安徽省縣中聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1安徽省縣中聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，又，所以.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第二象限.故選：B.3.已知圓臺上、下底面的半徑分別為1，3，其表面積為，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)圓臺的母線長為．高為．所以，解得，所以．所以該圓臺的體積．故選：D．4.已知是兩個單位向量，若在上的投影向量為，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為在上的投影向量為，所以，所以，所以．故選：A．5.已知直線是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，則下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗D〖解析〗對于A：若．則或，故A錯誤；對于B：由，則設(shè)，當(dāng)時，也是符合條件的，故B錯誤；對于C：在長方體中，如圖所示：滿足，此時與相交，故C錯誤；對于D：若，則，故D正確．故選：D．6.在數(shù)列中，，且，則數(shù)列的前15項和為（）A.84 B.102 C.120 D.138〖答案〗C〖解析〗因為，所以是等差數(shù)列，又，所以等差數(shù)列的公差，所以，所以單調(diào)遞減，且，所以的前項和，所以數(shù)列的前15項和為.故選：C7.17世紀(jì)，在研究天文學(xué)的過程中，為了簡化大數(shù)運算，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對數(shù)，對數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法運算，數(shù)學(xué)家拉普拉斯稱贊“對數(shù)的發(fā)明在實效上等于把天文學(xué)家的壽命延長了許多倍”．已知，設(shè)，則所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為．所以，所以．故選：D．8.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，由正弦定理得，所以，即，所以．由正弦定理得．由余弦定理得．所以．其中，所以的最大值為，此時，即，故選：C．二、選擇題9.已知事件滿足，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若與互斥，則C.若，則與相互獨立D.若與相互獨立，則〖答案〗BC〖解析〗因為．所以．故A錯誤；若與互斥．則，故B正確；因為．所以與相互獨立．故C正確：因為與相互獨立．所以．所以，故D錯誤．故選：BC．10.已知，則下列說法正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為20 D.的最小值為〖答案〗BD〖解析〗因為，所以，則，所以．又因為所以．故A錯誤；．當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)．即時等號成立．所以的最小值為16．故C錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)．即時等號成立．故的最小值為，故D正確．故選：BD．11.如圖，在棱長為1的正方體中，是的中點，點是側(cè)面上的一點，則下列說法正確的是（）A.若點是線段的中點，則B.的周長的最小值為C.若，則點到平面的距離為D.若平面，則線段長度的取值范圍是〖答案〗ABD〖解析〗若點是線段的中點．則，故A正確；記點關(guān)于平面的對稱點為，所以的周長，故B正確；以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系．如圖所示．所以，．所以，，所以．設(shè)平面的一個法向量為．所以令．解得，所以平面的一個法向量．所以點到平面的距離，故C錯誤；取的中點為．取的中點為．取的中點為．如圖所示．因為是的中點，是的中點，所以．因為平面平面．所以平面，同理可得平面．又平面，所以平面平面．又平面．所以點的軌跡為線段．由，得，，，，所以．即為直角．所以線段長度的取值范圍是．故D正確．故選：ABD．12.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的極值點為1B.C.若分別是曲線和上的動點.則的最小值為D.若對任意的恒成立，則的最小值為〖答案〗ACD〖解析〗．所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極值點為1，故A正確；設(shè)，則，由單調(diào)性的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增．又，則存在．使得，即，，所以當(dāng)時．，當(dāng)時．．所以在上單調(diào)遞減．在上單調(diào)遞增.所以，又，則，所以，故B錯誤；因為函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于對稱，設(shè)點到的最小距離為，設(shè)函數(shù)上斜率為的切線為，，由得，所以切點坐標(biāo)為，即，所以，所以的最小值為，故C正確；若對任意的恒成立，則對任意的恒成立，令，則．所以在上單調(diào)遞增，則，即，令，所以，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，所以，即的最小值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題13.一組數(shù)據(jù)24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位數(shù)是____________．〖答案〗50〖解析〗先按照從小到大排序：15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78．共12個數(shù)據(jù)，，第9，10個數(shù)據(jù)分別為47，53，則第75百分位數(shù)為．故〖答案〗為：5014.已知空間向量，若共面，則____________．〖答案〗6〖解析〗若共面，則存在實數(shù)，使得，即．所以，解得．所以．故〖答案〗為：15.已知函數(shù)，則不等式的解集為____________．〖答案〗〖解析〗令，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且恒成立，所以在上單調(diào)遞減.又，所以是奇函數(shù)．由，可得，所以.又在上單調(diào)遞減，所以．整理可得，，解得，所以不等式的解集為．故〖答案〗為：.16.在三棱錐中，，且三棱錐的外接球的表面積為，記的面積分別為，則的最大值為____________．〖答案〗32〖解析〗設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，所以，解得．設(shè)，因為,所以由長方體模型可知，即．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．所以的最大值為32．故〖答案〗為：32.四、解答題17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，且，求的值．解：（1）由題意知．故函數(shù)的最小正周期．令．解得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）因為．又．所以，所以，所以．18.如圖，在直三棱柱中，分別為線段，的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取中點，連接，如圖所示．在中，為中點,為中點，所以且，在直三棱柱中，且．因為為中點，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平而，所以平面．（2）解：在直三棱柱中，平而，又平面，所以,且,以為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,不妨設(shè)，所以，所以,設(shè)平面一個法向量為．所以,令,解得,所以平面的一個法向量．又平面的一個法向量可取為，設(shè)平面與平面的夾角為,所以，即平面與平面夾角的余弦值為．19.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求角的大??；（2）若，點是線段上的一點，，求的周長．解：（1）因為．由正弦定理得．即．由余弦定理得．又．所以．（2）因為．所以，又，所以，即．在中，由余弦定理得，所以．解得或（舍）．所以的周長．20.已知數(shù)列滿足.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：.（1）解：因為數(shù)列滿足．當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以,所以.當(dāng)時，，上式也成立.所以.（2）證明：由（1）知，所以.令，所以，又，所以.所以是遞增數(shù)列，所以，所以.21.如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，，二面角的大小為，點是棱上的一點．（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角正弦值為，求的值．（1）證明：設(shè)，連接，在菱形中，為中點，且，因為，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：以為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為軸，軸，過點且垂直于平面的直線為軸．建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因為，所以為二面角的平面角．所以．因為四邊形是菱形，，所以，所以，所以，設(shè)平面的一個法向量為，所以，令，解得，所以平面的一個法向量，設(shè)，所以，設(shè)直線與平面所成角的大小為，所以，解得或（舍）．所以，所以．22.已知函數(shù)，（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)與的圖象恰有一個交點，求的取值范圍.解：（1）易得的定義域為，令，若，即時，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，若，即時，當(dāng)，即時，，所以，所以在上單調(diào)遂增；當(dāng)，即時，令，解得或，所以當(dāng)或時，，即；當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）令，函數(shù)與的圖象恰有一個交點，等價于恰有一個零點，又，即函數(shù)除0之外無其他零點，，令，所以，當(dāng)時，，則，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，若，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，所以恰有一個零點，符合題意；若，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞城，即在上單調(diào)遞減，又，則存在，使得，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，令，所以，