陜西省漢中市漢臺區(qū)2024屆高三上學(xué)期第四次校際聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題（教師版）

2024屆高三第四次校際聯(lián)考數(shù)學(xué)（文科）試題注意事項(xiàng)：1．本試卷共4頁，全卷滿分150分，答題時間120分鐘．2．答卷前，務(wù)必將答題卡上密封線內(nèi)的各項(xiàng)目填寫清楚．3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．（）1.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.1 C. D.i【答案】A【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的概念求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以共軛?fù)數(shù)的虛部為，故選：A.2.設(shè)全集，集合，則的值為（）A. B.和 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用補(bǔ)集的定義即可求解.【詳解】由題知，因?yàn)?，所以，?故選：C3.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則（）A.3 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，分別求得和，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，可得，又因?yàn)?，可得，所以，所?故選：C.4.某工廠生產(chǎn)A，B，C三種不同型號的產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為2∶3∶5，用分層抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本．若樣本中A型號的產(chǎn)品有20件，則樣本容量n為（）A.50 B.80 C.100 D.200【答案】C【解析】【分析】直接由分層抽樣的定義按比例計算即可.【詳解】由題意樣本容量為.故選：C.5.在中，內(nèi)角，，所對的邊為，，，若，，，則角的大小為（）A. B.或 C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理及三角形內(nèi)角和性質(zhì)求角的大小.【詳解】由，則，而，故或，顯然，所得角均滿足.故選：B6.如果，那么下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、反比例比偶的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】A：當(dāng)時，顯然成立，但是，因此本選項(xiàng)不等式不成立；B：因?yàn)榉幢壤瘮?shù)是正實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，因此當(dāng)時，不等式不成立，因此本選項(xiàng)不等式不成立；C：因?yàn)楹瘮?shù)是實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，因此當(dāng)時，不等式不成立，因此本選項(xiàng)不等式不成立；D：因?yàn)楹瘮?shù)是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，因此當(dāng)時，不等式成立，因此本選項(xiàng)不等式成立，故選：D7.如圖，在正方體中，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)異面直線夾角的定義，連接，則就是所求的角，解三角形即可.【詳解】連接，則，故為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，連接，則，因?yàn)镕為的中點(diǎn)，故，在中，因?yàn)?，故，即異面直線與所成角的大小為；故選：C．8.已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用焦點(diǎn)重合可得的值，結(jié)合雙曲線的漸近線方程可得答案.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以雙曲線的一個焦點(diǎn)也是，所以，解得，即雙曲線的方程為，其漸近線的方程為：.故選：A.9.若實(shí)數(shù)滿足約束條件則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出可行域，結(jié)合圖形即可得出結(jié)果.【詳解】如圖所示作出可行域，當(dāng)過直線和的交點(diǎn)即時，此時.故選：C10.已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且關(guān)于點(diǎn)對稱，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對稱軸的性質(zhì)，結(jié)合正弦型函數(shù)的周期公式、對稱性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以該函數(shù)的最小正周期為，又因?yàn)?，所以有，即，因?yàn)樵摵瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，因?yàn)?，所以令，故選：B11.在三棱錐中，已知底面，，，則三棱錐外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)中點(diǎn)，中點(diǎn)，由直角三角形外接圓為斜邊中點(diǎn)，且由題意可知，所以底面，則為三棱錐外接球的球心，可解.【詳解】設(shè)中點(diǎn)，中點(diǎn)，由，，所以的外接圓直徑，且圓心為，由于底面，，所以底面，則為三棱錐外接球的球心，所以外接球的直徑，所以外接球的體積．故選：B12.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】由題意,，則，即，解得，另外,當(dāng)時,在區(qū)間(?1,1)恰有一個極值點(diǎn)，當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間(?1,1)沒有一個極值點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選B.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知平面向量，，若，則_______．【答案】##【解析】分析】根據(jù)題意，結(jié)合，列出方程，即可求解.【詳解】由平面向量，，因?yàn)椋傻?，解?故答案為：.14.一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為40秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為45秒，則當(dāng)你到達(dá)該路口時，看見黃燈的概率為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)幾何概型運(yùn)算求解即可.【詳解】根據(jù)題意得：看見黃燈的概率為.故答案為：15.已知為第二象限角，滿足，則_________．【答案】【解析】【分析】運(yùn)用正、余弦的二倍角公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.【詳解】，因?yàn)闉榈诙笙藿?，所以，因此由，故答案為?6.過四點(diǎn)、、、中的三點(diǎn)的一個圓的方程為______（寫出一個即可）.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】利用圓的一般式方程求過三點(diǎn)的圓.【詳解】過，，時，設(shè)圓的方程為，則，解得，圓的方程是：，即；同理可得：過、、時，圓的方程是：；過，，時，圓的方程是：；過，，時，圓的方程是：.故答案為：.（、、、寫其中一個即可）三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出的公差為，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求解即可；（2）由（1）判斷出前六項(xiàng)為正，后四項(xiàng)為負(fù)，進(jìn)而利用前項(xiàng)和公式求解即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，，解得，，故.【小問2詳解】由（1）知，，，，，．18.大學(xué)生劉銘去某工廠實(shí)習(xí)，實(shí)習(xí)結(jié)束時從自己制作的某種零件中隨機(jī)選取了10個樣品，測量每個零件的橫截面積（單位：）和耗材量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號12345678910總和零件的橫截面積0.030.050.040.070.070.040.050.060.060.050.52耗材量0.240.400.230.550.500.340.350.450.430.4139并計算得，．（1）估算劉銘同學(xué)制作的這種零件平均每個零件的橫截面積以及平均一個零件的耗材量；（2）求劉銘同學(xué)制作的這種零件的橫截面積和耗材量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）．附：相關(guān)系數(shù)；．【答案】（1）橫截面積為，耗材量為．（2）0.94【解析】【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)的計算公式，即可求解；（2）由表格中的參考數(shù)據(jù)和相關(guān)系數(shù)的公式，準(zhǔn)確計算，即可求解.【小問1詳解】解：樣本中10個這種零件的橫截面積的平均值，樣本中10個這種零件的耗材量的平均值，由此可估算劉銘同學(xué)制作的這種零件平均每個零件的橫截面積為，平均一個零件的耗材量為．【小問2詳解】解：由表格中的參考數(shù)據(jù)和相關(guān)系數(shù)的公式，可得，所以這種零件的橫截面積和耗材量的樣本相關(guān)系數(shù).19.如圖，在直三棱柱中，，，，，分別為，的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)勾股定理證得，根據(jù)直棱柱的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)定理證得；再根據(jù)線面垂直的判定定理證得平面；最后根據(jù)面面垂直的判定定理即可證得平面平面.（2）根據(jù)三棱錐等體積及錐體體積公式可求解.【小問1詳解】證明：∵，，∴，∴.∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，∴，又因?yàn)?，平面，平面，∴平面，又平面ACE，∴平面平面．【小問2詳解】由（1）知，平面，∴AC為三棱錐的高，且.由直三棱柱的性質(zhì)可得：四邊形為矩形.因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，，，則，∴．20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）求證：．【答案】（1）極小值為，無極大值（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用求導(dǎo)得出的遞增區(qū)間和遞減區(qū)間，即可得到結(jié)果；（2）構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得證.【小問1詳解】，∴，令，解得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，有極小值且為，無極大值．【小問2詳解】設(shè)函數(shù)，則，，因?yàn)檫f增，遞增，可得在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，故，即得證．21.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，焦距為2．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的左焦點(diǎn)，且斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）先根據(jù)題意寫出直線的方程；再聯(lián)立直線和橢圓的方程，利用韋達(dá)定理和弦長公式求出，利用點(diǎn)到直線距離公式求出點(diǎn)到直線AB的距離；最后利用三角形面積公式即可求解.【小問1詳解】由題意可得：焦距為，離心率,則，.又由，得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．【小問2詳解】由（1）知：左焦點(diǎn)為.則直線方程為：.設(shè)，，聯(lián)立整理可得：，則，且，.由弦長公式得，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線AB的距離，所以．（二）選考題：共10分．考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，的圓心為，半徑為4.（1）寫出的一個參數(shù)方程；（2）直線與相切，且與軸和軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)，若，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線的極坐標(biāo)方程.【答案】（1）（為參數(shù)）；（2），或.【解析】【分析】（1）由題可得的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)而可得的參數(shù)方程；（2）根據(jù)題意可得直線的斜率為，然后利用直線與圓的位置關(guān)系可得直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而即得.【小問1詳解】由題意可知，的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；【小問2詳解】由題意可知，直線的斜率為，設(shè)其方程為，即，因?yàn)閳A心到直線的距離為4，所以，化解得，解得，或，所以直線的直角坐標(biāo)方程為，或，所以直線的極坐標(biāo)方程為，或.選修4—5：不等式選講23.已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若二次函數(shù)與函數(shù)的圖象恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式，去掉絕對值號，分，和討論