廣東省廣州市仲元中學(xué)2024屆高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試題（教師版）

廣東省廣州市仲元中學(xué)2024屆高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.命題“，”為假命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先轉(zhuǎn)化為存在量詞命題的否定，求參數(shù)的取值范圍，再求其真子集，即可判斷選項(xiàng).【詳解】若命題“，”為假命題，則命題的否定“，”為真命題，即，恒成立，，，當(dāng)，取得最大值，所以，選項(xiàng)中只有是的真子集，所以命題“，”為假命題的一個(gè)充分不必要條件為.故選：D2.若（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解，即可得出，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念得出，進(jìn)而得出答案.【詳解】由已知可得，，所以，，則，所以，.故選：A.3.已知，則的值為（）A. B. C. D.4【答案】D【解析】分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出.【詳解】，與聯(lián)立，可得，則，故選：D.4.已知空間向量，則（）A.3 B. C. D.21【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合空間向量的模長公式、數(shù)量積公式運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意，，所以.故選：C.5.在等比數(shù)列中，，若，且的前項(xiàng)和為，則滿足的最小正整數(shù)的值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)及分組求和法，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和及數(shù)列的單調(diào)性即可求解.【詳解】由可得，故，設(shè)的公比為，則，即，故，則．由于時(shí)，，故隨著的增大而增大，而，，故滿足的最小正整數(shù)的值為6．故選：B.6.人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題.認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù).早在1798年，英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了人口增長模型.已知1650年世界人口為5億，當(dāng)時(shí)這段時(shí)間的人口的年增長率為0.3%.根據(jù)模型預(yù)測________年世界人口是1650年的2倍.（參考數(shù)據(jù)：，）A.1878 B.1881 C.1891 D.1993【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意列出方程，結(jié)合給定的近似值計(jì)算即可.【詳解】設(shè)年后世界人口是1650年的2倍，由題意得，解得，故在1881年世界人口是1650年的2倍.故選：B7.在中，為中點(diǎn)，若將沿著直線翻折至，使得四面體的外接球半徑為1，則直線與平面所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理求的外接圓半徑，根據(jù)外接球半徑即可確定球心，然后利用等體積法求到平面的距離即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，由為中點(diǎn)，所以，則，即為等邊三角形，設(shè)的外接圓圓心為G，的外接圓圓心為O，取BD中點(diǎn)為H，連接，因?yàn)?，所以由正弦定理可得，即的外接圓半徑為1，又四面體的外接球半徑為1，所以O(shè)為外接球球心，由球的性質(zhì)可知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，所?設(shè)到平面的距離為d，因?yàn)楹投际沁呴L為1的正三角形，所以，由得，即，記直線與平面所成角為，則，所以.故選：A8.設(shè)分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，以為圓心且過的圓與x軸交于另一點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)Q，線段與C交于點(diǎn)A．已知與的面積之比為，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可逐步計(jì)算出點(diǎn)A坐標(biāo)，由點(diǎn)A在橢圓上，將其代入橢圓方程得到等式后，借助等式即可計(jì)算離心率.【詳解】由題意可得、，，則以為圓心且過的圓的方程為，令，則，由對稱性，不妨取點(diǎn)在軸上方，即，則，即，有，則，又，即有，即，代入，有，即，即在橢圓上，故，化簡得，由，即有，整理得，即，有或，由，故舍去，即，則.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率時(shí)，可將已知的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于橢圓基本量a，b，c的方程，利用和轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，通過解方程求得離心率．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列結(jié)論正確的有（）A.相關(guān)系數(shù)越接近1，變量，相關(guān)性越強(qiáng)B.若隨機(jī)變量，滿足，則C.相關(guān)指數(shù)越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差D.設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合相關(guān)系數(shù)，方差的性質(zhì)，相關(guān)指數(shù)的定義，二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式計(jì)算，逐個(gè)判斷即可.【詳解】對于A：由相關(guān)系數(shù)的定義可知，相關(guān)系數(shù)越接近，變量正相關(guān)性越強(qiáng)；相關(guān)系數(shù)越接近，變量負(fù)相關(guān)性越強(qiáng)，故A正確.對于B：由隨機(jī)變量，滿足，則，故B錯(cuò)誤.對于C：由相關(guān)指數(shù)的定義可知，相關(guān)指數(shù)越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差，故C正確.對于D：，故D正確.故選：ACD10.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍（縱坐標(biāo)保持不變），得到函數(shù)的圖象，下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.B.關(guān)于對稱C.在區(qū)間上有644個(gè)零點(diǎn)D.若在上是增函數(shù)，則的最大值為【答案】BC【解析】【分析】由平移變換法則首先得即可判斷A；對于B，直接代入檢驗(yàn)即可；對于C，得是函數(shù)零點(diǎn)，令，看關(guān)于的不等式的整數(shù)解的個(gè)數(shù)即可；對于D，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性舉反例即可判斷.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后所得圖象對應(yīng)解析式為，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍（縱坐標(biāo)保持不變），則，故A錯(cuò)誤；對于B，，故B正確；對于C，令，得，即，令，解得，所以在區(qū)間上有644個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對于D，首先，取，則當(dāng)時(shí)，有，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知此時(shí)也單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、，其中，直線與橢圓交于、兩點(diǎn).則下列說法中正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，的周長為B.當(dāng)時(shí)，若的中點(diǎn)為，為原點(diǎn)，則C.若，則橢圓的離心率的取值范圍是D.若的最大值為，則橢圓的離心率【答案】AC【解析】【分析】利用橢圓的定義可判斷A選項(xiàng)；利用點(diǎn)差法可判斷B選項(xiàng)；由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出，代入橢圓方程，結(jié)合的不等關(guān)系可求出的取值范圍，可判斷C選項(xiàng)；將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式求出的最大值，可求出該橢圓離心率的值，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，易知點(diǎn)、，直線過橢圓的左焦點(diǎn)，所以，的周長為，A對；對于B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)、，則點(diǎn)，因?yàn)?，則且，則，，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，上述兩個(gè)等式作差可得，所以，，即，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，，，則，即，可得，由，即，可得，因?yàn)椋傻?，可得，則，因?yàn)椋傻?，所以，，則，因?yàn)?，則，即，所以，，可得或（舍去），故，綜上所述，，C對；對于D選項(xiàng)，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，，故當(dāng)時(shí)，取最大值，即，則，D錯(cuò).故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.12.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】通過證明確定，的大小關(guān)系；通過證明確定，的大小關(guān)系；【詳解】令，，在上單調(diào)遞增，，，，.令，，令，顯然在為減函數(shù)，，使，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，所以的最小值為中一個(gè)，而，即，在上單調(diào)遞增，，.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題使用構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關(guān)系，在構(gòu)造函數(shù)時(shí)首先把要比較的值變形為含有一個(gè)共同的數(shù)值，將這個(gè)數(shù)值換成變量就有了函數(shù)的形式，如在本題中，，將視為，將視為函數(shù)與的函數(shù)值，從而只需比較與這兩個(gè)函數(shù)大小關(guān)系即可.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在的二項(xiàng)展開式中任取一項(xiàng)，則該項(xiàng)系數(shù)為有理數(shù)的概率為____________．【答案】【解析】【分析】由題可得的二項(xiàng)展開式共有7項(xiàng)，通項(xiàng)為：，則該項(xiàng)系數(shù)為有理數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，即可得答案.【詳解】的二項(xiàng)展開式共有7項(xiàng)，通項(xiàng)為：，其中，要使項(xiàng)系數(shù)為有理數(shù)，則為偶數(shù)，即時(shí)，項(xiàng)系數(shù)為有理數(shù)，則相應(yīng)概率為：.故答案為：.14.已知公差不為0的等差數(shù)列中，存在，，滿足，，則項(xiàng)數(shù)__________.【答案】2023【解析】【分析】設(shè)公差為，裂項(xiàng)相消得到，進(jìn)而求和得到方程，求出答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，可得，因?yàn)?，所?故答案為：15.如圖，該“四角反棱柱”是由兩個(gè)相互平行且全等的正方形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、連接而成，其側(cè)面均為等邊三角形，則該“四角反棱柱”外接球的表面積與側(cè)面面積的比為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)幾何體棱長為4a，計(jì)算出幾何體側(cè)面積，設(shè)上、下正四邊形的中心分別為，，連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B為所在棱的中點(diǎn)，得OA即該幾何體外接球的半徑，得外接球表面積，計(jì)算比值即得.【詳解】如圖，由題意可知旋轉(zhuǎn)角度為，設(shè)上、下正四邊形的中心分別為，，連接，則的中點(diǎn)O即為外接球的球心，其中點(diǎn)B為所在棱的中點(diǎn)，OA即該幾何體外接球的半徑，設(shè)棱長為4a，則側(cè)面積為，，，，過點(diǎn)B作于點(diǎn)C，則，，易得四邊形為矩形，即，，則，即該“四角反棱柱”外接球的半徑．外接球表面積為，該“四角反棱柱”外接球的表面積與側(cè)面面積的比為．故答案為：.【點(diǎn)睛】由題意，側(cè)面均為正三角形，所以可知旋轉(zhuǎn)角度為，OA即該幾何體外接球的半徑.16.已知為函數(shù)圖象上一動點(diǎn)，則的最大值為_________．【答案】【解析】【分析】由題意把表示成與的夾角的余弦值的2倍，再由幾何關(guān)系求得最值可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，原點(diǎn)，則，；所以，即，如圖所示，所以當(dāng)直線與函數(shù)在軸右側(cè)相切時(shí)，取到最大值，即取得最大值；聯(lián)立直線與函數(shù)可得，所以，解得（舍去）；此時(shí)，所以，即的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)表達(dá)式的特征，將其轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示形式，利用幾何關(guān)系求出最值即可.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟.17.已知數(shù)列首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且．設(shè)．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)求出，證明出是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，得到通項(xiàng)公式；（2）求出，裂項(xiàng)相消法求和得到，結(jié)合，得到答案.【小問1詳解】在數(shù)列中，①，②，由①-②得：，即，，所以，即，在①中令，得，即，而，故．則，即，又，所以，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；【小問2詳解】，，又因?yàn)椋?，所?18.在中，，.（1）求A；（2）已知M為直線上一點(diǎn)，，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）利用給定條件直接求角即可.（2）利用余弦定理求出關(guān)鍵邊長，再求面積即可.【小問1詳解】在中，，，則，∵，即，又，則；【小問2詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，在中，，解得（?fù)值舍去），所以19.如圖，在三棱錐中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若平面，且，求直線與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）幾何法證明空間直線與平面平行.（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出直線與平面所成角的正弦值，進(jìn)而求出余弦值.【小問1詳解】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，則，所以四邊形平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過且垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，所以.設(shè)平面的法向量為，則即令，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，故直線與平面所成角的余弦值為.20.為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對500位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.（1）若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為45元，其余3個(gè)均為15元，求顧客所獲的獎勵額為60元的概率；（2）商場對獎勵總額的預(yù)算是30000元，為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請從如下兩種方案中選擇一種，并說明理由.方案一：袋中的4個(gè)球由2個(gè)標(biāo)有面值15元和2個(gè)標(biāo)有面值45元的兩種球組成；方案二：袋中的4個(gè)球由2個(gè)標(biāo)有面值20元和2個(gè)標(biāo)有面值40元的兩種球組成.【答案】（1）（2）方案二，理由見解析【解析】【分析】（1）由古典概型結(jié)合組合數(shù)公式求解；（2）分別求解兩方案的均值和方差比較可得結(jié)果【小問1詳解】設(shè)顧客的獎勵額為X,依題意得【小問2詳解】根據(jù)方案一，設(shè)顧客的獎勵額為其可能取值為30，，30m60，90，，根據(jù)方案二，設(shè)顧客的獎勵額為其可能取值為40，60，80，，商場對獎勵總額的預(yù)算是30000元，故每個(gè)顧客平均獎勵額最多為60，兩方案均符合要求，但方案二獎勵的方差比方案一小，所以應(yīng)選擇方案二21.已知橢圓：的離心率為，且橢圓過點(diǎn)，點(diǎn)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)，為橢圓上不同兩點(diǎn)，過橢圓上的點(diǎn)作，且，求證：的面積為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依題意得到、、的方程組，解得即可；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，即可求出，，從而得到，則，再設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，再根據(jù)得到，最后根據(jù)計(jì)算可得；【小問1詳解】依題意，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】由（1）可得，，設(shè)直線的方程為，代入得，它的兩個(gè)根為和，可得，，從