江西省新余市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷

高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題命題人：分宜中學(xué)謝平新鋼中學(xué)鄒進(jìn)輝審題人：劉勇剛說明：1．本卷共有四個大題，22個小題，全卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．本卷分為試題卷和答題卷，答案要求寫在答題卷上，在試題卷上作答不給分．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知函數(shù)的定義域?yàn)榧螦，集合，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足：，則（）A．1 B． C． D．53．在中，“”是“為直角三角形”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．為慶祝我國第39個教師節(jié)，某校舉辦教師聯(lián)誼會，甲、乙兩名數(shù)學(xué)老師組成“幾何隊”參加“成語猜猜猜”比賽，每輪比賽由甲、乙兩人各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為．在每輪比賽中，甲和乙猜對與否互不影響，則“幾何隊”在一輪比賽中至少猜對一個成語的概率為（）A． B． C． D．5．如圖，（）A． B． C． D．6．已知向量，，且，若，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．7．已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為，，若，則（）A． B． C． D．8．已知三棱錐的棱長均為6，其內(nèi)有n個小球，球與三棱錐的四個面都相切，球與三棱錐的三個面和球都相切，如此類推，…，球與三棱錐的三個面和球都相切（，且），則球的表面積等于（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．某校1500名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的競賽成績（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則（）A．頻率分布直方圖中a的值為0.005B．估計這40名學(xué)生的競賽成績的第60百分位數(shù)為75C．估計這40名學(xué)生的競賽成績的眾數(shù)為80D．估計總體中成績落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為22510．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A．是周期函數(shù) B．為R上的偶函數(shù)C．為R上的單調(diào)函數(shù) D．的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱11．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（）A．若，則M為的重心B．若M為的內(nèi)心，則C．若M為的垂心，，則D．若，，M為的外心，則12．已知長方體的表面積為10，十二條棱長度之和為16，則該長方體（）A．一定不是正方體 B．外接球的表面積為C．長、寬、高的值均屬于區(qū)間 D．體積的取值范圍為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若直線與圓相切，則實(shí)數(shù)______．14．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則的最小值為______．15．杭州第19屆亞運(yùn)會于2023年9月23日至10月8日舉辦，杭州亞運(yùn)會競賽項(xiàng)目設(shè)置為40個大項(xiàng)，61個分項(xiàng)，481個小項(xiàng)，并增設(shè)電子競技、霹靂舞兩個競賽項(xiàng)目．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到乒乓球、電子競技、霹靂舞三個項(xiàng)目志愿服務(wù)，其中每個項(xiàng)目至少一名志愿者，甲必須在霹靂舞項(xiàng)目，則不同的志愿服務(wù)方案共有______種．16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作傾斜角為的直線l與C的左、右兩支分別交于點(diǎn)P，Q，若，則C的離心率為______．四、解答題：（本大題共6小題，17題10分，18～22題各12分，共70分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟）17．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且．（1）求A；（2）若D為的中點(diǎn)，且，求的面積．18．如圖，與都是邊長為2的正三角形，平面平面，平面且．（1）證明：平面．（2）求平面與平面的夾角的大?。?9．在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到直線的距離．（1）求動點(diǎn)P的軌跡方程；（2）記動點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過點(diǎn)F的直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，，直線的斜率為，直線的斜率為．證明：為定值．20．魔方，又叫魯比可方塊，最早是由匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具．魔方擁有競速、盲擰、單擰等多種玩法，風(fēng)靡程度經(jīng)久未衰，每年都會舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一．通常意義下的魔方，是指狹義的三階魔方．三階魔方形狀通常是正方體，由有彈性的硬塑料制成．常規(guī)競速玩法是將魔方打亂，然后在最短的時間內(nèi)復(fù)原．廣義的魔方，指各類可以通過轉(zhuǎn)動打亂和復(fù)原的幾何體．魔方與華容道、法國的單身貴族（獨(dú)立鉆石棋）并稱為智力游戲界的三大不可思議，在2018WCA世界魔方蕪湖公開賽上，杜宇生以3.47秒的成績打破了三階魔方復(fù)原的世界紀(jì)錄，勇奪世界魔方運(yùn)動的冠軍，并成為世界上第一個三階魔方速擰進(jìn)入4秒的選手．（1）小王和小吳同學(xué)比賽三階魔方，已知小王每局比賽獲勝的概率均為，小吳每局比賽獲勝的概率均為，若采用三局兩勝制，兩人共進(jìn)行了X局比賽，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）小王和小吳同學(xué)比賽四階魔方，首局比賽小吳獲勝的概率為0.5，若小王本局勝利，則他贏得下一局比賽的概率為0.6，若小王本局失敗，則他贏得下一局比賽的概率為0.5，為了贏得比賽，小王應(yīng)選擇“五局三勝制”還是“三局兩勝制”？21．已知等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足，，，且既是和的等差中項(xiàng)，又是其等比中項(xiàng)．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記，其中，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和；（3）記，其前n項(xiàng)和為，若對恒成立，求的最小值．22．已知函數(shù)，且．（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）若，且存在三個零點(diǎn)，，．（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ii）設(shè)，求證：．高三數(shù)學(xué)試題卷參考答案一、單選題（每小題5分，共40分）題號12345678答案DADBCACD二、多選題（每小題5分，共20分，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）題號9101112答案ADABDABCABD三、填空題（每題5分，共20分）13．7或 14． 15．50 16．四、解答題（共70分）17．（1）因?yàn)椋裕烧叶ɡ淼?，化簡得．因?yàn)?，，所以．因?yàn)?，所以．?）因?yàn)镈為的中點(diǎn)，所以中所，等式兩邊平方得，即①．在中，由余弦定理得②，聯(lián)立①②解得，所以．18．（1）取中點(diǎn)F，連接，，都是邊長為2的正三角形，，，，又，面，面，面，又平面平面，面且又面且，，，是正方形，又，平面，平面，平面（2）由（1）知，，兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系由于x軸垂直面平面的法向量為又，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，所以平面與平面的夾角為19．（1）因動點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到直線的距離，故可知動點(diǎn)P的軌跡是拋物線，設(shè)其方程為，由題意得，故動點(diǎn)P的軌跡方程為：．（2）如圖，因直線l的斜率不能為零（否則直線l與拋物線只有一個公共點(diǎn)），又過點(diǎn)，可設(shè)，由消去x并整理得：，顯然，設(shè)，，則由韋達(dá)定理，，（*）則，將（*）代入得：，故為定值0.20．（1）因?yàn)椴捎萌謨蓜僦疲訶的可能取值為2，3，表示小王或小吳連勝兩局；表示小王與小吳前兩局一勝一負(fù)；所以，，所以X的分布列為：X23P則X的數(shù)學(xué)期望為．（2）若小王選擇“三局兩勝制”，則小王獲勝的情況為：勝勝；勝負(fù)勝；負(fù)勝勝；則小王獲勝的概率為；若小王選擇“五局三勝制”，則小王獲勝的情況為：勝勝勝；勝勝負(fù)勝；勝負(fù)勝勝；負(fù)勝勝勝；勝勝負(fù)負(fù)勝；勝負(fù)勝負(fù)勝；勝負(fù)負(fù)勝勝；負(fù)負(fù)勝勝勝；負(fù)勝負(fù)勝勝；負(fù)勝勝負(fù)勝；則小王獲勝的概率為，因?yàn)?，所以小王?yīng)選擇“五局三勝制”．21．（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，，，所以，解得，，既是和的等差中項(xiàng)，又是其等比中項(xiàng)，得，，解得，即，所以，．（2），．又，①②①減②得：，．（3），，，則是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，，，令，，當(dāng)n為奇數(shù)時，，且遞減，可得的最大值為，當(dāng)n為偶數(shù)時，，且遞增，可得的最小值為，所以的最小值為，最大值為，因?yàn)?，對恒成立，所以，所以，所以的最小值為?2．（1）當(dāng)時，則，又，所以，所以曲線在處的切線方程為，即．（2）（i）因?yàn)?，且存在三個零點(diǎn)，，，所以有3個根，當(dāng)時，，，，所以在上是單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在定理，方程必有一個負(fù)根，當(dāng)，，即有兩個根，令，可轉(zhuǎn)化為與有兩個交點(diǎn)，，可得時，即在單調(diào)遞增，可得時，即在單調(diào)遞減，其中，當(dāng)，，所以可得，解得．（ii）因?yàn)椋掖嬖谌齻€零點(diǎn)，，，設(shè)，，，