X^OXZCOSXx->0xx70X

2T2

所以當(dāng)X70時(shí)，secx-1-^.

4.利用等價(jià)無窮小的性質(zhì),求下列極限:

⑴1而出逐；

''io2x

(2)lim叫；(〃,加為正整數(shù));

%—o(sinx)w

tanvsinx

(3)lim-；；

iosin3x

(4)limsin-x----t/anx——.

(vl+x2-l)(Jl+sinx-l)

解⑴聞野生

⑵顧需系二㈣喘」1n=m

0n>m.

OOn<m

,.sinx(-----1).梟2

⑶limtanx-sinx=limc^,=lim1-cosx=h?—=1

iosin3xiosin'x-^ocosxsin2%xzcosx2

(4)因?yàn)?/p>

sinx-tanx=tanx(cosx-l)=-2tanxsin2^?-2x-(^)2x3

%+.T=/?&(x70),

^/(l+x2)2+Vl+x2+13

Jl+sinx-1=/sin￡----sinx-x(X—>0)9

Jl+sinx+1

_J_X3

所以lim,smx-：anx=./_=-3.

io(Vl+x2-l)(Vl+sinx-l)i°_lx2x

5.證明無窮小的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：

(1)a?。(自反性);

⑵若a?B，則止M對稱性)；

⑶若a?以止％則巾乂傳遞性).

證明(l)lim^=l,所以a?。；

(2)若a?以則1嶗=1,從而iim《=i.因此小a;

⑶若(X?/3,3/limy=lim-ylim-^=l.因止匕8-%

習(xí)題1—8

1.研究