2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第34講 等差數(shù)列通項公式及性質(zhì)-原卷版85

第34講等差數(shù)列通項公式及性質(zhì)【知識通關(guān)】通關(guān)一、等差數(shù)列的定義1.文字語言形式一般地,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列,這個常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差,公差通常用字母表示.要點(diǎn)詮釋：(1)公差一定是由后項減前項所得,而不能用前項減后項來求;(2)共同特征:從第二項起,每一項與它前面一項的差等于同一個常數(shù)（即公差）.2.符號語言形式對于數(shù)列,若為常數(shù))或為常數(shù),則此數(shù)列是等差數(shù)列,其中常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差.要點(diǎn)詮釋：定義中要求“同一個常數(shù)”,必須與無關(guān).通關(guān)二、等差中項如果成等差數(shù)列,那么叫作與的等差中項,即.要點(diǎn)：詮釋(1)兩個數(shù)的等差中項就是兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù).任意兩實數(shù)的等差中項存在且唯一.(2)三個數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是.通關(guān)三、等差數(shù)列的通項公式首項為,公差為的等差數(shù)列的通項公式為:推導(dǎo)過程：(1)歸納法根據(jù)等差數(shù)列定義可得,所以,,,.當(dāng)時,上式也成立.所以歸納得出等差數(shù)列的通項公式為:.(2)疊加法根據(jù)等差數(shù)列定義,有:,,,.把這個等式的左邊與右邊分別相加(疊加),并化簡得,所以.(3)迭代法.所以.要點(diǎn)詮釋：(1)通項公式由首項和公差完全確定,一日一個等差數(shù)列的首項和公差確定,該等差數(shù)列就唯一確定了.(2)通項公式中共涉及四個量,已知其中任意三個量,通過解方程,便可求出第四個量.通關(guān)四、等差數(shù)列中的函數(shù)關(guān)系等差數(shù)列中,,令,則:（是常數(shù)且為公差）.(1)當(dāng)時,為常數(shù)函數(shù),為常數(shù)列;它的圖像是在直線上均勻排列的一群孤立的點(diǎn).(2)當(dāng)時,是的一次函數(shù);它的圖像是在直線上均勻排列的一群孤立的點(diǎn).(1)當(dāng)時,一次函數(shù)單調(diào)增,為遞增數(shù)列;(2)當(dāng)時,一次函數(shù)單調(diào)減,為遞減數(shù)列.結(jié)論一、通項公式理解由等差數(shù)列的通項公式可知：(1)已知等差數(shù)列的首項和公差,可以求得這個數(shù)列的任何一項;(2)已知這四個量中的任意三個,可以求得第四個量.【例1】在等差數(shù)列中,(1)若,求和;(2)若,求.【變式】在等差數(shù)列中,首項,公差,若,則的值為（）. A.37 B.36 C.20 D.19結(jié)論二、通項公式變形等差數(shù)列滿足:.【例2】已知等差數(shù)列前9項的和為,則（）.A.100 B.99 C.98 D.97 【變式】是公差為的等差數(shù)列,如果,那么等于（）.A. B. C. D.結(jié)論三、公差的幾何意義公差等于等差數(shù)列中任意兩項之差與序號之差之比(即斜率),表示為:.【例3】在等差數(shù)列中,已知,求.在等差數(shù)列中,已知,求.【變式】已知等差數(shù)列中,,則____________.結(jié)論四、下標(biāo)和相等,項之和相等等差數(shù)列中,若,則;若,則有【例4】已知等差數(shù)列中,,則的值是（）.A.15 B.30 C.31 D.64【變式】已知等差數(shù)列的前項和為,若,則____________.結(jié)論五、等差數(shù)列線性組合仍為等差數(shù)列若和均為等差數(shù)列,則（為常數(shù))也是等差數(shù)列.【例5】已知數(shù)列滿足,則“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（）.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【變式】設(shè)數(shù)列都是等差數(shù)列,若,則____________.結(jié)論六、下標(biāo)成等差,項也成等差若是等差數(shù)列,則組成公差為的等差數(shù)列.【例6】若為等差數(shù)列,,則___________.【變式】已知等差數(shù)列中,,則___________.結(jié)論七、對稱項設(shè)法1.當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的項數(shù)為奇數(shù)時,可設(shè)中間一項為,再以公差為向兩邊分別設(shè)項:;2.當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的項數(shù)為偶數(shù)時,可設(shè)中間兩項分別為,再以公差為向兩邊分別設(shè)項:.【例7】設(shè)有四個數(shù)的數(shù)列前三個數(shù)構(gòu)成一個等比數(shù)列,其和為,后三個數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列,其和為15,且公差非零.對于任意固定的實數(shù),若滿足條件的數(shù)列個數(shù)大于1,則的取值范圍為__________.【變式】一等差數(shù)列由3個數(shù)組成,3個數(shù)之和為9,3個數(shù)的平方和為35,求這個數(shù)列.結(jié)論八、等差數(shù)列的判定與證明等差數(shù)列的判定與證明方法有以下四種：1.定義法:（常數(shù))或為等差數(shù)列.2.等差中項法:為等差數(shù)列.3.通項公式法:（是常數(shù),）為等差數(shù)列.4.前項和公式法:為常數(shù)為等差數(shù)列.若判斷一個數(shù)列不是等差數(shù)列,只需找出三項,使得這三項不滿足即可.【例8】已知數(shù)列滿足.求