河南省鎮(zhèn)平縣聯(lián)考2024屆數(shù)學(xué)八下期末綜合測試模擬試題含解析

河南省鎮(zhèn)平縣聯(lián)考2024屆數(shù)學(xué)八下期末綜合測試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)．且BE＝CF，連接BF、DE，則BF+DE的最小值為（）A． B． C． D．2．如圖，購買一種蘋果，所付款金額y（元）與購買量x（千克）之間的函數(shù)圖象由線段OA和射線AB組成，則一次購買5千克這種蘋果比分五次購買1千克這種蘋果可節(jié)省（）元．A．4 B．5 C．6 D．73．下列算式中，正確的是A． B．C． D．4．某地區(qū)連續(xù)10天的最高氣溫統(tǒng)計(jì)如下表，則該地區(qū)這10天最高氣溫的中位數(shù)是（）最高氣溫（）1819202122天數(shù)12232A． B． C． D．5．如果小磊將鏢隨意投中如圖所示的正方形木板（假設(shè)投中每個(gè)小正方形是等可能的），那么鏢落在陰影部分的概率為（）A． B． C． D．6．下面的圖形是天氣預(yù)報(bào)的圖標(biāo)，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．B．C．D．7．使分式無意義，則x的取值范圍是()A．x≠1 B．x=1 C．x＜1 D．x≠－18．用配方法解方程，則方程可變形為A． B． C． D．9．已知甲，乙兩組數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示，設(shè)甲，乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，，則與大小關(guān)系為（）A． B．C． D．不能確定10．一次跳遠(yuǎn)比賽中，成績在4.05米以上的有8人，頻率為0.4，則參加比賽的共有（）A．40人 B．30人 C．20人 D．10人11．五一假期小明一家自駕去距家360km的某地游玩，全程的前一部分為高速公路，后一部分為鄉(xiāng)村公路．若小汽車在高速公路和鄉(xiāng)村公路上分別以某一速度勻速行駛，行駛的路程y（單位：km）與時(shí)間x（單位：h）之間的關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．小汽車在鄉(xiāng)村公路上的行駛速度為60km/hB．小汽車在高速公路上的行駛速度為120km/hC．鄉(xiāng)村公路總長為90kmD．小明家在出發(fā)后5.5h到達(dá)目的地12．如圖，過點(diǎn)A0（1，0）作x軸的垂線，交直線l：y＝2x于B1，在x軸上取點(diǎn)A1，使OA1＝OB1，過點(diǎn)A1作x軸的垂線，交直線l于B2，在x軸上取點(diǎn)A2，使OA2＝OB2，過點(diǎn)A2作x軸的垂線，交直線l于B3，…，這樣依次作圖，則點(diǎn)B8的縱坐標(biāo)為（）A．（）7 B．2（）7 C．2（）8 D．（）9二、填空題（每題4分，共24分）13．在湖的兩側(cè)有A，B兩個(gè)消防栓，為測定它們之間的距離，小明在岸上任選一點(diǎn)C，并量取了AC中點(diǎn)D和BC中點(diǎn)E之間的距離為16米，則A，B之間的距離應(yīng)為_________米．14．如圖，在中，，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，交的延長線于，則四邊形的面積為______．15．如圖，在中，，，，為上一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，連接，分別為的中點(diǎn)，則的最大值為_________．16．如果關(guān)于x的不等式組的解集是，那么m=___17．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向B以2mm/s的速度移動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向C以4mm/s的速度移動(dòng)（不與點(diǎn)C重合）．如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，那么經(jīng)過秒，四邊形APQC的面積最?。?8．老師對甲、乙兩人的五次數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得出兩人五次測驗(yàn)成績的平均分均為90分，方差分別是S甲2=17，S乙2=1．則成績比較穩(wěn)定的是（填“甲”、“乙”中的一個(gè)）．三、解答題（共78分）19．（8分）（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，延長CD到點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)EF，AG．求證：①∠BEA=∠G，②EF=FG．（2）如圖2，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的長．20．（8分）把一個(gè)含45°角的直角三角板BEF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)B重合，聯(lián)結(jié)DF，點(diǎn)M，N分別為DF，EF的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)MA，MN．（1）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形的邊CB，AB上，請判斷MA，MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論；（2）如圖2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形的邊CB，AB的延長線上，其他條件不變，那么你在（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．圖1圖221．（8分）如圖，在平行四邊形中，已知點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且.求證：.22．（10分）如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)23．（10分）問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E、F分別是BC,CD上的點(diǎn)．且∠EAF=60°.探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是,延長FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連結(jié)AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_________；探索延伸：如圖2，若四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等,接到行動(dòng)指令后,艦艇甲向正東方向以55海里/小時(shí)的速度前進(jìn),艦艇乙沿北偏東50°的方向以75海里/小時(shí)的速度前進(jìn)2小時(shí)后,指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,F處,且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．24．（10分）為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用水，某市居民生活用水按階梯式水價(jià)計(jì)費(fèi)．下表是該市居民戶一表生活用水階梯式計(jì)費(fèi)價(jià)格表的部分信息：自來水銷售價(jià)格污水處理價(jià)格每戶每月用水量單價(jià)：元/噸單價(jià)：元/噸噸及以下超過17噸但不超過30噸的部分超過30噸的部分說明：①每戶產(chǎn)生的污水量等于該戶自來水用水量；②水費(fèi)=自來水費(fèi)用＋污水處理費(fèi)．（1）設(shè)小王家一個(gè)月的用水量為噸，所應(yīng)交的水費(fèi)為元，請寫出與的函數(shù)關(guān)系式；（2）隨著夏天的到來，用水量將增加．為了節(jié)省開支，小王計(jì)劃把7月份的水費(fèi)控制在不超過家庭月收入的.若小王家的月收入為元，則小王家7月份最多能用多少噸水？25．（12分）計(jì)算（1）；（2）．26．一只不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)黃球和1個(gè)白球，每個(gè)球除顏色外都相同，將球搖勻，從中任意摸出1個(gè)球．（1）摸到的球的顏色可能是______；（2）摸到概率最大的球的顏色是______；（3）若將每個(gè)球都編上號碼，分別記為1號球（紅）、2號球（紅）、3號球（紅）、4號球（黃）、5號球（黃）、6號球（白），那么摸到1～6號球的可能性______（填相同或者不同）；（4）若在袋子中再放一些這樣的黃球，從中任意摸出1個(gè)球，使摸到黃球的概率是，則放入的黃球個(gè)數(shù)是______．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【解題分析】

連接AE，利用△ABE≌△BCF轉(zhuǎn)化線段BF得到BF+DE＝AE+DE，則通過作A點(diǎn)關(guān)于BC對稱點(diǎn)H，連接DH交BC于E點(diǎn)，利用勾股定理求出DH長即可．【題目詳解】解：連接AE，如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)H點(diǎn)，如圖2，連接BH，則A、B、H三點(diǎn)共線，連接DH，DH與BC的交點(diǎn)即為所求的E點(diǎn)．根據(jù)對稱性可知AE＝HE，所以AE+DE＝DH．在Rt△ADH中，DH＝∴BF+DE最小值為4．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，能夠作出輔助線將線段轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．2、C【解題分析】

觀察函數(shù)圖象找出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出線段OA和設(shè)AB的函數(shù)關(guān)系式，再分別求出當(dāng)x=1和x=5時(shí)，y值，用10×5-44即可求出一次購買5千克這種蘋果比分五次購買1千克這種蘋果節(jié)省的錢數(shù)．【題目詳解】解：設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，將（0，0）、（2，20）代入y=kx+b中，，解得：，∴y=10x(0≤x≤2)；當(dāng)x>2時(shí)，將（2，20），（4，36）代入y=kx+b中，，解得：，∴y=8x+4（x≥2）．當(dāng)x=1時(shí)，y=10x=10，當(dāng)x=5時(shí)，y=44，10×5-44=6（元），故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，觀察函數(shù)圖象找出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出線段OA和設(shè)AB的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．3、C【解題分析】

根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則逐一計(jì)算即可判斷．【題目詳解】解：A.，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.，此選項(xiàng)正確；D.，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算法則．4、B【解題分析】

求中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個(gè)數(shù)或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)．【題目詳解】把這些數(shù)從小到大為：18℃，19℃，19℃，20℃，20℃，21℃，21℃，21℃，22℃，22℃，

則中位數(shù)是：=20.5℃；

故選B．【題目點(diǎn)撥】考查中位數(shù)問題，注意找中位數(shù)的時(shí)候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個(gè)來確定中位數(shù)．如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè)，則正中間的數(shù)字即為所求；如果是偶數(shù)個(gè)，則找中間兩位數(shù)的平均數(shù)．5、A【解題分析】

解：陰影部分的面積為2+4=6∴鏢落在陰影部分的概率為=．考點(diǎn)：幾何概率．6、A【解題分析】試題分析：根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解，解答軸對稱圖形問題的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；解答中心對稱圖形問題的關(guān)鍵是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故正確；B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故錯(cuò)誤；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故錯(cuò)誤；D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故錯(cuò)誤．考點(diǎn)：1.中心對稱圖形；2.軸對稱圖形．7、B【解題分析】

要是分式無意義，分母必等于0.【題目詳解】∵分式無意義，

∴x-1=0，

解得x=1．

故選：B．【題目點(diǎn)撥】考核知識點(diǎn):分式無意義的條件.熟記無意義的條件是關(guān)鍵.8、C【解題分析】

把常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程變化為左邊是完全平方的形式．【題目詳解】解：，，，．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查的是用配方法解方程，把方程的左邊配成完全平方的形式，右邊是非負(fù)數(shù)．9、A【解題分析】

通過折線統(tǒng)計(jì)圖中得出甲、乙兩個(gè)組的各個(gè)數(shù)據(jù)，進(jìn)而求出甲、乙的平均數(shù)，甲、乙的方差，進(jìn)而做比較得出答案．【題目詳解】甲的平均數(shù)：（3+6+2+6+4+3）÷6=4，乙的平均數(shù)：（4+3+5+3+4+5）÷6=4，[（3﹣4）2+（6﹣4）2+（2﹣4）2+（6﹣4）2+（4﹣4）2+（3﹣4）2]≈2.33，[（4﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2]≈0.1．∵2.33＞0.1，∴．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了折線統(tǒng)計(jì)圖、平均數(shù)、方差的計(jì)算方法和各個(gè)統(tǒng)計(jì)量的所反映數(shù)據(jù)的特征，掌握平均數(shù)、方差的計(jì)算公式是正確解答的前提．10、C【解題分析】

根據(jù)頻率、頻數(shù)的關(guān)系：頻率=頻數(shù)÷數(shù)據(jù)總和，可得數(shù)據(jù)總和=頻數(shù)÷頻率．【題目詳解】∵成績在4.05米以上的頻數(shù)是8，頻率是0.4，∴參加比賽的運(yùn)動(dòng)員=8÷0.4=20.故選C.【題目點(diǎn)撥】考查頻數(shù)與頻率，掌握數(shù)據(jù)總和=頻數(shù)÷頻率是解題的關(guān)鍵.11、A【解題分析】

根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)和“路程=速度×?xí)r間”的關(guān)系來分析計(jì)算即可.【題目詳解】解：小汽車在鄉(xiāng)村公路上的行駛速度為：（270﹣180）÷（3.5﹣2）＝60km/h，故選項(xiàng)A正確，小汽車在高速公路上的行駛速度為：180÷2＝90km/h，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，鄉(xiāng)村公路總長為：360﹣180＝180km，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，小明家在出發(fā)后：2+（360﹣180）÷60＝5h到達(dá)目的地，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：A．【題目點(diǎn)撥】一次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用是本題的考點(diǎn)，根據(jù)題意讀懂圖形及熟練掌握“路程=速度×?xí)r間”的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.12、B【解題分析】

根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【題目詳解】解：∵A0（1，0），∴OA0＝1，∴點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為1，∵B1，B2、B3、…、B8在直線y＝2x的圖象上，∴B1縱坐標(biāo)為2，∴OA1＝OB1＝，∴A1（，0），∴B2點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，于是得到B3的縱坐標(biāo)為2…∴B8的縱坐標(biāo)為2故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出Bn的坐標(biāo)的變化規(guī)律．二、填空題（每題4分，共24分）13、32【解題分析】分析：可得DE是△ABC的中位線,然后根據(jù)三角形的中位線定理,可得DE∥AB,且AB=2DE,再根據(jù)DE的長度為16米,即可求出A、B兩地之間的距離.詳解：∵D、E分別是CA,CB的中點(diǎn),

∴DE是△ABC的中位線,

∴DE∥AB,且AB=2DE,

∵DE=16米,

∴AB=32米.

故答案是:32.點(diǎn)睛：本題考查了三角形的中位線定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是：明確三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.14、12【解題分析】

由于AF∥BC，從而易證△AEF≌△DEC（AAS），所以AF=CD，從而可證四邊形AFBD是平行四邊形，所以，又因?yàn)锽D=DC，所以，所以，從而求出答案；【題目詳解】解：∵AF∥BC，∴∠AFC=∠FCD，在△AEF與△DEC中，，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF=DC，∵BD=DC，∴AF=BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∴，又∵BD=DC，∴，∴，∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，∴S△ABC=AB×AC=×4×6=12，∴四邊形AFBD的面積為：12；故答案為：12.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.15、+2【解題分析】

利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得CM的長，利用三角形中位線定理，可得MF的長，再根據(jù)當(dāng)且僅當(dāng)M、F、C三點(diǎn)共線且M在線段CF上時(shí)CF最大，即可得到結(jié)論．【題目詳解】解：如圖，取AB的中點(diǎn)M，連接MF和CM，

∵將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至AD′，

∴AD′=AD=1，

∵∠ACB=90°，

∵AC=6，BC=2，

∴AB=．

∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，

∴CM=，

∵AD′=1．

∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為BD′中點(diǎn)，

∴FM=AD′=2．

∵CM+FM≥CF，

∴當(dāng)且僅當(dāng)M、F、C三點(diǎn)共線且M在線段CF上時(shí)，CF最大，

此時(shí)CF=CM+FM=+2．

故答案為：+2．【題目點(diǎn)撥】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，知道當(dāng)且僅當(dāng)M、F、C三點(diǎn)共線且M在線段CF上時(shí)CF最大是解題的關(guān)鍵．16、-3【解題分析】

根據(jù)“同大取大”的法則列出關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可.【題目詳解】解:∵m+2>m-1又∵不等式組的解集是x>-1,∴m+2=-1,∴m=-3,故答案為:-3.【題目點(diǎn)撥】本題考查了解一元一次不等式組，掌握“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則解答即可.17、3【解題分析】

根據(jù)等量關(guān)系“四邊形APQC的面積=三角形ABC的面積﹣三角形PBQ的面積”列出函數(shù)關(guān)系，求得最小值．【題目詳解】設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)后經(jīng)過的時(shí)間為ts，四邊形APQC的面積為Smm2，則有：S=S△ABC﹣S△PBQ==4t2﹣24t+144=4（t﹣3）2+1．∵4＞0∴當(dāng)t=3s時(shí)，S取得最小值．【題目點(diǎn)撥】考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用．18、乙．【解題分析】試題解析：∵S甲2=17，S乙2=1，1＜17，∴成績比較穩(wěn)定的是乙．考點(diǎn)：方差．三、解答題（共78分）19、（1）①見解析②見解析（1）【解題分析】

（1）在△ABE和△ADG中，根據(jù)SAS得出△ABE≌△ADG則∠BEA＝∠G.然后在△FAE和△GAF中通過SAS證明得出△FAE≌△GAF，則EF=FG.（1）過點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE=BM．連接AE、EN．在△ABM和△ACE中，通過SAS證明得出△ABM≌△ACE,AM=AE,∠BAM+∠CAN=45°.在△MAN和△EAN中，通過SAS證明得出△MAN≌△EAN,MN=EN.Rt△ENC中，由勾股定理，得EN1=EC1+NC1得出最終結(jié)果.【題目詳解】（1）證明：在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG，AD=AB，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∠BEA＝∠G∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，又∠BAD＝90°，∴∠EAG=90°，∠FAG＝45°在△FAE和△GAF中，，∴△FAE≌△GAF（SAS），∴EF=FG（1）解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE=BM．連接AE、EN．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．在△ABM和△ACE中，，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN=EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN1=EC1+NC1．∴MN1=BM1+NC1．∵BM=1，CN=3，∴MN1=11+31，∴MN=.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定定理、勾股定理，做輔助線是本題的難點(diǎn)．20、（1）MA=MN，MA⊥MN；（2）成立，理由詳見解析【解題分析】

（1）解：連接DE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD=AB=BC，∠DAB=∠DCE=90°，∵點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，∴AM=DF．∵△BEF是等腰直角三角形，∴AF=CE，在△ADF與△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴DE=DF．∵點(diǎn)M，N分別為DF，EF的中點(diǎn)，∴MN是△EFD的中位線，∴MN=DE，∴AM=MN；∵M(jìn)N是△EFD的中位線，∴MN∥DE，∴∠FMN=∠FDE．∵AM=MD，∴∠MAD=∠ADM，∵∠AMF是△ADM的外角，∴∠AMF=2∠ADM．∵△ADF≌△CDE，∴∠ADM=∠CDE，∴∠ADM+∠CDE+∠FDE=∠FMN+∠AMF=90°，∴MA⊥MN．∴MA=MN，MA⊥MN．（2）成立．理由：連接DE．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°．在Rt△ADF中，∵點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，∴MA=DF=MD=MF，∴∠1=∠1．∵點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，∴MN是△DEF的中位線，∴MN=DE，MN∥DE．∵△BEF是等腰直角三角形，∴BF=BF，∠EBF=90°．∵點(diǎn)E、F分別在正方形CB、AB的延長線上，∴AB+BF=CB+BE，即AF=CE．在△ADF與△CDE中，∴△ADF≌△CDE，∴DF=DE，∠1=∠2，∴MA=MN，∠2=∠1．∵∠2+∠4=∠ABC=90°，∠4=∠5，∴∠1+∠5=90°，∴∠6=180°﹣（∠1+∠5）=90°，∴∠7=∠6=90°，MA⊥MN．考點(diǎn)：四邊形綜合題21、證明見解析.【解題分析】

由“平行四邊形ABCD的對邊平行且相等”的性質(zhì)推知AB=CD，AB∥CD．然后根據(jù)圖形中相關(guān)線段間的和差關(guān)系求得BE=FD，易證四邊形EBFD是平行四邊形．【題目詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD．∵AE=CF．∴BE=FD，BE∥FD，∴四邊形EBFD是平行四邊形，∴DE=BF．【題目點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．22、見解析【解題分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知可證AE=CF，∠BAE=∠DCF，AB=CD，故根據(jù)SAS可證△ABE≌△DCF．【題目詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD,∠A=∠C,AD=BC，∵點(diǎn)E、F分別是∴AE=12∴AE=CF，在△ABE和△CDF中，AB=CD∠A=∠C∴△ABE≌△CDFSAS【題目點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的判定和全等三角形的判定．掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．23、問題背景：EF=BE+DF，理由見解析；探索延伸：結(jié)論仍然成立，理由見解析；實(shí)際應(yīng)用：210海里.【解題分析】

問題背景：延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；探索延伸：延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；實(shí)際應(yīng)用：連接EF，延長AE、BF相交于點(diǎn)C，然后與（2）同理可證．【題目詳解】問題背景：EF=BE+DF，證明如下：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF，故答案為EF=BE+DF；探索延伸：結(jié)論EF=BE+DF仍然成立，理由：延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE，連結(jié)AG，如圖2，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；實(shí)際應(yīng)用：如圖3，連接EF，延長AE、BF相交于點(diǎn)C，∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探索延伸中的條件，∴結(jié)論EF=AE+BF成立