重慶市烏江新高考協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期開(kāi)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合調(diào)研抽測(cè)數(shù)學(xué)試題（含答案）

-2024學(xué)年（下）期初（開(kāi)學(xué)）學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合調(diào)研抽測(cè)高二數(shù)學(xué)試題（分?jǐn)?shù)：150分，時(shí)間：120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線過(guò)、兩點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A． B．2 C． D．12．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C． D．3．已知點(diǎn)為拋物線C：上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．4．已知拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則（

）A．1 B．2 C．4 D．85．已知，是拋物線上兩點(diǎn)，當(dāng)線段的中點(diǎn)到軸的距離為3時(shí)，的最大值為（

）A．5 B．C．10 D．6．兩圓的半徑分別是方程的兩個(gè)根，圓心距為3，則兩圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．外離 C．內(nèi)含 D．外切7．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，已知E為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F和點(diǎn)P分別滿(mǎn)足，，其中，，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)時(shí)，四棱錐的外接球的表面積是C．的最小值為D．存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使得平面PDF8．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若離心率，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得2分。9．下列方程能夠表示圓的是（

）A． B．C． D．10．下列結(jié)論正確的是（

）A．平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.B．橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.C．方程（，，）表示的曲線是橢圓.D．（）與（）的焦距相同.11．在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)為正方體表面上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，則四棱錐的外接球的表面積為B．使直線與平面所成的角為的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C．若是的中點(diǎn)，當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足平面時(shí)，長(zhǎng)度的最小值是D．點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)，且時(shí)，點(diǎn)的軌跡為一個(gè)圓三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知圓C的方程為，則圓C的半徑為.13．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)，滿(mǎn)足以橢圓短半軸為半徑的圓與線段相切于該線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率14．如圖，已知橢圓，其焦距為4，過(guò)橢圓長(zhǎng)軸上一動(dòng)點(diǎn)作直線交橢圓于、，直線、交于點(diǎn)，已知，則橢圓的離心率為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）某游樂(lè)園中有一座摩天輪.如圖所示，摩天輪所在的平面與地面垂直，摩天輪為東西走向.地面上有一條北偏東為的筆直公路，其中.摩天輪近似為一個(gè)圓，其半徑為，圓心到地面的距離為，其最高點(diǎn)為點(diǎn)正下方的地面點(diǎn)與公路的距離為.甲在摩天輪上，乙在公路上.（為了計(jì)算方便，甲乙兩人的身高、摩天輪的座艙高度和公路寬度忽略不計(jì)）(1)如圖所示，甲位于摩天輪的點(diǎn)處時(shí)，從甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？(2)當(dāng)甲隨著摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，從乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？16．（15分）直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方）.(1)若，求直線的傾斜角；(2)若原點(diǎn)到直線的距離為，求以線段為直徑的圓的方程.17．（15分）在圖1所示的平面多邊形中，四邊形為菱形，與均為等邊三角形．分別將沿著，翻折，使得四點(diǎn)恰好重合于點(diǎn)，得到四棱錐．(1)若，證明：；(2)若二面角的余弦值為，求的值．18．（17分）法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日是19世紀(jì)著名的幾何學(xué)家，他創(chuàng)立了畫(huà)法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間解析幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，奠定了空間微分幾何學(xué)的寬厚基礎(chǔ)，根據(jù)他的研究成果，我們定義：給定橢圓：，則稱(chēng)圓心在原點(diǎn)，半徑是的圓為“橢圓的伴隨圓”，已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.(1)若點(diǎn)為橢圓的“伴隨圓”與軸正半軸的交點(diǎn)，，是橢圓的兩相異點(diǎn)，且軸，求的取值范圍.(2)在橢圓的“伴隨圓”上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，，使得，與橢圓都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷，是否垂直？并說(shuō)明理由.19．（17分）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登上望烽火，黃昏飲馬傍交河，”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的“將軍飲馬”問(wèn)題，這是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使得總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即為回到軍營(yíng).（1）若軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)椋?，求“將軍飲馬”的最短總路程；（2）若軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)闉椋海蟆皩④婏嬹R”的最短總路程．2023-2024學(xué)年（下）期初（開(kāi)學(xué)）學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合調(diào)研抽測(cè)高二數(shù)學(xué)答案（分?jǐn)?shù)：150分，時(shí)間：120分鐘）1．C 2．C 3．D 4．C 5．C 6．C7．C【分析】由線面平行的判定可知平面，知三棱錐底面積和高均為定值，A正確；根據(jù)正棱錐外接球的球法，可構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的方程，求得后知B正確；將C中問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)求解的最小值，作關(guān)于線段的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度的求解，根據(jù)角度和長(zhǎng)度關(guān)系可確定C正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)線面垂直可構(gòu)造方程組求得，可知D正確.8．D【分析】由題意可知，結(jié)合橢圓的定義解得，再由求解.9．AC 10．CD11．ABD【分析】分別確定四邊形與三角形的外接圓圓心，進(jìn)而確定外接球球心與半徑，可判斷A選項(xiàng)，由線面夾角為，可知，進(jìn)而確定點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法確定點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而判斷C選項(xiàng)，由平面設(shè)垂足為，可確定點(diǎn)，即可確定軌跡.12．13．14．15．（1）如圖所示，設(shè)公路所在直線為，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂直為，m.因?yàn)閳A的半徑為35m，圓心到地面的距離為40m，所以m.從甲看乙的最大俯角與相等，由題意得，則.（2）如圖所示，設(shè)甲位于圓上的點(diǎn)處，直線垂直于且交圓于點(diǎn)，射線可以看成是射線繞著點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度得到.過(guò)點(diǎn)正下方的地面點(diǎn)向作垂線，垂足為.當(dāng)取得最大值時(shí)，即為從乙看甲的最大仰角.題意得：,其中，表示點(diǎn)和點(diǎn)構(gòu)成的直線的斜率，當(dāng)直線的斜率取得最小值時(shí)，取最大值.因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上，所以當(dāng)直線與單位圓相切時(shí)，斜率取得最大值或最小值.設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為：，由相切可得，解得，則直線的斜率最小值為，代入可得取最大值是.16．（1）由題意得拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線分別為，所以由拋物線定義可知，又，所以解得（負(fù)值舍去），直線的斜率為，所以直線的傾斜角為.（2）由題意直線的斜率存在且不為0（若直線斜率不存在則原點(diǎn)到直線的距離為，矛盾），所以設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，化簡(jiǎn)得，顯然，，所以以線段為直徑的圓的圓心、半徑分別為，因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，所以，解得，所以圓心、半徑分別為，或.17．（1）證明：因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn)．由題可知，，所以．又，平面，所以平面．取，如圖，則．由平面，可得，則．（2）連接，易證得平面，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸，建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由，得，從而，則，則，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由得令，得．由圖可知，平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐椋?，解得．故的值?18．（1）由題意知，由短軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，知，則，故橢圓的方程為，其“伴隨圓”方程為.由題意，可設(shè)，則有，又A，故，故，又二次函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，由，得，所以的取值范圍是；（2）對(duì)于橢圓C上的任意點(diǎn)P，都有，證明如下：設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，則其中之一斜率不存在，另一斜率為0，顯然有.當(dāng)時(shí)，設(shè)過(guò)且與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率為，則的方程為，代入橢圓方程可得，即，由，可得，其中，設(shè)的斜率分別為，則是上述方程的兩個(gè)根，故，即.綜上可知，對(duì)于橢圓上的任意點(diǎn)，都有.19．（1)若軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)椋瑘A：的圓心為原點(diǎn)，半徑為，作圖1如下：設(shè)將軍飲馬點(diǎn)為，到達(dá)營(yíng)區(qū)點(diǎn)為，設(shè)為關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，因?yàn)?，所以線段的中點(diǎn)為，則，又，聯(lián)立解得：