數(shù)學-專項17.1勾股定理專項提升訓練（重難點培優(yōu)）-【】2022-2023學年八年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)必刷題（帶答案）【人教版】

【拔尖特訓】2022-2023學年八年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)必刷題【人教版】專題17.1勾股定理專項提升訓練（重難點培優(yōu)）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分120分，試題共24題，其中選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2022春?忻城縣期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，且AB＝10，BC＝6，則AC等于（）A．12 B．8 C．4 D．2【分析】由勾股定理可直接得出結(jié)果．【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝8，故選：B．2．（2022春?黔西南州期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AC＝，則AB2+BC2的值是（）A．2 B．3 C．2 D．4【分析】由勾股定理可直接得出結(jié)果．【解答】解：由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，即AB，故選：A．3．（2022秋?溧水區(qū)期中）在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對應邊分別是a，b，c，則下列式子成立的是（）A．a(chǎn)2+b2＝c2 B．a(chǎn)2+c2＝b2 C．a(chǎn)2﹣b2＝c2 D．b2+c2＝a2【分析】根據(jù)勾股定理進行解答即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A，∠B、∠C的對應邊分別是a、b、c，∴a2+b2＝c2．故選：A．4．（2022秋?西安月考）如圖，三個正方形圍成一個直角三角形，圖中的數(shù)據(jù)是它們的面積，則正方形A

的面積為（）A．72 B．64 C．60 D．54【分析】根據(jù)勾股定理和正方形面積的公式直接可得答案．【解答】解：由勾股定理得，圖形A的面積為100﹣36＝64，故選：B．5．（2022春?合川區(qū)校級期中）平面直角坐標系內(nèi)，點P（1，）到原點的距離是（）A． B．2 C．+1 D．4【分析】直接利用兩點間的距離公式可得答案．【解答】解：由兩點間距離公式得，OP＝，故選：B．6．（2022春?中寧縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝15°，CD是腰AB上的高，則CD的長（）A．4 B．2 C．1 D．【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠DAC＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得CD的長．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝15°，∴∠ACB＝∠B＝15°，∴∠DAC＝30°，∵CD是腰AB上的高，∴CD⊥AB，

∴CD＝AC＝2，故選：B．7．（2022春?普陀區(qū)校級期末）如圖所示，以數(shù)軸上的單位長度線段為邊作一個正方形，以表示數(shù)1的點為圓心、正方形的對角線長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點A，則點A表示的數(shù)是（）A．﹣ B．1﹣ C．﹣1+ D．﹣1﹣【分析】利用勾股定理求出正方形的對角線長，從而得出答案．【解答】解：∵正方形的邊長為1，∴對角線長為＝，∴點A表示的數(shù)是1﹣，故選：B．8．（2022春?蘭山區(qū)期末）如圖，邊長為1的正方形網(wǎng)格圖中，點A，B都在格點上，若，則BC的長為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理求得AB的長度，然后根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AB＝＝2，，∴BC＝AB＝AC＝2﹣＝，故選：C．9．（2022秋?高新區(qū)校級月考）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E，則CD等于（）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【分析】首先利用勾股定理求出AB，然后利用角平分線的性質(zhì)得到CD＝DE，在Rt△DEB中，利用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：∵AD是∠CAB的平分線，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE＝6cm，∵AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝10cm，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），設DE＝xcm，則CD＝xcm，BD＝（8﹣x）cm，在Rt△DEB中，BD2＝DE2+BE2，∴（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝DE＝3．故選：B．10．（2022秋?海曙區(qū)期中）勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一，在我國算術《周髀算經(jīng)》中早有記載．如圖以直角三角形紙片的各邊分別向外作正三角形紙片，再把較小的兩張正三角形紙片按如圖的方式放置在最大正三角形紙片內(nèi)．若已知圖中陰影部分的面積，則可知（）

A．直角三角形紙片的面積 B．最大正三角形紙片的面積 C．最大正三角形與直角三角形的紙片面積和 D．較小兩個正三角形紙片重疊部分的面積【分析】設三個正三角形面積分別為S1，S2，S3，（不妨設S1＞S2＞S3），由勾股定理和三角形面積可得S1＝S2+S3，再由面積和差關系即可求解．【解答】解：如圖，設三個正三角形面積分別為S1，S2，S3，（不妨設S1＞S2＞S3），兩個小正三角形的重疊部分的面積為S4，∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∵S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，∴S2+S3＝AC2+BC2＝（AC2+BC2）＝AB2，∴S1＝S2+S3，∴S陰影＝S1﹣（S2+S3﹣S4）＝S1﹣S2﹣S3+S4＝S4，故選：D．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2022秋?溧陽市期中）若直角三角形兩直角邊長分別為9和40，則斜邊長為41．【分析】利用勾股定理直接計算即可．【解答】解：由勾股定理得，斜邊＝＝41．故答案為：41．12．（2022秋?天橋區(qū)校級月考）在如圖所示的方格紙中，建立直角坐標系，點A表示（3，4），則OA＝5．

【分析】根據(jù)勾股定理直接計算即可．【解答】解：由勾股定理得，OA＝＝5，故答案為：5．13．（2022秋?臨沭縣校級月考）在△ABC中，BC＝6，BC邊上的高AD＝4，且BD＝2，則△ACD的面積為8或16．【分析】根據(jù)題意得出CD的長度，再利用三角形面積公式求出△ACD的面積即可．【解答】解：根據(jù)題意，分以下兩種情況：①如圖：∵BC＝6，AD＝4，BD＝2，∴CD＝BC﹣BD＝6﹣2＝4，∴S△ACD＝CD?AD＝＝8，②如圖：∵BC＝6，AD＝4，BD＝2，∴CD＝BD+BC＝8，∴S△ACD＝CD?AD＝8×4＝16，故答案為：8或16．14．（2022春?中山市期末）平面直角坐標系中有兩點A（m，﹣1），B（3，4），當m取任意實數(shù)時，線段

AB長度的最小值為5．【分析】根據(jù)垂線段最短即可解決問題．【解答】解：∵A（m，﹣1），∴點A在直線y＝﹣1上，要使AB最小，根據(jù)“垂線段最短”，可知：過B作直線y＝﹣1的垂線，垂足為即為A，∴AB最小為5．故答案為：5．15．（2022秋?建鄴區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，若CH是△ABC的高線，則CH＝．【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【解答】解：∵Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5．∵CH是△ABC的高線，∴AB?CH＝AC?BC，即5CH＝4×3，解得CH＝．故答案為：．16．（2022秋?秦淮區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4cm，分別以AC，BC為邊作正方形，面積分別記為S1，S2，則S1+S2＝16cm2．【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC2+BC2的值，根據(jù)S1，S2

分別表示正方形面積，求出S1+S2的值即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4cm，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2＝16，則S1+S2＝AC2+BC2＝16（cm2），故答案為：16．17．（2022秋?云巖區(qū)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝，分別以△ABC的三邊為直徑畫半圓，則兩個月形圖案（陰影部分）的面積之和是5．【分析】由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，AB＝2，設以AB、BC、AC為直徑的半圓分別為①、②、③，則S①+S②＝S③，而S陰影＝S①+S②+S△ABC﹣S③＝S△ABC，即可解決問題．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2，AB＝＝＝2，設以AB、BC、AC為直徑的半圓分別為①、②、③，∴S①＝π×（）2＝AB2，同理：S②＝BC2，S③＝AC2，∴S①+S②＝（AB2+BC2）＝AC2＝S③，∴S陰影＝S①+S②+S△ABC﹣S③＝S△ABC＝AB?BC＝×2×＝5，即兩個月形圖案（陰影部分）的面積之和是5，故答案為：5．18．（2022秋?仁壽縣校級月考）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一點，CD＝3，點P從B點出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個單位的速度向右運動．設點P的運動時間為t．過點D作DE⊥AP于點E．在點P的運動過程中，當t為5或11時，能使DE＝CD？

【分析】根據(jù)動點運動的不同位置利用勾股定理即可求解．【解答】解：①點P在線段BC上時，過點D作DE⊥AP于E，如圖1所示：則∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∴PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，解得：t＝5；②點P在線段BC的延長線上時，過點D作DE⊥AP于E，如圖2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，

在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11．綜上所述，在點P的運動過程中，當t的值為5或11時，能使DE＝CD．三、解答題（本大題共6小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2022秋?溫州期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，已知BC＝10，AD＝12，求AC的長．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝5，∵AD＝12，∴AC＝＝＝13，故AC的長為13．20．（2022秋?玉林期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，求線段CD的長．【分析】由于∠C＝90°，∠ABC＝60°，可以得到∠A＝30°，又由BD平分∠ABC，可以推出∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°，BD＝AD＝6，再利用“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”即可求出結(jié)果．【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°，∴BD＝AD＝6，

∴CD＝BD＝6×＝3．故線段CD的長為3．21．（2022秋?碑林區(qū)校級期中）在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，AD為BC邊上的高，求AD的長．【分析】由題意知，BD+DC＝14，設BD＝x，則CD＝14﹣x，在直角△ABD中，AB是斜邊，根據(jù)勾股定理AB2＝AD2+BD2，在直角△ACD中，根據(jù)勾股定理AC2＝AD2+CD2，列出方程組即可計算x的值，即可求得AD的長度．【解答】解：∵BC＝14，且BC＝BD+DC，設BD＝x，則DC＝14﹣x，則在直角△ABD中，AB2＝AD2+BD2，即132＝AD2+x2，在直角△ACD中，AC2＝AD2+CD2，即152＝AD2+（14﹣x）2，整理計算得x＝5，即AD＝12．22．（2022秋?蘇州期中）如圖1，將長為2a+3，寬為2a的矩形分割成四個全等的直角三角形，拼成如圖2所示的“趙爽弦圖”，得到大小兩個正方形．（1）用關于a的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長；（2）已知圖2中小正方形面積為36，求大正方形的面積？【分析】（1）觀察圖形，用直角三角形較長的直角邊減去較短的直角邊即可；（2）根據(jù)正方形的面積＝邊長的平方列出代數(shù)式，把a＝3代入求值即可．

【解答】解：（1）∵直角三角形較短的直角邊＝×2a＝a，較長的直角邊＝2a+3，∴小正方形的邊長＝2a+3﹣a＝a+3；（2）小正方形的面積＝（a+3）2＝36，∴a＝3（負值舍去），∴大正方形的面積＝92+32＝90．23．（2022春?巢湖市校級期中）學習勾股定理之后，同學們發(fā)現(xiàn)證明勾股定理有很多方法．某同學提出了一種證明勾股定理的方法：如圖1點B是正方形ACDE邊CD上一點，連接AB，得到直角三角形ACB，三邊分別為a，b，c，將△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如圖2所示，該同學用圖1、圖2的面積不變證明了勾股定理．請你寫出該方法證明勾股定理的過程．【分析】連接BF，由圖1可得正方形ACDE的面積為b2，由圖2可得四邊形ABDF的面積為三角形ABF與三角形BDF面積之和，再利用正方形ACDE的面積與四邊形ABDF的面積相等即可證明．【解答】證明：如圖，連接BF，∵AC＝b，∴正方形ACDE的面積為b2，∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a，∴BD＝CD﹣