高中數(shù)學(xué)經(jīng)典50題(附答案解析)3167

./高中數(shù)學(xué)題庫求下列函數(shù)的值域：解法2令t＝sinx,則f<t>＝－t2＋t＋1,∵|sinx|≤1,∴|t|≤1.問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于t的二次函數(shù)f<t>在閉區(qū)間[－1,1]上的最值．本例題<2>解法2通過換元,將求三角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,從而達(dá)到解決問題的目的,這就是轉(zhuǎn)換的思想．善于從不同角度去觀察問題,溝通數(shù)學(xué)各學(xué)科之間的內(nèi)在聯(lián)系,是實現(xiàn)轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵,轉(zhuǎn)換的目的是將數(shù)學(xué)問題由陌生化熟悉,由復(fù)雜化簡單,一句話：由難化易．可見化歸是轉(zhuǎn)換的目的,而轉(zhuǎn)換是實現(xiàn)化歸段手段。設(shè)有一顆慧星沿一橢圓軌道繞地球運行,地球恰好位于橢圓軌道的焦點處,當(dāng)此慧星離地球相距萬千米和萬千米時,經(jīng)過地球和慧星的直線與橢圓的長軸夾角分別為,求該慧星與地球的最近距離。解：建立如下圖所示直角坐標(biāo)系,設(shè)地球位于焦點處,橢圓的方程為〔圖見教材P132頁例1。當(dāng)過地球和彗星的直線與橢圓的長軸夾角為時,由橢圓的幾何意義可知,彗星A只能滿足。作故由橢圓第二定義可知得兩式相減得答：彗星與地球的最近距離為萬千米。說明：〔1在天體運行中,彗星繞恒星運行的軌道一般都是橢圓,而恒星正是它的一個焦點,該橢圓的兩個焦點,一個是近地點,另一個則是遠(yuǎn)地點,這兩點到恒星的距離一個是,另一個是〔2以上給出的解答是建立在橢圓的概念和幾何意義之上的,以數(shù)學(xué)概念為根基充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。另外,數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的解決在數(shù)學(xué)化的過程中也要時刻不忘審題,善于挖掘隱含條件,有意識地訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)。A,B,C是我方三個炮兵陣地,A在B正東6,C在B正北偏西,相距4,P為敵炮陣地,某時刻A處發(fā)現(xiàn)敵炮陣地的某種信號,由于B,C兩地比A距P地遠(yuǎn),因此4后,B,C才同時發(fā)現(xiàn)這一信號,此信號的傳播速度為1,A若炮擊P地,求炮擊的方位角?！矆D見優(yōu)化設(shè)計教師用書P249例2解：如圖,以直線BA為軸,線段BA的中垂線為軸建立坐標(biāo)系,則,因為,所以點P在線段BC的垂直平分線上。因為,BC中點,所以直線PD的方程為〔1又故P在以A,B為焦點的雙曲線右支上。設(shè),則雙曲線方程為〔2。聯(lián)立〔1〔2,得,所以因此,故炮擊的方位角北偏東。說明：本題的關(guān)鍵是確定P點的位置,另外還要求學(xué)生掌握方位角的基本概念。河上有拋物線型拱橋,當(dāng)水面距拱頂5米時,水面寬度為8米,一小船寬4米,高2米,載貨后船露出水面的部分高0.75米,問水面上漲到與拋物線拱頂距多少時,小船開始不能通行？解：建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拱橋型拋物線方程為。將B〔4,-5代入得P=1.6船兩側(cè)與拋物線接觸時不能通過則A<2,yA>,由22=-3.2yA得yA=-1.25因為船露出水面的部分高0.75米所以h=︱yA︱+0.75=2米答：水面上漲到與拋物線拱頂距2米時,小船開始不能通行[思維點拔]注意點與曲線的關(guān)系的正確應(yīng)用和用建立拋物線方程解決實際問題的技巧。．如圖所示,直線和相交于點M,,點,以A、B為端點的曲線段C上任一點到的距離與到點N的距離相等。若為銳角三角形,,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求曲線段C的方程。解：以直線為x軸,線段MN的垂直平分線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,由條件可知,曲線段C是以點N為焦點,以為準(zhǔn)線的拋物線的一段,其中A、B分別為曲線段C的端點。設(shè)曲線段C的方程為,其中為A、B的橫坐標(biāo),,所以,由,得〔1〔2,〔1〔2聯(lián)立解得,代入〔1式,并由解得,因為為銳角三角形,所以,故舍去,所以由點B在曲線段C上,得,綜上,曲線段C的方程為[思維點拔]本題體現(xiàn)了坐標(biāo)法的基本思路,考查了定義法,待定系數(shù)法求曲線方程的步驟,綜合考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力。設(shè)拋物線的焦點為A,以B<a+4,0>點為圓心,︱AB︱為半徑,在x軸上方畫半圓,設(shè)拋物線與半圓相交與不同的兩點M,N。點P是MN的中點?！?求︱AM︱+︱AN︱的值〔2是否存在實數(shù)a,恰使︱AM︱︱AP︱︱AN︱成等差數(shù)列？若存在,求出a,不存在,說明理由。解：<1>設(shè)M,N,P在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為M′,N′,P′.︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=xM+xN+2a又圓方程將代入得得︱AM︱+︱AN︱=8<2>假設(shè)存在a因為︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=2︱PP′︱所以︱AP︱=︱PP′︱,P點在拋物線上,這與P點是MN的中點矛盾。故a不存在。拋物線上有兩動點A,B及一個定點M,F為焦點,若成等差數(shù)列求證線段AB的垂直平分線過定點Q若〔O為坐標(biāo)原點,求拋物線的方程。對于〔2中的拋物線,求△AQB面積的最大值。解：〔1設(shè),則,,,由題意得,的中點坐標(biāo)可設(shè)為,其中〔否則,而,故AB的垂直平分線為,即,可知其過定點〔2由,得,聯(lián)立解得。〔3直線AB：,代入得,,,又點到AB的距離,令,則,令即,得或或,時。[思維點拔]設(shè)而不求法和韋達(dá)定律法是解決圓錐曲線中的兩大基本方法,必須熟練掌握,對定點問題和最值的處理也可由此細(xì)細(xì)的品味。8、已知直線交橢圓于A、B兩點,若為的傾斜角,且的長不小于短軸的長,求的取值范圍。解：將的方程與橢圓方程聯(lián)立,消去,得由,的取值范圍是[思維點拔]對于弦長公式一定要能熟練掌握、靈活運用民。本題由于的方程由給出,所以可以認(rèn)定,否則涉及弦長計算時,還要討論時的情況。9、已知拋物線與直線相交于A、B兩點求證：當(dāng)?shù)拿娣e等于時,求的值。證明：圖見教材P127頁,由方程組消去后,整理得。設(shè),由韋達(dá)定理得在拋物線上,解：設(shè)直線與軸交于N,又顯然令[思維點拔]本題考查了兩直線垂直的充要條件,三角形的面積公式,函數(shù)與方程的思想,以及分析問題、解決問題的能力。10、在拋物線y2=4x上恒有兩點關(guān)于直線y=kx+3對稱,求k的取值范圍?！冀狻皆O(shè)B、C關(guān)于直線y=kx+3對稱,直線BC方程為x=-ky+m代入y2=4x得：y2+4ky-4m=0,設(shè)B〔x1,y1、C〔x2,y2,BC中點M〔x0,y0,則y0=〔y1+y2/2=-2k。x0=2k2+m,∵點M〔x0,y0在直線上?！?2k〔2k2+m+3,∴m=-又BC與拋物線交于不同兩點,∴⊿=16k2+16m>0把m代入化簡得即,解得-1<k<0[思維點拔]對稱問題要充分利用對稱的性質(zhì)特點。11、已知橢圓的一個焦點F1〔0,-2,對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為y=-,且離心率e滿足：2/3,e,4/3成等比數(shù)列。求橢圓方程；是否存在直線,使與橢圓交于不同的兩點M、N,且線段MN恰被直線x=-平分。若存在,求的傾斜角的范圍；若不存在,請說明理由?！冀狻揭李}意e=〔1∵-c=-2=,又e=∴=3,c=2,b=1,又F1〔0,-2,對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為y=-。∴橢圓中心在原點,所求方程為：=1〔2假設(shè)存在直線,依題意交橢圓所得弦MN被x=-平分,∴直線的斜率存在。設(shè)直線：由=1消去y,整理得=0∵直線與橢圓交于不同的兩點M、N∴⊿=4k2m2-4<k2+9><m2-9>>0即m2-k2-9<0①設(shè)M〔x1,y1、N〔x2,y2∴,∴②把②代入①可解得：∴直線傾斜角[思維點拔]傾斜角的范圍,實際上是求斜率的范圍。12、設(shè)x,y滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by〔a>0,b>0的值是最大值為12,則的最小值為〔A．B．C．D．4答案：A解析：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線ax+by=z〔a>0,b>0過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點〔4,6時,目標(biāo)函數(shù)z=ax+by〔a>0,b>0取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,而=,故選A．點評：本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題．要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的平面區(qū)域,并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值,對于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘積進(jìn)而用基本不等式解答．13、本公司計劃20XX在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告,廣告總費用不超過9萬元,甲、乙電視臺的廣告收費標(biāo)準(zhǔn)分別為元/分鐘和200元/分鐘,規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告,能給公司事來的收益分別為0．3萬元和0．2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間,才能使公司的收益最大,最大收益是萬元．答案：700100200300100200300400500y0100200300100200300400500yxlM目標(biāo)函數(shù)為．二元一次不等式組等價于作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,即可行域．如圖：作直線,即．平移直線,從圖中可知,當(dāng)直線過點時,目標(biāo)函數(shù)取得最大值．聯(lián)立解得．點的坐標(biāo)為．〔元．點評：本題是線性規(guī)劃的實際應(yīng)用問題,需要通過審題理解題意,找出各量之間的關(guān)系,找出線性約束條件,寫出所研究的目標(biāo)函數(shù),通過數(shù)形結(jié)合解答問題．用線性規(guī)劃的方法解決實際問題能提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力,隨著課改的深入,這類試題應(yīng)該是高考的熱點題型之一．14、設(shè)為實數(shù),函數(shù)．<1>若,求的取值范圍；<2>求的最小值；<3>設(shè)函數(shù),直接寫出<不需給出演算步驟>不等式的解集．解析：〔1若,則；〔2當(dāng)時,,當(dāng)時,,綜上；〔3時,得,當(dāng)時,；當(dāng)時,△>0,得：；討論得：當(dāng)時,解集為；當(dāng)時,解集為；當(dāng)時,解集為．點評：本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識,考查靈活運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力．15、知函數(shù)．〔Ⅰ設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列,前n項和為,其中．若點<n∈N*>在函數(shù)的圖象上,求證：點也在的圖象上；〔Ⅱ求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值．解析：<Ⅰ>證明：因為所以,由點在函數(shù)的圖象上,,又,所以,是的等差數(shù)列,所以,又因為,所以,故點也在函數(shù)的圖象上．<Ⅱ>解:,令得．當(dāng)x變化時,﹑的變化情況如下表:x<-∞,-2>-2<-2,0>f<x>+0-f<x>↗極大值↘注意到,從而①當(dāng),此時無極小值；②當(dāng)?shù)臉O小值為,此時無極大值；③當(dāng)既無極大值又無極小值．點評：本小題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識,考查分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法,考查分析問題和解決問題的能力．16、設(shè)若是與的等比中項,則的最小值為〔A．8B．4C．1D．答案：B解析：因為,所以,,當(dāng)且僅當(dāng)即時"="成立,故選擇B．點評：本小題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化,以及均值不等式求最值的運用,考查了變通能力．17、設(shè)數(shù)列滿足為實數(shù)．〔Ⅰ證明：對任意成立的充分必要條件是；〔Ⅱ設(shè),證明：；〔Ⅲ設(shè),證明：．解析：<1>必要性：,又,即．充分性：設(shè),對用數(shù)學(xué)歸納法證明,當(dāng)時,．假設(shè),則,且,,由數(shù)學(xué)歸納法知對所有成立．<2>設(shè),當(dāng)時,,結(jié)論成立．當(dāng)時,,,由〔1知,所以且,,,．<3>設(shè),當(dāng)時,,結(jié)論成立,當(dāng)時,由〔2知,,．點評：該題綜合考查了等比數(shù)列的求和、不等式的性質(zhì)的應(yīng)用、充分必要條件和數(shù)學(xué)歸納法等,具有較高的難度,對邏輯推理能力的考查要求較高．18、將一骰子連續(xù)拋擲三次,它落地時向上的點數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為〔Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：一骰子連續(xù)拋擲三次得到的數(shù)列共有個,其中為等差數(shù)列有三類：〔1公差為0的有6個；〔2公差為1或-1的有8個；〔3公差為2或-2的有4個,共有18個,成等差數(shù)列的概率為,選B．點評：本題是以數(shù)列和概率的背景出現(xiàn),題型新穎而別開生面,有采取分類討論,分類時要做到不遺漏,不重復(fù)．19、等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別用Sn和Tn表示,若,則的值為<>ABCD答案：A解析：∵；．∴．點評：考查等差數(shù)列的前n項和的變形。20、已知x＞0,y＞0,x,a,b,y成等差數(shù)列,x,c,d,y成等比數(shù)列,則eq\f<<a＋b>2,cd>的最小值是________．答案：4解析：∵eq\f<<a＋b>2,cd>＝eq\f<<x＋y>2,xy>≥eq\f<<2eq\r<xy>>2,xy>＝4．點評：考查等差等比數(shù)列的基本知識,均值不等式。21、命題實數(shù)滿足,其中,命題實數(shù)滿足或,且是的必要不充分條件,求的取值范圍．解析：設(shè),=因為是的必要不充分條件,所以,且推不出而,所以,則或即或．點評：考查邏輯用語,一元二次方程及其含參數(shù)的解集。22、已知二次函數(shù)的二次項系數(shù)為a,且不等式的解集為〔1,3．〔l若方程有兩個相等的根,求的解析式；〔2若的最大值為正數(shù),求a的取值范圍．解析：〔1因為的解集為〔1,3,所以且．因而〔1由方程得：〔2因為方程〔2有兩個相等的根．所以,即．解得：〔舍去或,將代入〔1得的解析式為：,〔2,有a<0,可得的最大值為,所以>0,且a<0．解得：,故當(dāng)?shù)淖畲笾禐檎龜?shù)時,實數(shù)a的取值范圍是．點評：含參數(shù)的未知一元二次方程,求函數(shù)表達(dá)式以及參數(shù)的取值范圍。計算量比較大,且要求對一元二次函數(shù)的知識熟練。23、已知數(shù)列中,是其前項和,并且,⑴設(shè)數(shù)列,求證：數(shù)列是等比數(shù)列；⑵設(shè)數(shù)列,求證：數(shù)列是等差數(shù)列；⑶求數(shù)列的通項公式及前項和。分析：由于和{c}中的項都和{a}中的項有關(guān),{a}中又有S=4a+2,可由S-S作切入點探索解題的途徑．解：<1>由S=4a,S=4a+2,兩式相減,得S-S=4<a-a>,即a=4a-4a．<根據(jù)b的構(gòu)造,如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵,注意加強恒等變形能力的訓(xùn)練>a-2a=2<a-2a>,又b=a-2a,所以b=2b①已知S=4a+2,a=1,a+a=4a+2,解得a=5,b=a-2a=3②由①和②得,數(shù)列是首項為3,公比為2的等比數(shù)列,故b=3·2．當(dāng)n≥2時,S=4a+2=2<3n-4>+2；當(dāng)n=1時,S=a=1也適合上式．綜上可知,所求的求和公式為S=2<3n-4>+2．說明：1．本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差,等比數(shù)列,求數(shù)列通項與前項和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式。2．解綜合題要總攬全局,尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件,在后面求解的過程中適時應(yīng)用．24、設(shè)實數(shù),數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,記,求證：當(dāng)時,對任意自然數(shù)都有=解：。記①②①+②得③說明：本例主要復(fù)習(xí)利用錯位相減解決差比數(shù)列的求和問題。關(guān)鍵是先研究通項,確定是等差數(shù)列,等比數(shù)列。25、設(shè)正數(shù)數(shù)列{a}為一等比數(shù)列,且a=4,a=16．說明：這是20XX全國高考上海試題,涉及對數(shù)、數(shù)列、極限的綜合題,主要考查等比數(shù)列的定義及通項公式,等差數(shù)列前n項和公式,對數(shù)計算,求數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識,以及綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力．26、〔20XX北京春季高考20下表給出一個"等差數(shù)陣"：47〔〔〔…………712〔〔〔…………〔〔〔〔〔…………〔〔〔〔〔…………………………其中每行、每列都是等差數(shù)列,表示位于第i行第j列的數(shù)?！睮寫出的值；〔II寫出的計算公式；〔III證明：正整數(shù)N在該等差數(shù)列陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積。分析：本小題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基本知識,考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力。解：〔I〔II該等差數(shù)陣的第一行是首項為4,公差為3的等差數(shù)列：第二行是首項為7,公差為5的等差數(shù)列：……第i行是首項為,公差為的等差數(shù)列,因此〔III必要性：若N在該等差數(shù)陣中,則存在正整數(shù)i,j使得從而即正整數(shù)2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積。充分性：若2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積,由于2N+1是奇數(shù),則它必為兩個不是1的奇數(shù)之積,即存在正整數(shù)k,l,使得,從而可見N在該等差數(shù)陣中。綜上所述,正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積。27、已知點的序列〔,0,,其中=0,,A3是線錢A1A2的中點,A4是線段A2A3的中點,…,An是線段的中點,…?！睮寫出與、之間的關(guān)系式〔≥3〔II設(shè),計算,,,由此推測數(shù)列{}的通項公式,并加以證明。〔I解：當(dāng)n≥3時,〔II解：.由此推測。證法一：因為,且〔n≥2所以。證法二：〔用數(shù)學(xué)歸納法證明：〔i當(dāng)時,,公式成立,〔ii假設(shè)當(dāng)時,公式成立,即成立。那么當(dāng)時,=式仍成立。根據(jù)〔i與〔ii可知,對任意,公式成立評注：本小題主要考查中點坐標(biāo)公式、等比數(shù)列等基本知識,考查運算能力和邏輯思維能力。28、〔94年全國理>設(shè)｛an｝是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項和為Sn,并且對所有自然數(shù)n,an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項.<1>寫出數(shù)列｛an｝的前三項；<2>求數(shù)列｛an｝的通項公式<寫出推證過程>；<3>令bn=<n∈N>,求：b1+b2+…+bn-n.解：<1>由題意=an＞0令n=1時,=S1=a1解得a1=2令n=2時有==a1+a2解得a2=6令n=3時有=S3=a1+a2+a3解得a3=10故該數(shù)列的前三項為2、6、10.<2>解法一：由<1>猜想數(shù)列｛an｝有通項公式an=4n-2,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列｛an｝的通項公式是an=4n-2<n∈N>1°當(dāng)n=1時,因為4×1-2＝2,又在<1>中已求得a1=2,所以上述結(jié)論正確.2°假設(shè)n=k時,結(jié)論正確,即有ak=4k-2由題意有得ak=4k-2,代入上式得2k=,解得Sk=2k2由題意有=Sk+1=Sk+ak+1得Sk=2k2代入得=2<ak+1+2k2>整理a2k+1-4ak+1+4-16k2=0由于ak+1＞0,解得：ak+1=2+4k所以ak+1=2+4k=4<k+1>-2這就是說n=k+1時,上述結(jié)論成立.根據(jù)1°,2°上述結(jié)論對所有自然數(shù)n成立.解法二：由題意有,=<n∈N>整理得Sn=<an+2>2由此得Sn+1=<an+1+2>2所以an+1=Sn+1-Sn=［〔an+1+2>2-<an+2>2］整理得<an+1+an><an+1-an-4>=0由題意知an+1+an≠0,所以an+1-an=4即數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列,其中a1=2,公差d=4,所以an=a1＋<n-1>d=2+4<n-1>即通項公式an=4n-2.<3>令cn=bn-1,則cn===b1+b2+…+bn-n=c1+c2+…+cn=說明：該題的解題思路是從所給條件出發(fā),通過觀察、試驗、分析、歸納、概括、猜想出一般規(guī)律,然后再對歸納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證明.對于含自然數(shù)n的命題,可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明,該題著重考查了歸納、概括和數(shù)學(xué)變換的能力.29、〔XX18如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,M、N分別是橢圓的頂點,過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P、A兩點,其中P在第一象限,過P作x軸的垂線,垂足為C,連接AC,并延長交橢圓于點B,設(shè)直線PA的斜率為k〔1當(dāng)直線PA平分線段MN,求k的值；〔2當(dāng)k=2時,求點P到直線AB的距離d；〔3對任意k>0,求證：PA⊥PB本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、直線方程、直線的垂直關(guān)系、點到直線的距離等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力和推理論證能力,滿分16分.解：〔1由題設(shè)知,所以線段MN中點的坐標(biāo)為,由于直線PA平分線段MN,故直線PA過線段MN的中點,又直線PA過坐標(biāo)原點,所以〔2直線PA的方程解得于是直線AC的斜率為〔3解法一：將直線PA的方程代入則故直線AB的斜率為其方程為解得.于是直線PB的斜率因此解法二：設(shè).設(shè)直線PB,AB的斜率分別為因為C在直線AB上,所以從而因此30、〔XX理21設(shè),點的坐標(biāo)為〔1,1,點在拋物線上運動,點滿足,經(jīng)過點與軸垂直的直線交拋物線于點,點滿足,求點的軌跡方程。本題考查直線和拋物線的方程,平面向量的概念,性質(zhì)與運算,動點的軌跡方程等基本知識,考查靈活運用知識探究問題和解決問題的能力,全面考核綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng).解：由知Q,M,P三點在同一條垂直于x軸的直線上,故可設(shè)①再設(shè)解得②將①式代入②式,消去,得③又點B在拋物線上,所以,再將③式代入,得故所求點P的軌跡方程為31、〔北京理19已知橢圓.過點〔m,0作圓的切線I交橢圓G于A,B兩點.〔I求橢圓G的焦點坐標(biāo)和離心率；〔II將表示為m的函數(shù),并求的最大值.〔19〔共14分解：〔Ⅰ由已知得所以所以橢圓G的焦點坐標(biāo)為離心率為〔Ⅱ由題意知,.當(dāng)時,切線l的方程,點A、B的坐標(biāo)分別為此時當(dāng)m=－1時,同理可得當(dāng)時,設(shè)切線l的方程為由設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為,則又由l與圓所以由于當(dāng)時,所以.因為且當(dāng)時,|AB|=2,所以|AB|的最大值為2.32、〔XX理17已知直線l：y=x+m,m∈R?！睮若以點M〔2,0為圓心的圓與直線l相切與點P,且點P在y軸上,求該圓的方程；〔II若直線l關(guān)于x軸對稱的直線為,問直線與拋物線C：x2=4y是否相切？說明理由。本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想。滿分13分。解法一：〔I依題意,點P的坐標(biāo)為〔0,m因為,所以,解得m=2,即點P的坐標(biāo)為〔0,2從而圓的半徑故所求圓的方程為〔II因為直線的方程為所以直線的方程為由〔1當(dāng)時,直線與拋物線C相切〔2當(dāng),那時,直線與拋物線C不相切。綜上,當(dāng)m=1時,直線與拋物線C相切；當(dāng)時,直線與拋物線C不相切。解法二：〔I設(shè)所求圓的半徑為r,則圓的方程可設(shè)為依題意,所求圓與直線相切于點P〔0,m,則解得所以所求圓的方程為〔II同解法一。33、〔XX理19設(shè)圓C與兩圓中的一個內(nèi)切,另一個外切?！?求C的圓心軌跡L的方程;〔2已知點M,且P為L上動點,求的最大值及此時點P的坐標(biāo)．〔1解：設(shè)C的圓心的坐標(biāo)為,由題設(shè)條件知化簡得L的方程為〔2解：過M,F的直線方程為,將其代入L的方程得解得因T1在線段MF外,T2在線段MF內(nèi),故,若P不在直線MF上,在中有故只在T1點取得最大值2。34、〔XX理20平面內(nèi)與兩定點,連續(xù)的斜率之積等于非零常數(shù)的點的軌跡,加上、兩點所成的曲線可以是圓、橢圓成雙曲線．〔Ⅰ求曲線的方程,并討論的形狀與值得關(guān)系；〔Ⅱ當(dāng)時,對應(yīng)的曲線為；對給定的,對應(yīng)的曲線為,設(shè)、是的兩個焦點。試問：在撒謊個,是否存在點,使得△的面積。若存在,求的值；若不存在,請說明理由。本小題主要考查曲線與方程、圓錐曲線等基礎(chǔ)知識,同時考查推理運算的能力,以及分類與整合和數(shù)形結(jié)合的思想。〔滿分14分解：〔I設(shè)動點為M,其坐標(biāo)為,當(dāng)時,由條件可得即,又的坐標(biāo)滿足故依題意,曲線C的方程為當(dāng)曲線C的方程為是焦點在y軸上的橢圓；當(dāng)時,曲線C的方程為,C是圓心在原點的圓；當(dāng)時,曲線C的方程為,C是焦點在x軸上的橢圓；當(dāng)時,曲線C的方程為C是焦點在x軸上的雙曲線?！睮I由〔I知,當(dāng)m=-1時,C1的方程為當(dāng)時,C2的兩個焦點分別為對于給定的,C1上存在點使得的充要條件是②①②①由①得由②得當(dāng)或時,存在點N,使S=|m|a2；當(dāng)或時,不存在滿足條件的點N,當(dāng)時,由,可得令,則由,從而,于是由,可得綜上可得：當(dāng)時,在C1上,存在點N,使得當(dāng)時,在C1上,存在點N,使得當(dāng)時,在C1上,不存在滿足條件的點N。35、〔XX理21如圖7,橢圓的離心率為,x軸被曲線截得的線段長等于C1的長半軸長?！并袂驝1,C2的方程；〔Ⅱ設(shè)C2與y軸的焦點為M,過坐標(biāo)原點O的直線與C2相交于點A,B,直線MA,MB分別與C1相交與D,E．〔i證明：MD⊥ME;〔ii記△MAB,△MDE的面積分別是．問：是否存在直線l,使得?請說明理由。解：〔Ⅰ由題意知故C1,C2的方程分別為〔Ⅱ〔i由題意知,直線l的斜率存在,設(shè)為k,則直線l的方程為.由得.設(shè)是上述方程的兩個實根,于是又點M的坐標(biāo)為〔0,—1,所以故MA⊥MB,即MD⊥ME.〔ii設(shè)直線MA的斜率為k1,則直線MA的方程為解得則點A的坐標(biāo)為.又直線MB的斜率為,同理可得點B的坐標(biāo)為于是由得解得則點D的坐標(biāo)為又直線ME的斜率為,同理可得點E的坐標(biāo)為于是.因此由題意知,又由點A、B的坐標(biāo)可知,故滿足條件的直線l存在,且有兩條,其方程分別為36、〔XX理20如圖,已知橢圓C1的中心在原點O,長軸左、右端點M,N在x軸上,橢圓C2的短軸為MN,且C1,C2的離心率都為e,直線l⊥MN,l與C1交于兩點,與C2交于兩點,這四點按縱坐標(biāo)從大到小依次為A,B,C,D．〔I設(shè),求與的比值；〔II當(dāng)e變化時,是否存在直線l,使得BO∥AN,并說明理由．解：〔I因為C1,C2的離心率相同,故依題意可設(shè)設(shè)直線,分別與C1,C2的方程聯(lián)立,求得………………4分當(dāng)表示A,B的縱坐標(biāo),可知………………6分〔IIt=0時的l不符合題意.時,BO//AN當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等,即解得因為所以當(dāng)時,不存在直線l,使得BO//AN；當(dāng)時,存在直線l使得BO//AN.………………12分37、〔全國大綱理21已知O為坐標(biāo)原點,F為橢圓在y軸正半軸上的焦點,過F且斜率為的直線與C交于A、B兩點,點P滿足〔Ⅰ證明：點P在C上；〔Ⅱ設(shè)點P關(guān)于點O的對稱點為Q,證明：A、P、B、Q四點在同一圓上．解：〔IF〔0,1,的方程為,代入并化簡得…………2分設(shè)則由題意得所以點P的坐標(biāo)為經(jīng)驗證,點P的坐標(biāo)為滿足方程故點P在橢圓C上?！?分〔II由和題設(shè)知,PQ的垂直平分線的方程為①設(shè)AB的中點為M,則,AB的垂直平分線為的方程為②由①、②得的交點為?！?分故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|,所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|,由此知A、P、B、Q四點在以N為圓心,NA為半徑的圓上38、〔全國新課標(biāo)理20在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A〔0,-1,B點在直線上,M點滿足,,M點的軌跡為曲線C．〔I求C的方程；〔IIP為C上動點,為C在點P處的切線,求O點到距離的最小值．解：<Ⅰ>設(shè)M<x,y>,由已知得B<x,-3>,A<0,-1>.所以=〔-x,-1-y,=<0,-3-y>,=<x,-2>.再由題意可知〔+?

=0,即〔-x,-4-2y?

<x,-2>=0.所以曲線C的方程式為y=x-2. <Ⅱ>設(shè)P<x,y>為曲線C：y=x-2上一點,因為y=x,所以的斜率為x因此直線的方程為,即．則O點到的距離.又,所以當(dāng)=0時取等號,所以O(shè)點到距離的最小值為2.39、〔XX理22已知動直線與橢圓C:交于P、Q兩不同點,且△OPQ的面積=,其中O為坐標(biāo)原點.〔Ⅰ證明和均為定值;〔Ⅱ設(shè)線段PQ的中點為M,求的最大值；〔Ⅲ橢圓C上是否存在點D,E,G,使得?若存在,判斷△DEG的形狀；若不存在,請說明理由.〔I解：〔1當(dāng)直線的斜率不存在時,P,Q兩點關(guān)于x軸對稱,所以因為在橢圓上,因此①又因為所以②由①、②得此時〔2當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為由題意知m,將其代入,得,其中即…………〔*又所以因為點O到直線的距離為所以又整理得且符合〔*式,此時綜上所述,結(jié)論成立?！睮I解法一：〔1當(dāng)直線的斜率存在時,由〔I知因此〔2當(dāng)直線的斜率存在時,由〔I知所以所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.綜合〔1〔2得|OM|·|PQ|的最大值為解法二：因為所以即當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。因此|OM|·|PQ|的最大值為〔III橢圓C上不存在三點D,E,G,使得證明：假設(shè)存在,由〔I得因此D,E,G只能在這四點中選取三個不同點,而這三點的兩兩連線中必有一條過原點,與矛盾,所以橢圓C上不存在滿足條件的三點D,E,G.40、〔XX理17如圖,設(shè)P是圓上的動點,點D是P在x軸上的攝影,M為PD上一點,且〔Ⅰ當(dāng)P在圓上運動時,求點M的軌跡C的方程；〔Ⅱ求過點〔3,0且斜率為的直線被C所截線段的長度解：〔Ⅰ設(shè)M的坐標(biāo)為〔x,yP的坐標(biāo)為〔xp,yp由已知得∵P在圓上,∴,即C的方程為〔Ⅱ過點〔3,0且斜率為的直線方程為,設(shè)直線與C的交點為將直線方程代入C的方程,得即∴∴線段AB的長度為注：求AB長度時,利用韋達(dá)定理或弦長公式求得正確結(jié)果,同樣得分。41、〔上海理23已知平面上的線段及點,在上任取一點,線段長度的最小值稱為點到線段的距離,記作?！?求點到線段的距離；〔2設(shè)是長為2的線段,求點集所表示圖形的面積；〔3寫出到兩條線段距離相等的點的集合,其中,是下列三組點中的一組。對于下列三組點只需選做一種,滿分分別是①2分,②6分,③8分；若選擇了多于一種的情形,則按照序號較小的解答計分。。②。③。解：⑴設(shè)是線段上一點,則,當(dāng)時,。⑵設(shè)線段的端點分別為,以直線為軸,的中點為原點建立直角坐標(biāo)系,則,點集由如下曲線圍成,其面積為。⑶①選擇,②選擇。③選擇。42、〔XX理21橢圓有兩頂點A〔-1,0、B〔1,0,過其焦點F〔0,1的直線l與橢圓交于C、D兩點,并與x軸交于點P．直線AC與直線BD交于點Q．〔I當(dāng)|CD|=時,求直線l的方程；〔II當(dāng)點P異于A、B兩點時,求證：為定值。解：由已知可得橢圓方程為,設(shè)的方程為為的斜率。則的方程為43、〔天津理18在平面直角坐標(biāo)系中,點為動點,分別為橢圓的左右焦點．已知△為等腰三角形．〔Ⅰ求橢圓的離心率；〔Ⅱ設(shè)直線與橢圓相交于兩點,是直線上的點,滿足,求點的軌跡方程．本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面向量等基礎(chǔ)知識,考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,考查解決問題能力與運算能力.滿分13分.〔I解：設(shè)由題意,可得即整理得〔舍,或所以〔II解：由〔I知可得橢圓方程為直線PF2方程為A,B兩點的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理,得解得得方程組的解不妨設(shè)設(shè)點M的坐標(biāo)為,由于是由即,化簡得將所以因此,點M的軌跡方程是44、〔XX理21已知拋物線:＝,圓:的圓心為點M〔Ⅰ求點M到拋物線的準(zhǔn)線的距離；〔Ⅱ已知點P是拋物線上一點〔異于原點,過點P作圓的兩條切線,交拋物線于A,B兩點,若過M,P兩點的直線垂直于AB,求直線的方程本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì),直線與拋物線、圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分15分?！睮解：由題意可知,拋物線的準(zhǔn)線方程為：所以圓心M〔0,4到準(zhǔn)線的距離是〔II解：設(shè),則題意得,設(shè)過點P的圓C2的切線方程為,即①則即,設(shè)PA,PB的斜率為,則是上述方程的兩根,所以將①代入由于是此方程的根,故,所以由,得,解得即點P的坐標(biāo)為,所以直線的方程為45、〔XX理20如題〔20圖,橢圓的中心為原點,離心率,一條準(zhǔn)線的方程為．〔Ⅰ求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔Ⅱ設(shè)動點滿足：,其中是橢圓上的點,直線與的