數(shù)學(xué)北屯高級(jí)中學(xué)馬玲分類(lèi)討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

分類(lèi)討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用作者：馬玲北屯高級(jí)中要：分類(lèi)討論思想是高中數(shù)學(xué)進(jìn)行解題的一種常見(jiàn)思路，近年來(lái)也是高考中的熱門(mén)考點(diǎn)，分類(lèi)討論思想具有嚴(yán)謹(jǐn)性與周密性的特點(diǎn)，它可以開(kāi)拓學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯能力與靈活運(yùn)用能力，從而幫助學(xué)生構(gòu)建解題思路。它還可以將復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單化處理，降低數(shù)學(xué)題的難度，進(jìn)而讓學(xué)生能夠更加快速的解題。本文結(jié)合了函數(shù)、數(shù)列、概率等問(wèn)題，具體的分析了分類(lèi)討論思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，以此來(lái)供同行參考與借鑒。關(guān)鍵詞：分類(lèi)討論思想、高中數(shù)學(xué)、解題應(yīng)用引言：隨著新課改的不斷推行與發(fā)展，分類(lèi)討論思想在高中數(shù)學(xué)題中逐漸的被應(yīng)用，它是一種數(shù)學(xué)思想，也是一種解決問(wèn)題的方法。分類(lèi)討論思想對(duì)于簡(jiǎn)化研究對(duì)象、提升解題質(zhì)量、提高解題效率都起著至關(guān)重要的作用，另外，它還有助于鍛煉學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的慣性，從而讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中能夠?qū)⒚康李}解析的更快更好。一.分類(lèi)討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用1.1分類(lèi)討論思想在概率中的應(yīng)用概率的學(xué)習(xí)特別考驗(yàn)學(xué)生的思維能力，在學(xué)習(xí)它過(guò)程中首先需要學(xué)生理清思路，然后集中精力緊跟教師講課的步伐，之后根據(jù)題意把握住整體環(huán)境逐一進(jìn)行分析與計(jì)算，才可解析出正確的答案。概率題是每年高考必考題，可想而知它的重要性，那么如何運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解答數(shù)學(xué)中的概率題呢，以下通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明。例題；A，B，C三個(gè)班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過(guò)分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間，數(shù)據(jù)如表（單位：小時(shí)）：A66.577.58B6789101112C34.567.5910.51213.5從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一個(gè)人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙．假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相對(duì)獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率？該題首先要分析一共有多少種情況發(fā)生，其次通過(guò)分類(lèi)討論的方法，來(lái)分情況討論甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)有幾種可能。解析：從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一個(gè)人，共有5×8=40種情況，而且這些情況是等可能發(fā)生的。1.當(dāng)甲鍛煉時(shí)間為6時(shí)，甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)有2種情況；2.當(dāng)甲鍛煉時(shí)間為6.5時(shí)，甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)有3種情況；3.當(dāng)甲鍛煉時(shí)間為7時(shí)，甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)有3種情況；4.當(dāng)甲鍛煉時(shí)間為7.5時(shí)，甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)有3種情況；5.當(dāng)甲鍛煉時(shí)間為8時(shí)，甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)有4種情況；故甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率P=（2+3+3+3+4）/40=3/8；通過(guò)以上的解題思路我們可以看出，應(yīng)用分類(lèi)討論解答概率不僅可以降低概率題的難度，還可以幫助學(xué)生快速的解出答案，從而也提高了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。1.2分類(lèi)討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用函數(shù)題在高考的試卷中占有很大的分值，但是函數(shù)題的難度也是相當(dāng)?shù)拇?，解析出答案拿到高分，這對(duì)于大部分的老師和學(xué)生來(lái)說(shuō)都具有很大的挑戰(zhàn)性。函數(shù)題中總是存在著參數(shù)，并且參數(shù)還是變量，故在實(shí)際的解題中采用分類(lèi)討論的思想來(lái)解決問(wèn)題是最佳的方案。例：已知函數(shù)f（x）=x2－2ax+2,x∈[-5,5]。（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-5,5]上是單調(diào)函數(shù)；（2）求y=f（x）的最小值。解析：對(duì)于第一題首先要討論函數(shù)為幾次函數(shù)，圖像是什么樣的，其次要分析對(duì)稱(chēng)軸x是否等于-a，其次再考慮參數(shù)a在什么情況下的范圍，才能使得y=f（x）在區(qū)間[-5,5]上是單調(diào)函數(shù)。因f（x）=x2－2ax+2的圖像是拋物線，開(kāi)口向上，它的對(duì)稱(chēng)軸為x=-a，故當(dāng)-a≤-5或者-a≥-5時(shí)，f（x）為單調(diào)函數(shù)。對(duì)于第二題要分別討論a的取值范圍，從第一題中分析得到f（x）=x2－2ax+2的圖像是拋物線，開(kāi)口向上，它的對(duì)稱(chēng)軸為x=-a，所以當(dāng)a≥5時(shí)，f（x）在[-5,5]上是增函數(shù)，那么f（x）的最小值是f（-5）=27-10a；當(dāng)a大于-5，小于5時(shí)，f（x）在[-5,5]上是先減后增的函數(shù)，所以f（x）的最小值f（-a）=2-a2;當(dāng)a≤-5，f（x）在[-5,5]上是減函數(shù)，故f（x）的最小值f（5）=27+10a；從該題中分析得出，f（x）的圖像是拋物線，區(qū)間在對(duì)稱(chēng)軸的一側(cè)時(shí)是為單調(diào)函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間內(nèi)時(shí)，要學(xué)會(huì)分類(lèi)討論在什么情況下f（x）才有最小值。1.3分類(lèi)討論思想在數(shù)列中的應(yīng)用在解析數(shù)列的題時(shí)，分類(lèi)討論的思想也被廣泛的應(yīng)用，特別是求在等比數(shù)列的和以及以q為公比的等差數(shù)列Sn與bn的大小中的應(yīng)用。那么如何將分類(lèi)討論思想運(yùn)用在數(shù)列中呢，首先在解析數(shù)列的問(wèn)題時(shí)，一定要學(xué)會(huì)根據(jù)題的條件來(lái)討論分類(lèi)的級(jí)別，然后分析所討論的級(jí)別的標(biāo)準(zhǔn)和對(duì)象，之后要學(xué)會(huì)將結(jié)果歸類(lèi)合并。以下通過(guò)舉例子來(lái)具體的說(shuō)明分類(lèi)討論思想在數(shù)列中運(yùn)用，設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，且a1，a3，a2成等差數(shù)列。(1)求q的值；(2)設(shè){bn}是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)n≥2時(shí)，比較Sn與bn的大小，并說(shuō)明理由。這道題的該如何解析呢，首先要根據(jù)題設(shè)進(jìn)行詳細(xì)的分析，然后巧妙運(yùn)用例題中的條件，來(lái)解答出答案。解析（1）由題設(shè)可得2a3＝a1＋a2，即得出2a1q2＝a1＋a1q。又因?yàn)閍1≠0，所以2q2－q－1＝0。那么得出q＝1，或者q＝1/2。解析（2）,這道題的答案取決于n的取值范圍，首先用定值來(lái)分兩種兩種情況討論，如果q＝1，那么Sn＝2n＋n（n-1）/2=（n2＋3n）/2.則有當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－bn＝Sn－1＝(n-1)(n＋2)/2＞0，故而Sn＞bn，如果q＝－1/2，那么Sn＝2n＋(-1/2)n(n-1)/2＝（-n2＋9n）/2.則有當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－bn＝Sn－1＝(n-1)(10-n)/4,故此時(shí)應(yīng)該討論n的具體取值范圍，因n∈N+，那么當(dāng)2≤n≤9時(shí)，Sn＞bn；當(dāng)n＝10時(shí)，Sn＝bn；當(dāng)n≥11時(shí)，Sn＜bn。通過(guò)例題分析我們得出，分類(lèi)討論的思想在數(shù)列中的運(yùn)用也是非常方便，不僅使每道題的答案都能夠解析透徹，也培養(yǎng)的學(xué)生解題思路的形成。二.結(jié)論分類(lèi)討論的思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用不僅僅能夠提高學(xué)生的做題效率，提高學(xué)生的邏輯思維，同時(shí)，還可以提升學(xué)校的教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)效率。分類(lèi)討論的思想能夠簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)題的難度，讓學(xué)生在解題的過(guò)程中更加有自信，從而激發(fā)出他們不斷的想要追求出正確的答案，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)成績(jī)，為高考打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。參考文獻(xiàn)曹燕.淺析數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].科學(xué)咨詢(xún)（科技·管理），2016,（08）82.成壘.淺談分類(lèi)討論思