量子信息論簡介與展望

量子信息論

的

簡介與展望中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代物理系張永德1

前言量子信息論包括量子通訊和量子計算兩個部分。它是量子力學(xué)在經(jīng)典信息論領(lǐng)域中應(yīng)用的結(jié)果。它發(fā)源于上個世紀70年代，到80年代開始發(fā)展，至今不過20余年的時間。目前它已經(jīng)在全世界蓬勃發(fā)展，全面推進之中。它之所以如此迅速發(fā)展，是由于：其一，應(yīng)用潛力巨大。它的成功將會從根本上改變現(xiàn)有電子通訊和計算機的面貌；其二，本身魅力非凡。它不僅極大豐富了現(xiàn)有的量子理論，而且有助于解決量子理論基礎(chǔ)中久懸未決的難題。相對于以前所知道的傳統(tǒng)量子力學(xué)，量子信息論中的量子力學(xué)，其進展在于：一，所研究的量子體系不再是孤立的，而是開放的；二，與此相應(yīng)，一般地說，體系狀態(tài)大多為混態(tài)，演化是非幺正的，對體系的測量是非正交的投影；三，觀念上已經(jīng)提升到將量子態(tài)看作是信息的載體，主動進行相關(guān)的制備、操控、存貯和傳送。

2目錄

（一）兩體系統(tǒng)量子態(tài)的分類與描述兩體的純態(tài)與混態(tài)EPR對Schmidt分解量子糾纏（entanglement）與糾纏度量子糾纏的形成、測量與分離（二）量子態(tài)測量理論綱要量子測量公設(shè)——量子力學(xué)第三公設(shè)量子測量理論的“素描”VonNeumann模型量子Zeno效應(yīng)3（三）量子態(tài)非克?。╪on–cloning）定理non–cloning定理定理討論（四）量子態(tài)的超空間傳送（teleportation）量子態(tài)的超空間傳送（quantumteleportation）量子糾纏的超空間傳送（quantumswapping）（五）量子位（qubit）和量子存儲器Qit–Qubit的對比Qubit的物理實現(xiàn)Qubit存儲器、旋轉(zhuǎn)操作、么正變換4

（六）量子邏輯門和量子網(wǎng)絡(luò)單qubit量子門雙qubit量子門——C-NOT門可分解定理，量子網(wǎng)絡(luò)（七）量子算法Deutsch量子算法DFTq量子算法——快速付里葉變換的量子算法Shor量子算法——大數(shù)因子分解的量子算法Grover量子算法——“量子搖晃”即量子搜尋算法（八）量子信息論展望參考文獻5

（一）兩體系統(tǒng)量子態(tài)的分類與描述1,兩體的純態(tài)與混態(tài)i,純態(tài)：單一波函數(shù)描述的態(tài)，或基矢的相干疊加態(tài)。

A（基矢{}正交歸一）

A+B（基矢{}正交歸一）

ii,兩體純態(tài)可分為兩大類：

a）可分離態(tài)——，A和B均處于確定態(tài)

b)不可分離態(tài)即糾纏態(tài)——不能表達成。例，四個Bell基：糾纏必體現(xiàn)為粒子態(tài)測量結(jié)果關(guān)聯(lián)，但關(guān)聯(lián)不等于糾纏。如。6

iii，混態(tài)：系統(tǒng)若干個純態(tài)（它們不一定正交歸一！）的非相干的混合。各成份之間不存在固定位相關(guān)系，不存在相干疊加發(fā)生干涉的題。自然光、熱平衡氣體、潘寧源出來的電子束。用密度矩陣描述：

iv，混態(tài)情況下，A+B系統(tǒng)的態(tài)可分類為：

a）未關(guān)聯(lián)態(tài)——b）可分離態(tài)——

c）不可分離態(tài)(混態(tài)糾纏態(tài))——不能寫成可分離態(tài)形式的態(tài)。例如：

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v，可分離的標準（當A、B均為雙能級系統(tǒng)時），

a）一個給定態(tài)為可分離態(tài)的充要條件是：

關(guān)于A、B子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)置算符和均是正定的。以可分離態(tài)為例，操作為：注意，可分離態(tài)的密度矩陣在（）作用下，仍為一個（可分離態(tài)的）密度矩陣，所有本征值仍然是非負的；不可分離態(tài)的密度矩陣在（）作用下會出現(xiàn)負本征值，已不是密度矩陣。

b）多粒子可分離態(tài)的另一充要判據(jù)：PLA，275（2000）244

vi，約化密度矩陣：

82，兩體雙能級系統(tǒng)的EPR對

i，EPR佯謬Bell不等式CHSH不等式迄今實驗都表明，量子力學(xué)的描述是完備的，不存在隱變數(shù)。塌縮的不確定性是本質(zhì)的，并非量子力學(xué)的描述不完備的體現(xiàn)。此處自旋態(tài)的塌縮不是定域的，而是非定域的。物理實在論觀點是不對的。它的錯誤不僅在于，要求微觀粒子在任何狀態(tài)下，它的可觀測量都必須客觀上是確定的;而且還在于,它對測量的影響——塌縮持定域的觀念。

ii，注意，4個Bell基、中粒子A和B的空間波包可以相距遙遠而完全不重疊！

iii，塌縮的關(guān)聯(lián)：當一個子系統(tǒng)因測量而發(fā)生塌縮時，另一個子系統(tǒng)將發(fā)生相關(guān)聯(lián)的塌縮。例：對，測A

這是一種純量子的非定域的超空間的關(guān)聯(lián)！

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3，Schmidt分解

i,總可以將A+B系統(tǒng)任一純態(tài)表示為以下標準形式（Schmidt分解形式）：，這里{}和{}分別是Hilbert子空間和中某兩組（一般與有關(guān)）正交歸一基。也可取負根。特例：Bell基。ii，這時約化密度矩陣為

iii，由Schmidt分解可知，可以為A+B系統(tǒng)的任一純態(tài)指定一個正整數(shù)：Schmidt數(shù)。它是（或）中非零的個數(shù)，也就是Schmidt分解式中的項數(shù)。10

4，量子糾纏（Entanglement）與量子糾纏度

i,兩體量子糾纏純態(tài)的定義：A+B系統(tǒng)的糾纏純態(tài)是系統(tǒng)中那些不能被表示為兩體直積形式；或說成,A+B系統(tǒng)一個純態(tài)是糾纏態(tài)的充要條件為：Schmidt數(shù)>1。例如，四個Bell基。

ii,多體量子態(tài)才會有量子糾纏，單體量子態(tài)不存在量子糾纏。

iii,糾纏的結(jié)果和標志是：

a)它們各自都不處于確定的態(tài);富翁和他的兩個兒子。b)對其中的一體測量產(chǎn)生塌縮時，另一體會發(fā)生關(guān)聯(lián)塌縮。所以量子糾纏是物理的，并非僅是某種表象下的數(shù)學(xué)結(jié)果。iv,這里是純態(tài)間的糾纏，不同于可分離態(tài)糾纏，那是混態(tài)間的糾纏。11v,量子糾纏的重要性量子糾纏是量子系統(tǒng)的一個顯著特征，在量子非定域性以及量子通信領(lǐng)域中占據(jù)著中心位置。具體地說：塌縮中它表現(xiàn)出非定域的關(guān)聯(lián)——一種沒有經(jīng)典對應(yīng)的超空間關(guān)聯(lián)。量子糾纏既是量子通信的核心手段，又是量子通信中量子信息喪失的主要方式——量子系統(tǒng)與環(huán)境的量子糾纏正是量子退相干的基本原因。

vi,兩體量子純態(tài)量子糾纏度定義。量子糾纏度用其中任一粒子態(tài)的VonNeumann熵S來定義，

,這里，，。求跡的對數(shù)以2為底。于是，對任何可分離態(tài)。而對有最大糾纏度的Bell基，比如，由于，其。多粒子純態(tài)的糾纏度定義有待最后的定論；對于兩體混態(tài)和多體混態(tài)，相應(yīng)糾纏度的定義仍處在研討之中（參見，例如，[3-11]）。12

5，量子糾纏的形成、測量與分離

i,糾纏不能被局部地制造出來：、和糾纏態(tài)。例：不是糾纏態(tài)。只有讓A和B（直接或間接）相互作用，才能使A和B糾纏起來：糾纏態(tài)

ii,Stern-Gerlach裝置說明

測量——相互作用：

這時，A和B各自都不處于確定的狀態(tài)，用測量作非相干alternative。13

iii,糾纏態(tài)的部分測量

AB量子糾纏+對A測量→B的混態(tài)

例如：測A，導(dǎo)致A和B的混態(tài)：，iv,糾纏態(tài)的分離

A與B的糾纏態(tài)：。分離A與B：留下A，讓B出去：諧振腔中，原子A留下，光場光子B出去；Stern-Gerlach裝置，磁場裝置留下，入射粒子出去；中子干涉儀，晶體留下，兩路中子出去。留下的A的情況決定出去的B的狀態(tài)：

a)如果和之間位相差無規(guī)，或?qū)做了測量，發(fā)生了A的alternative→B為混態(tài)b)如果和相同或位相差固定（如：中子干涉儀，B是兩路中子；磁場在Z軸、入射極化在X-Y面內(nèi)的Stern-Gerlach裝置，B是由磁場出來的粒子。）→B為純態(tài)14二、量子態(tài)測量理論綱要

1、量子測量公設(shè)——量子力學(xué)第三公設(shè)對任一(歸一)量子態(tài)觀測力學(xué)量A，相應(yīng)于將被測態(tài)按對應(yīng)厄米算符的本征態(tài)族展開；單次測量中所得A的數(shù)值可能不確定，但必為算符本征值中的一個；多次測量所得A的平均值為其中，A取值的幾率為?！郊臃治觯?/p>

a)若是的一個本征態(tài)，展開式只有一項，相應(yīng)測量結(jié)果是確定的；b)測得所有值和值均是實的；c)、可同時測量的條件為。

d)的完備性的可觀測性：算符的本征矢是完備的——→

力學(xué)量A的可觀測性

(物理實驗上)(數(shù)學(xué)上)e)量子測量的過程與特征，見下。15

2、量子測量理論“素描”量子測量的三個階段

量子態(tài)坍縮的四大特征量子因果的兩種形式

i,測量的三個階段：

糾纏分解波包塌縮初態(tài)制備

ii,塌縮的四大特征：

a，坍縮結(jié)果的隨機性。

b，坍縮方向的不可逆性。

c，坍縮總是斬斷相干性的。

d，坍縮總是非定域的：iii,態(tài)的兩種變化→兩種形式因果關(guān)系的交織→量子力學(xué)因果觀：

a,第一類變化——量子態(tài)演化：“初條件+哈密頓量”決定論，可預(yù)測、可逆，保持相干性。決定論性因果關(guān)系。

b,第二類變化——量子態(tài)坍縮：隨機性,不可逆性,斬斷相干性。統(tǒng)計性因果關(guān)系。

163,VonNeumann正交測量模型

為了測量子系統(tǒng)可觀測量A，要建立“測量哈密頓量”。辦法是連通子系統(tǒng)的可觀測量A和（作為測量儀器的）指示器X。在A和X之間的這種耦合，在可觀測量的本征態(tài)和指示器的可區(qū)分態(tài)之間建立起量子交纏，正是這種量子交纏，使我們能夠通過觀測指示器變數(shù)x去制備可觀測量的本態(tài)。設(shè)初始時刻子系統(tǒng)處于A的一個疊加態(tài)，而指示器波包有關(guān)變量的狀態(tài)為。合成的大系統(tǒng)處于尚未交纏的可分離態(tài)，由于中A和X的耦合項存在，在t時刻后，這個量子態(tài)將從可分離態(tài)演化成為交纏態(tài)，造成的量子交纏使X和A的測量值x（和a）關(guān)聯(lián)起來。如果位置變量x的觀測精度足以分辨的全部本征值a，就實現(xiàn)了通過測量x造成關(guān)聯(lián)塌縮給出a的相應(yīng)本征態(tài)得到a的數(shù)值。17一個典型例子是Stern-Gerlach裝置。為測自旋粒子的，使它通過一個z軸方向非均勻磁場：。粒子磁矩，它和磁場之間的耦合項（“測量哈密頓量”）為。這里是可觀測量和位置相耦合。由于中含，不同值處附加能數(shù)值不同，這產(chǎn)生一個力

它沿軸，正負視值而定。于是在測量時間內(nèi)給粒子一個沖量這就是說，耦合傳遞一個沖量給指示器。可以通過觀察粒子向軸正向、反向的偏轉(zhuǎn)投影出粒子自旋態(tài)或。這里，這里。大系統(tǒng)進行正交測量時，在子系統(tǒng)上實現(xiàn)的測量稱為廣義測量。184、量子Zeno效應(yīng)—純量子測量效應(yīng)

ⅰ，什么是QuantumZenoEffect(QZE)[2-4]

頻繁的測量能夠阻止不穩(wěn)定系統(tǒng)的衰變。

定義1：由出發(fā)，按演化，中間不測量，直到t時刻才測量，在中找到的幾率（等于到t時刻止，初態(tài)的存活幾率）：

定義2：由出發(fā)，按演化，中間均勻間隔作（N-1）次測量，直到t時刻又進行測量。在t時刻，在中找到初態(tài)的存活幾率：

量子Zeno效應(yīng)說：

當>

；連續(xù)情況：。制備→測量→測量→測量→測量→·

·

·

·

·t>19QZE的“表演”20三、量子態(tài)不可克?。╪on-cloning）定理（1982)[3-7]

1，由于量子力學(xué)的態(tài)疊加原理，量子系統(tǒng)的任一未知量子態(tài)不可能在不遭受破壞的前提下被克隆到另一量子體系上。 證明：量子態(tài)的理想克隆應(yīng)當是：對某個兩能級系統(tǒng)的任意態(tài)，有但是，對任意態(tài)的這克隆過程可以有兩種理解：第一種，按量子力學(xué)態(tài)疊加原理，任意態(tài)可表述為兩個基矢的疊加，克隆是對基矢進行的：

另一種，如果任意態(tài)也可以直接克隆，則有

方程(1)和(2)是相互矛盾的。但方程(1)體現(xiàn)的過程是可實現(xiàn)的（態(tài)疊加原理成立，基矢可克隆），而方程(2)體現(xiàn)的過程是不可實現(xiàn)的。所以，任意量子態(tài)不可被克隆。212，量子態(tài)不可克隆和生物大分子可以克隆的對比：生物克隆

——生物大分子的克隆——是原子（分子）排列順序

的克隆，是硬件克隆，經(jīng)典克隆；量子克隆

——軟硬件的全部信息的克隆。量子克隆的不可能意味著：試圖復(fù)制出不僅外貌、體征相同，而且連知識、記憶、思想、性格等都完完全全相同的人，量子力學(xué)原理是不容許的。22四，量子態(tài)的超空間傳送（quantumteleportation）.

▼狀況：甲有粒子1和2，乙有粒子3，甲與乙分開一段距離。甲的粒子1—處于信息態(tài)：為任意的未知歸一系數(shù)—要傳送的信息；甲的粒子2與乙的粒子3組成一個Bell基——糾纏態(tài)——量子通道：于是，三個粒子體系的總狀態(tài)為采用粒子1和2的4個Bell基：，，將展開作為：

▼任務(wù)：甲將粒子1的量子態(tài)（實質(zhì)是、兩個系數(shù)）傳給乙手中的粒子3，使之成為。

▼步驟：甲對手上掌握的粒子1和2作Bell基測量；甲用經(jīng)典辦法廣播測量結(jié)果；乙根據(jù)甲的廣播，選擇對粒子3的幺正變換，最終實現(xiàn)量子態(tài)的轉(zhuǎn)移。23

▼

QuantumTeleportation的幾點注記：

a)過程不違背非克隆定理。甲手上的粒子1在測量后已不處于原來狀態(tài)。過程只是原來信息態(tài)的轉(zhuǎn)移（1#→3#），不是信息態(tài)的復(fù)制。b)不存在信息的瞬時傳遞。乙必須等候收聽甲測量的結(jié)果。收聽之前，乙甚至不知道甲做了測量與否。所以不違背狹義相對論原理。這一過程中信息分為兩部分：量子信息（瞬時的超空間的傳遞）和經(jīng)典信息（≤光速）。最終信息傳遞速度≤光速。注意，乙在收聽之前，甚至不知道甲做了測量與否，更談不上知道測量結(jié)果如何。c)正因為甲不知道手中粒子1所荷載的量子信息（α、β），Telepotation才能成功。

d)借助關(guān)聯(lián)態(tài)傳送量子信息，這是量子交纏的實際應(yīng)用。

e)實現(xiàn)貝爾基測量：Hadamard門，C-NOT操作。目前只能實驗證認四個BeLL基中的兩個。量子超空間傳送已為實驗證實[3-2]。進一步，超空間傳送量子交纏（Swapping）也已實驗成功。

24五、量子位(qubit)和量子存儲器

1、bit──qubit（quantumbit）對比若處于疊加態(tài)，受測量（讀出）影響不受測量（讀出）影響

測量影響

可取的狀態(tài)光子極化狀態(tài)、電子（或原子核）自旋狀態(tài)

雙穩(wěn)態(tài)電子線路

構(gòu)成

Qubit

Bit

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2，qubit物理實現(xiàn)舉例

▼例：qubit=恒定磁場下原子核磁矩狀態(tài)。

▼調(diào)控手段：x-y

平面內(nèi)射頻交變磁場脈沖。

▼定義：核磁矩順磁場取向狀態(tài)為逆磁場取向狀態(tài)為

▼圖象：原子核磁矩在磁場中進動。平均自旋矢量——極化矢量各狀態(tài)下的：26

▼對單個qubit的轉(zhuǎn)動操作：操作的物理基礎(chǔ)：（例如）自旋（磁矩）在外磁場中的進動。轉(zhuǎn)動操作舉例：若轉(zhuǎn)動前自旋狀態(tài)為，經(jīng)受轉(zhuǎn)動，

成為疊加態(tài)。當測量時，將隨機地等幾率地塌縮到或。273，qubit存儲器，旋轉(zhuǎn)操作，幺正變換

▼L個qubit，組成一個量子存儲器。一個數(shù)的二進制表示:該數(shù)的十進制表示:

▼置零態(tài)：

▼對存儲器(L個qubit)旋轉(zhuǎn)操作：

（）——運算初態(tài)。28六、量子邏輯門和量子網(wǎng)絡(luò) 引言

量子邏輯門可用多種物理系統(tǒng)實現(xiàn)。比如，核磁共振方法、離子阱方法、半導(dǎo)體硅基方法、Josephson結(jié)等等。下面用核磁共振方法為例作一說明。

1、單qubit量子門──

門

輸出輸入門29工作qubit控制qubit工作qubit控制qubit輸出輸入CNOT▼物理實現(xiàn)：在(x-y)面內(nèi)有一脈沖式磁場(時間間隔存在)：

招致自旋繞方向進動一定角度。▼特例1：非門▼特例2：Hadamard門為執(zhí)行以下轉(zhuǎn)動的單個qubit門，2、雙qubit量子門──CNOT可控非門30

▼物理實現(xiàn)：NMR.三氯甲烷..控制qubit(A)為下的原子核自旋；工作qubit(B)為下的原子核自旋；哈密頓量為在──進動──操作下：i)

ii)iii)iv)313、可分解定理，量子網(wǎng)絡(luò)

i,[Deutsch定理(1985)]

任意d維么正變換U總可以被分解為個二維么正變換的乘積(它們均是分別作用于各自一對基矢所張成的兩維子空間，即它們中每個的各自余空間均不變)。任何作用在一組qubit上的么正變換均可以用一系列單qubit量子門和雙qubit量子門CNOT依序作用來實現(xiàn)。ii,量子網(wǎng)絡(luò)量子網(wǎng)絡(luò)是經(jīng)典網(wǎng)絡(luò)的自然推廣。其中布爾門用量子門代替。Vedraletal.(1995)。32七、量子算法

引言

i,定義：一種算法Ω如果執(zhí)行它所花費的時間隨著運算規(guī)模L=logN增加，以不快于Poly（L）的速度增加，稱Ω為快算法或有效算法：某些算法是快的（如乘法127×229=？），有些是慢的（因子分解？？=29083、隨機搜尋）。

ii,經(jīng)典NP完全問題iii,量子算法的基本過程

嶄新的算法。利用：相干疊加性、并行性、糾纏性、測量坍縮等，極大提高了計算效率。經(jīng)典計算復(fù)雜性理論需要重大修改。具體些說，有兩個存儲器A和B，先將A的各個qubit轉(zhuǎn)，得

ABAB這時，量子算法f中多次量子門操作乘積為一個幺正算符，作用于存儲器A和B。利用量子算法的并行性，同時對A中所有數(shù)一次算得對應(yīng)的全部值，再利用中耦合作用造成的量子糾纏，同時存入B中各對應(yīng)的量子態(tài)內(nèi)，即接著，測量A（或B）存儲器，造成A（或B）的坍縮，帶動B（或A）作相應(yīng)坍縮。331、Deutsch量子算法▼Deutsch問題

對單個qubit變換共有四種方式(輸入為x=0,1)：

如何用一次計算即可判斷一個未知的屬于哪一類型？Deutsch問題答案：經(jīng)典算法必須兩次；量子算法只需一次。▼量子算法步驟:

i,計算初態(tài)ii, 對第一個qubit兩個態(tài)執(zhí)行并行計算，結(jié)果加入第二個qubit，

iii,結(jié)果：第一個qubit的態(tài)為342、量子算法──分離富里葉變換的量子算法

定義：分離富里葉變換是如下維么正變換(modq)：或者更一般地為算法的實施依賴如下兩種變換：這里，。353、 Shor算法──大數(shù)因子分解的量子算法

i)任務(wù)：大奇數(shù)N為兩個互質(zhì)數(shù)的乘積。已知N，求和。

背景：按經(jīng)典的計算復(fù)雜性理論，這是一個NP完全問題，是加密編碼理論的基礎(chǔ)。

ii)Shor量子算法步驟概括：

a)隨機取y(<N并與N互質(zhì))，用Shor量子算法求函數(shù)的周期r:，即：b)若r為奇數(shù)，返回i,重新取y;若r為偶數(shù)，取，得

c)由孫子定理，求解下面方程的x：

即

d)求得(x-1)和(x+1)后，由歐幾里得算法，求即得 。

iii)上面步驟中最關(guān)鍵的是求周期r。Shor

算法對此有明確的規(guī)劃。36對給定的大數(shù)N隨機取y(<N;gcd(N,y)=1)尤拉定理若r為偶數(shù)若r為奇數(shù)

Shor算法流程圖37

孫子定理，得x1或x2輾轉(zhuǎn)相除法gcd(x-1,N)=n1,gcd(x+1,N)=n2

N=n1n238112NI=1