3.3從函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式 2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第一冊(cè)

高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第一冊(cè)第3章不等式3.3從函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式3.3.1從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.會(huì)結(jié)合二次函數(shù)的圖象,判斷一元二次方程實(shí)數(shù)根的存在性及實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù),了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系.(直觀想象)2.會(huì)求二次函數(shù)的零點(diǎn).(數(shù)學(xué)運(yùn)算)情境導(dǎo)入觀察三個(gè)具體的一元二次方程的根及其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象:①方程x2-2x-3=0與函數(shù)y=x2-2x-3;②方程x2-2x+1=0與函數(shù)y=x2-2x+1;③方程x2-2x+3=0與函數(shù)y=x2-2x+3.①

②③一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象有什么關(guān)系?知識(shí)點(diǎn)撥一、二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)當(dāng)函數(shù)值取零時(shí)自變量x的值,即二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),也稱(chēng)為二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的零點(diǎn).要點(diǎn)筆記一元二次方程、二次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象之間的關(guān)系方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)根?二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有交點(diǎn)?二次函數(shù)y=ax2+bx+c有零點(diǎn).微思考

二次函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)嗎?提示

不是.二次函數(shù)的零點(diǎn)不是個(gè)點(diǎn),而是一個(gè)數(shù),該數(shù)是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).微練習(xí)

函數(shù)y=2x2-3x+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(

)A.0

B.1

C.2

D.3答案

C解析

由y=0得2x2-3x+1=0,解得x=或x=1,所以函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn).二、一元二次方程的解集

定義形如ax2+bx+c=0的方程叫一元二次方程,其中a,b,c是常數(shù),且a≠0一元二次方程的解集判別式的符號(hào)解集Δ=b2-4ac>0

Δ=b2-4ac=0

Δ=b2-4ac<0?名師點(diǎn)析

1.一元二次方程的解集實(shí)質(zhì)上就是借助判別式判斷根的個(gè)數(shù)后再利用系數(shù)表示出根.2.若關(guān)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,則有微思考

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=適用于所有的一元二次方程嗎?提示

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式只適合于方程有根時(shí)使用,即當(dāng)根的判別式Δ=b2-4ac≥0時(shí)適用.微練習(xí)

答案

C探究一求二次函數(shù)的零點(diǎn)例1已知函數(shù)y=x2-x-2a.(1)若a=1,求函數(shù)f(x)的零點(diǎn);(2)若y有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

(1)當(dāng)a=1時(shí),y=x2-x-2.令y=x2-x-2=0,得x=-1或x=2.即函數(shù)y的零點(diǎn)為-1和2.反思感悟二次函數(shù)零點(diǎn)的求法(1)代數(shù)法:求方程y=0的實(shí)數(shù)根.(2)幾何法:對(duì)于不能用求根公式的方程y=0,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來(lái).圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn).變式訓(xùn)練1已知函數(shù)y1=ax-b(a≠0)的零點(diǎn)為3,求函數(shù)y2=bx2+ax的零點(diǎn).解

由已知得3a-b=0,即b=3a.故y2=3ax2+ax=ax(3x+1).令y2=0,即ax(3x+1)=0,探究二一元二次方程的根的個(gè)數(shù)與判別式的關(guān)系例2關(guān)于x的一元二次方程x2+(m-2)x+m+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則m的值是(

)A.0 B.8C.4± D.0或8答案

D解析

由Δ=(m-2)2-4(m+1)=0,得m2-8m=0,解得m=0或m=8.延伸探究本例的結(jié)論改為“有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”,試求m的取值范圍.解

一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根可能是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根也可能是兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,則Δ=(m-2)2-4(m+1)=m2-8m≥0,即m(m-8)≥0,解得m≥8或m≤0.故m的取值范圍為(-∞,0]∪[8,+∞).變式訓(xùn)練2(2020山西運(yùn)城景勝中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試)關(guān)于x的一元二次方程ax2-4x-1=0有實(shí)數(shù)根,則a滿(mǎn)足(

)A.a≥-4且a≠0 B.a>4C.a≥4 D.a≠0答案

A解析

因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程ax2-4x-1=0有實(shí)數(shù)根,則反思感悟一元二次方程ax2+bx+c=0實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)的判斷方法(1)當(dāng)Δ=b2-4ac>0時(shí),方程有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根;(2)當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;(3)當(dāng)Δ=b2-4ac<0時(shí),方程無(wú)實(shí)數(shù)根.素養(yǎng)形成一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系典例已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求k的取值范圍;解

(1)∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ>0,即(2k+1)2-4k2=4k+1>0,(2)當(dāng)k=2時(shí),方程為x2+5x+4=0,∴x1+x2=-5,x1x2=4,點(diǎn)評(píng)利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)值的步驟(1)算:計(jì)算出兩根的和與積;(2)變:將所求的代數(shù)式表示成兩根的和與積的形式;(3)代:代入求值.當(dāng)堂檢測(cè)1.若x1,x2是一元二次方程2x2-6x+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則|x1-x2|的值為(

)答案

B2.已知α,β是二次函數(shù)y=x2-4x-3的兩個(gè)零點(diǎn),則代數(shù)式(α-3)(β-3)的值是(

)A.7 B.1 C.5 D.-6答案

D解析

∵α,β是一元二次方程x2-4x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,∴α+β=4,αβ=-3,∴(α-3)(β-3)=αβ-3(α+β)+9=-3-3×4+9=-6.故選D.3.一元二次方程(4-2x)2-36=0的解集是

.

答案

{-1,5}解析

原方程移項(xiàng)可得(4-2x)2=36,兩邊開(kāi)平方可得4-2x=6或4-2x=-6,解得x1=-1,x2=5.故一元二次方程(4-2x)2-36=0的解集是{-1,5}.4.若集合A={x|(k+2)x2+2kx+1=0}有且僅有1個(gè)真子集,則實(shí)數(shù)k的取值集合是

.

答案

{-2,-1,2}解析

由集合A有且僅有1個(gè)真子集可得A中含有1個(gè)元素,當(dāng)k=-2時(shí),A={x|-4x+1=0}={},符合題意;當(dāng)k≠2時(shí),Δ=4k2-4(k+2)=0,解得k=-1或k=2.所以實(shí)數(shù)k的取值集合是{-2,-1,2}.5.已知x=-5是函數(shù)y=x2+mx-10的一個(gè)零點(diǎn),求m的值及函數(shù)的另一零點(diǎn).解

設(shè)關(guān)于x的方程x2+mx-10=0的另一個(gè)根為x1,因此,m=3,函數(shù)的另一零點(diǎn)是2.高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第一冊(cè)第3章不等式3.3從函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式3.3.2從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次不等式課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.能借助二次函數(shù)求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.借助二次函數(shù)的圖象,了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.(直觀想象)情境導(dǎo)入隨著城市人口的急劇增加和人們生活水平的不斷提高,道路上車(chē)輛日益增多,很多城市需要通過(guò)修建立交橋和高架道路形成多層立體的布局,以提高車(chē)速和通過(guò)能力.城市環(huán)線和高速公路網(wǎng)的連接也必須通過(guò)大型互通式立交橋進(jìn)行分流和引導(dǎo),保證交通的暢通.城市立交橋已成為現(xiàn)代化城市的重要標(biāo)志.為了保證安全,交通部門(mén)規(guī)定,在立交橋的某地段的運(yùn)行汽車(chē)的車(chē)距d正比于速度v的平方與車(chē)身長(zhǎng)的積,且車(chē)距不得小于半個(gè)車(chē)身長(zhǎng),假定車(chē)身長(zhǎng)均為lm,當(dāng)車(chē)速為60km/h時(shí),車(chē)距為1.44個(gè)車(chē)身長(zhǎng),那么在交通繁忙時(shí),應(yīng)規(guī)定最高車(chē)速為多少,才使此處的車(chē)流量最大?知識(shí)點(diǎn)撥從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次不等式1.一元二次不等式的概念只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式不等式叫作一元二次不等式.2.三個(gè)“二次”的關(guān)系

判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0方程ax2+bx+c=0的根有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根x1,x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=-沒(méi)有實(shí)數(shù)根二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0ax2+bx+c>0的解集(-∞,x1)∪(x2,+∞)Rax2+bx+c<0的解集(x1,x2)??名師點(diǎn)析

1.解一元二次不等式時(shí),必須注意二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào),當(dāng)a<0時(shí),可以利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為正數(shù),然后再求解.2.解不等式ax2+bx+c≥0與ax2+bx+c≤0,要注意解集的端點(diǎn).3.等價(jià)轉(zhuǎn)化法一元二次不等式(x-a)(x-b)>0,可轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組微思考

1不等式x2-y2>0是一元二次不等式嗎?提示

此不等式含有兩個(gè)變量,根據(jù)一元二次不等式的定義,可知不是一元二次不等式.微思考

2是否存在實(shí)數(shù)a使得一元二次不等式ax2+x-1>0的解集為R?若存在,寫(xiě)出實(shí)數(shù)a應(yīng)滿(mǎn)足的條件;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.提示

不存在.理由如下,結(jié)合二次函數(shù)圖象可知,若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集為R,則解得a∈?,所以不存在a使不等式ax2+x-1>0的解集為R.微練習(xí)

不等式x2-2x-5>2x的解集是

.答案

{x|x<-1,或x>5}解析

由x2-2x-5>2x,得x2-4x-5>0,因?yàn)閤2-4x-5=0的兩根為-1,5,故x2-4x-5>0的解集為{x|x<-1,或x>5}.探究一一元二次不等式的解法例1解下列不等式:(1)2x2+7x+3>0;(3)-2x2+3x-2<0.解

(1)因?yàn)棣?72-4×2×3=25>0,所以方程2x2+7x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)(3)原不等式可化為2x2-3x+2>0,因?yàn)棣?9-4×2×2=-7<0,所以方程2x2-3x+2=0無(wú)實(shí)數(shù)根.又二次函數(shù)y=2x2-3x+2的圖象開(kāi)口向上,所以原不等式的解集為R.反思感悟

解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)化標(biāo)準(zhǔn).通過(guò)對(duì)不等式的變形,使不等式的右側(cè)為0,使二次項(xiàng)系數(shù)為正.(2)判別式.對(duì)不等式的左側(cè)進(jìn)行因式分解,若不能分解,則計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式.(3)求實(shí)根.求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說(shuō)明方程無(wú)實(shí)根.(4)畫(huà)草圖.根據(jù)一元二次方程根的情況畫(huà)出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的草圖.(5)寫(xiě)解集.根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式的解集.變式訓(xùn)練1解下列不等式:(1)2x2-3x-2>0;(2)x2-4x+4>0;(3)-x2+2x-3<0;(4)-3x2+5x-2>0.(2)∵Δ=0,方程x2-4x+4=0的根是x1=x2=2,∴不等式x2-4x+4>0的解集為{x|x≠2}.(3)原不等式可化為x2-2x+3>0,由于Δ<0,方程x2-2x+3=0無(wú)解,∴不等式-x2+2x-3<0的解集為R.探究二三個(gè)二次之間的關(guān)系例2已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|2<x<3},求關(guān)于x的不等式cx2+bx+a<0的解集.解

(方法一)由不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|2<x<3}可知,a<0,且2和3是方程ax2+bx+c=0的兩根,(方法二)由不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|2<x<3}可知,a<0,且2和3是方程ax2+bx+c=0的兩根,所以ax2+bx+c=a(x-2)(x-3)=ax2-5ax+6a,則b=-5a,c=6a.故不等式cx2+bx+a<0,即6ax2-5ax+a<0,延伸探究本例中的條件不變,求關(guān)于x的不等式cx2-bx+a>0的解集.反思感悟已知以a,b,c為參數(shù)的不等式如ax2+bx+c>0的解集,求解其他不等式的解集時(shí),一般遵循:(1)根據(jù)解集來(lái)判斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào);(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b,c用a表示出來(lái)并代入所要解的不等式;(3)約去a,將不等式化為具體的一元二次不等式求解.變式訓(xùn)練2已知一元二次不等式x2+mx-2>0的解集為{x|x<-2或x>1},則不等式-2x2+x+m<0的解集為(

)A.(-2,1) B.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案

D解析

由題意可知,一元二次方程x2+mx-2=0的兩根分別為-2,1,由根與系數(shù)的關(guān)系可得-2+1=-m,解得m=1.所以不等式-2x2+x+m<0,即-2x2+x+1<0,探究三不等式恒成立問(wèn)題例3已知y=x2+ax+3-a,若x∈[-2,2],y≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.延伸探究1本例條件不變,若y≥2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.延伸探究2將本例中的條件“y=x2+ax+3-a,x∈[-2,2],y≥0恒成立”變?yōu)椤安坏仁絰2+2x+a2-3>0的解集為R”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

(方法一)∵不等式x2+2x+a2-3>0的解集為R,∴函數(shù)y=x2+2x+a2-3的圖象應(yīng)在x軸上方,∴Δ=4-4(a2-3)<0,解得a>2或a<-2.故a的取值范圍為(-∞,-2)∪(2,+∞).(方法二)令y=x2+2x+a2-3,要使x2+2x+a2-3>0的解集為R,則a滿(mǎn)足ymin=a2-4>0,解得a>2或a<-2.故a的取值范圍為(-∞,-2)∪(2,+∞).(方法三)由x2+2x+a2-3>0,得a2>-x2-2x+3,即a2>-(x+1)2+4,要使該不等式在R上恒成立,必須使a2大于-(x+1)2+4的最大值,即a2>4,故a>2或a<-2.故a的取值范圍為(-∞,-2)∪(2,+∞).反思感悟1.不等式ax2+bx+c>0的解集是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是:2.不等式ax2+bx+c<0的解集是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是:當(dāng)a=0時(shí),3.y≤a恒成立?a≥ymax;y≥a恒成立?a≤ymin.變式訓(xùn)練3當(dāng)x>0時(shí),不等式2x2+ax+1≥0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

素養(yǎng)形成含參數(shù)的一元二次不等式的解法典例解關(guān)于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.解

當(dāng)a=0時(shí),原不等式可化為x>1.當(dāng)a≠0時(shí),原不等式可化為(ax-1)(x-1)<0.點(diǎn)評(píng)解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟

當(dāng)堂檢測(cè)1.已知集合M={x|x2+x-2≤0},N={-1,0,1,2},則M∩N的子集個(gè)數(shù)為(

)A.2 B.4 C.8 D.16答案

C解析

因?yàn)镸={x|x2+x-2≤0}={x|-2≤x≤1},N={-1,0,1,2},所以M∩N={-1,0,1},所以M∩N的子集個(gè)數(shù)為23=8.故選C.2.(2020四川成都七中高一月考)已知集合A={x|(x-1)·(x+2)<0},集合B={x丨

>0},則A∩B=(

)A.{x|-2<x<0} B.{x|1<x<2}C.{x|0<x<1} D.R答案

A解析

因?yàn)榧螦={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-2<x<1},集合B={x丨

>0}={x|x<0或x>1},所以A∩B={x|-2<x<0}.故選A.3.(2020湖北武漢月考)關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|-1<x<2},則關(guān)于x的不等式bx2-ax-