新教材2023版高中數(shù)學(xué)第2章空間向量與立體幾何2.1空間直角坐標(biāo)系2.1.1建立空間直角坐標(biāo)系學(xué)生用書湘教版選擇性必修第二冊(cè)

2．1.1建立空間直角坐標(biāo)系新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)一空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系在空間任取一點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，作三條________的有向直線Ox，Oy，Oz，在這三條直線上選取共同的長(zhǎng)度單位，分別建立坐標(biāo)軸，依次稱為x軸、y軸、z軸，從而組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz?．坐標(biāo)平面在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，由兩條坐標(biāo)軸確定的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為________平面，________平面，________平面．右手系伸出右手，讓四指與大拇指垂直，并使四指先指向________正方向，然后讓四指沿握拳方向旋轉(zhuǎn)90°指向________正方向，此時(shí)大拇指的指向即為________正方向．批注?畫空間直角坐標(biāo)系O-xyz時(shí)，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.要點(diǎn)二空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)有了空間直角坐標(biāo)系，空間中的點(diǎn)P與有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)之間就建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)稱為點(diǎn)P的坐標(biāo)，記作P(x，y，z)，其中x稱為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，y稱為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，z稱為點(diǎn)P的豎坐標(biāo)．點(diǎn)的坐標(biāo)?原點(diǎn)的坐標(biāo)為O(0，0，0)，x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為________，y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為________，z軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為________．平面上點(diǎn)的坐標(biāo)?xOy平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為________，yOz平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為________，xOz平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為________．批注?坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征：x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)都為0；y軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)都為0；z軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為0.批注?坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的特征：xOy平面上的點(diǎn)豎坐標(biāo)為0；yOz平面上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為0；xOz平面上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為0.基礎(chǔ)自測(cè)1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)空間直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是唯一的．()(2)空間直角坐標(biāo)系中x軸上點(diǎn)的橫坐標(biāo)x＝0，豎坐標(biāo)z＝0.()(3)空間直角坐標(biāo)系中xOz平面上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足z＝0.()2．點(diǎn)(2，0，3)在空間直角坐標(biāo)系中的()A．y軸上B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一象限內(nèi)3．在空間直角坐標(biāo)系O-xyz，點(diǎn)A(1，－2，5)關(guān)于平面yOz對(duì)稱的點(diǎn)B為()A．(1，－2，－5)B．(－1，－2，5)C．(－1，－2，－5)D．(1，2，－5)4．在空間直角坐標(biāo)系中，自點(diǎn)P(－4，－2，3)引x軸的垂線，則垂足的坐標(biāo)為________．題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性在空間坐標(biāo)系下確定點(diǎn)的位置例1在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，畫出下列各點(diǎn)：A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，A′(0，0，2)，B′(2，0，2)，C′(2，3，2)，D′(0，3，2)．方法歸納在空間坐標(biāo)系下確定點(diǎn)的位置的方法(1)先確定點(diǎn)(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由豎坐標(biāo)確定點(diǎn)(x0，y0，z0)在空間直角坐標(biāo)系中的位置；(2)以原點(diǎn)O為一個(gè)頂點(diǎn)，構(gòu)造棱長(zhǎng)分別為|x0|，|y0|，|z0|的長(zhǎng)方體(三條棱的位置要與x0，y0，z0的符號(hào)一致)，則長(zhǎng)方體中與O相對(duì)的頂點(diǎn)即為所求的點(diǎn)．鞏固訓(xùn)練1在空間直角坐標(biāo)系中，標(biāo)出點(diǎn)M(2，－6，4)．在空間坐標(biāo)系下求點(diǎn)的坐標(biāo)例2設(shè)正四棱錐S-P1P2P3P4的所有棱長(zhǎng)均為a，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．求點(diǎn)S，P1，P2，P3和P4的坐標(biāo)．方法歸納在空間坐標(biāo)系下求點(diǎn)的坐標(biāo)作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，再求M點(diǎn)在z軸上射影的豎坐標(biāo)z，即為M點(diǎn)的豎坐標(biāo)z，于是得到M點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y，z)．鞏固訓(xùn)練2在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG＝14CD，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出E，F(xiàn)，G在空間坐標(biāo)系下求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)例3在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(－2，1，4)．(1)求點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2，－1，－4)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．方法歸納求空間對(duì)稱點(diǎn)的2個(gè)策略鞏固訓(xùn)練3求點(diǎn)(－2，1，4)關(guān)于y軸，z軸，yOz面，xOz面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．2．1.1建立空間直角坐標(biāo)系新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一兩兩垂直xOyyOzxOzx軸y軸z軸要點(diǎn)二(x，0，0)(0，y，0)(0，0，z)(x，y，0)(0，y，z)(x，0，z)[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)√(2)×(3)×2．解析：點(diǎn)(2，0，3)的y軸坐標(biāo)為0，所以該點(diǎn)在xOz平面上．答案：C3．解析：關(guān)于平面yOz對(duì)稱的點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)相同．答案：B4．解析：∵點(diǎn)P(－4，－2，3)，∴自點(diǎn)P引x軸的垂線，垂足坐標(biāo)為(－4，0，0)．答案：(－4，0，0)題型探究·課堂解透例1解析：點(diǎn)A為原點(diǎn)．點(diǎn)B為x軸上坐標(biāo)為2的點(diǎn)．點(diǎn)C的豎坐標(biāo)為0，因此點(diǎn)C就是xOy平面內(nèi)橫坐標(biāo)為2、縱坐標(biāo)為3的點(diǎn)．點(diǎn)D是y軸上坐標(biāo)為3的點(diǎn)．點(diǎn)A′是z軸上坐標(biāo)為2的點(diǎn)．點(diǎn)B′是zOx平面內(nèi)橫坐標(biāo)為2、豎坐標(biāo)也為2的點(diǎn)．要作出點(diǎn)C′(2，3，2)，只需過x軸上坐標(biāo)為2的點(diǎn)B作垂直于x軸的平面α，過y軸上坐標(biāo)為3的點(diǎn)D作垂直于y軸的平面β，根據(jù)幾何知識(shí)可以得出：這兩個(gè)平面的交線就是經(jīng)過點(diǎn)C(2，3，0)且與z軸平行的直線l.再過z軸上坐標(biāo)為2的點(diǎn)A′作垂直于z軸的平面γ，那么直線l與平面γ的交點(diǎn)也是三個(gè)平面α，β，γ，的交點(diǎn)，就是點(diǎn)C′.點(diǎn)D′是yOz平面內(nèi)縱坐標(biāo)為3、豎坐標(biāo)為2的點(diǎn)．在同一空間直角坐標(biāo)系中，畫出以上各點(diǎn)，它們剛好是長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′的八個(gè)頂點(diǎn)(如圖)．鞏固訓(xùn)練1解析：方法一先確定點(diǎn)M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置，因?yàn)辄c(diǎn)M的豎坐標(biāo)為4，則|MM′|＝4，且點(diǎn)M和z軸的正半軸在xOy平面的同側(cè)，這樣就可確定點(diǎn)M的位置了(如圖所示)．方法二以O(shè)為一個(gè)頂點(diǎn)，構(gòu)造三條棱長(zhǎng)分別為2，6，4的長(zhǎng)方體，使此長(zhǎng)方體在點(diǎn)O處的三條棱分別在x軸正半軸、y軸負(fù)半軸、z軸正半軸上，則長(zhǎng)方體中與頂點(diǎn)O相對(duì)的頂點(diǎn)即為所求的點(diǎn)(圖略)．例2解析：以正四棱錐的底面中心作為坐標(biāo)原點(diǎn)，棱P1P2，P1P4分別垂直于Oy軸和Ox軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．∵|P1P2|＝a，P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，∴P1(a2，a2，0)，P2(－又P3與P1關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P4與P2關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴P3(－a2，－a2，0)，P4(a2，－a又∵|OP1|＝22a，∴在Rt△SOP1|SO|＝SP12-OP12＝∴S(0，0，22a)鞏固訓(xùn)練2解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．點(diǎn)E在z軸上，它的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為0，而E為DD1的中點(diǎn)，故其坐標(biāo)為(0，0，12)由F作FM⊥AD，F(xiàn)N⊥CD，垂足分別為M，N，由平面幾何知識(shí)知FM＝12，F(xiàn)N＝1故F點(diǎn)坐標(biāo)為(12，1因?yàn)镃G＝14CD，G，C均在y故G點(diǎn)坐標(biāo)為(0，34，0)例3解析：(1)由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱后，它在x軸的分量不變，在y軸，z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為P1(－2，－1，－4)．(2)由點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對(duì)稱后，它在x軸，y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為P2(－2，1，－4)．(3)設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為P3(x，y，z)，則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x＝2