河北省武邑重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題(含答案)

數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2．答題前請仔細(xì)閱讀答題卡（紙）上的“注意事項(xiàng)”，按照“注意事項(xiàng)”的規(guī)定答題。3．選擇題答案涂在答題卡上，非選擇題答案寫在答題卡上相應(yīng)位置，在試卷和草稿紙上作答無效。第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，將正確答案填涂在答題卡上。1．已知集合，則集合的非空真子集的個數(shù)（）A．62B．30C．15D．142．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．已知兩個非零向量的夾角為60°，且，則（）A．B．C．D．34．羽毛球運(yùn)動是一項(xiàng)全民喜愛的體育運(yùn)動，標(biāo)準(zhǔn)的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，測得每根羽毛在球托之外的長為，球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個圓臺的側(cè)面，測得頂端所圍成圓的直徑是，底部所圍成圓的直徑是，據(jù)此可估算球托之外羽毛所在的曲面的展開圖的圓心角為（）A．B．C．D．5．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A．B．C．D．6．甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現(xiàn)有三個小區(qū)可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區(qū)，則每個小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在A小區(qū)的概率為（）A．B．C．D．7．若斜率為1的直線與曲線和圓都相切，則實(shí)數(shù)的值為（）A．0或2B．0或C．2D．8．已知為原點(diǎn)，栯圓，平行四邊形的三個頂點(diǎn)在橢圓上，若直線和的斜率乘積為，四邊形的面積為，則橢圓的方程為（）A．B．C．D．二、多選題（本大題共4小題，每小題至少有兩個正確答案，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分，共20分）9．連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件“第一次出現(xiàn)2點(diǎn)”，“第二次的點(diǎn)數(shù)小于5點(diǎn)”，“兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，“兩次點(diǎn)數(shù)之和為9”，下列說法正確的有（）A．與不互斥且相互獨(dú)立B．與互斥且不相互獨(dú)立C．與互斥且不相互獨(dú)立D．與不互斥且相互獨(dú)立10．已知正實(shí)數(shù)滿足，當(dāng)取最小值時(shí)，下列說法正確的是（）A．B．C．的最大值為1D．的最小值為11．已知正方體的棱長為2，棱的中點(diǎn)為，點(diǎn)在正方體的內(nèi)部及其表面運(yùn)動，使得平面，則（）A．三棱錐的體積為定值B．當(dāng)最大時(shí)，與所成的角為C．正方體的每個面與點(diǎn)的軌跡所在平面夾角都相等D．若，則點(diǎn)的軌跡長度為12．已知奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，下列說法正確的是（）A．是周期為的函數(shù)B．是最小正周期為的函數(shù)C．關(guān)于中心對稱D．直線與若有3個交點(diǎn)，則第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在答題卡上相應(yīng)位置。13．展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為_______．14．將頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊為軸非負(fù)半軸的銳角的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過后，交單位圓于點(diǎn)，那么的值為_______．15．過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，，若，則的值為_______．16．由正整數(shù)組成的數(shù)對按規(guī)律排列如下：，．若數(shù)對滿足，則數(shù)對排在第_______位．四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）在中，角所對的邊分別為，且．（1）求證：；（2）求的最大值．18．（本小題滿分12分）如圖，三棱柱，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上，且．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．19．（本小題滿分12分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積為，且滿足．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求；（2）若，求的最小值．20．（本小題滿分12分）高性能計(jì)算芯片是一切人工智能的基礎(chǔ)．國內(nèi)某企業(yè)已快速啟動AI芯片試生產(chǎn)，試產(chǎn)期需進(jìn)行產(chǎn)品檢測，檢測包括智能檢測和人工檢測．智能檢測在生產(chǎn)線上自動完成，包括安全檢測、蓄能檢測、性能檢測等三項(xiàng)指標(biāo)，且智能檢測三項(xiàng)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為，人工檢測僅對智能檢測達(dá)標(biāo)（即三項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)標(biāo)）的產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測，且僅設(shè)置一個綜合指標(biāo)．人工檢測綜合指標(biāo)不達(dá)標(biāo)的概率為．（1）求每個AI芯片智能檢測不達(dá)標(biāo)的概率；（2）人工檢測抽檢50個AI芯片，記恰有1個不達(dá)標(biāo)的概率為，當(dāng)時(shí)，取得最大值，求；（3）若AI芯片的合格率不超過，則需對生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．以（2）中確定的作為的值，試判斷該企業(yè)是否需對生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．21．（本小題滿分12分）已知雙曲線過四個點(diǎn)中的三個點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）若直線的斜率存在且與雙曲線交于兩點(diǎn)，且，求證：直線經(jīng)過一個不在雙曲線上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）求在的最小值；（2）若方程有兩個不同的解，且成等差數(shù)列，試探究值的符號．參考答案1．【答案】A【解析】不等式解得，由，得集合，則集合，所以集合，集合中有6個元素，所以集合的非空真子集的個數(shù)為．故選：A．2．【答案】D【解析】由得，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為第四象限．3．【答案】C【解析】因?yàn)榉橇阆蛄康膴A角為，且，所以，即，化簡得：，4．【答案】C【解析】將圓臺補(bǔ)成圓錐，則羽毛所在曲面的面積為大、小圓錐的側(cè)面積之差，設(shè)小圓錐母線長為，則大圓錐母線長為，由相似得，即，所以可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展開圖的圓心角為．故選：C．5．【答案】A【解析】由，所以，又，所以，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，即的取值范圍為，故選：A6．【答案】B【解析】首先求所有可能情況，5個人去3個地方，共有種情況，再計(jì)算5個人去3個地方，且每個地方至少有一個人去，5人被分為或當(dāng)5人被分為時(shí)，情況數(shù)為；當(dāng)5人被分為時(shí)，情況數(shù)為；所以共有．由于所求甲不去A，情況數(shù)較多，反向思考，求甲去A的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，當(dāng)5人被分為時(shí)，且甲去，甲若為1，則，甲若為3，則共計(jì)種，當(dāng)5人被分為時(shí)，且甲去，甲若為1，則，甲若為2，則，共計(jì)種，所以甲不在A小區(qū)的概率為，故選：B．7．【答案】A【解析】設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，由，則，則，即切點(diǎn)為，所以直線為，又直線與圓都相切，則有，解得或．8．【答案】B【解析】先證三角形面積公式的向量形式：在中，，則，而設(shè)，由題意可知；，所以，將坐標(biāo)代入橢圓方程有，則，所以四邊形的面積為，即，又根據(jù)和的斜率乘積為知：，所以，解之得：．故選：B9．【答案】ABD【解析】對于A：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次與第二次的結(jié)果互不影響，即A與B相互獨(dú)立；第一次出現(xiàn)2點(diǎn)，第二次的點(diǎn)數(shù)小于5點(diǎn)可以同時(shí)發(fā)生，A與B不互斥；故A正確；對于B：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次的結(jié)果會影響兩次點(diǎn)數(shù)之和，即A與D不相互獨(dú)立；第一次出現(xiàn)2點(diǎn)，則兩次點(diǎn)數(shù)之和最大為8，即A與D不能同時(shí)發(fā)生，即A與D互斥，故B正確；對于C：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第二次的結(jié)果會影響兩次點(diǎn)數(shù)之和，即B與D不相互獨(dú)立；若第一次的點(diǎn)數(shù)為5，第二次的點(diǎn)數(shù)4點(diǎn)，則兩次點(diǎn)數(shù)之和為9，即B與D可以同時(shí)發(fā)生，即B與D不互斥，故C錯誤；對于D：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次的結(jié)果不會影響兩次點(diǎn)數(shù)之和的奇偶，即A與C相互獨(dú)立；若第一次的點(diǎn)數(shù)為2，第二次的點(diǎn)數(shù)3點(diǎn)，則兩次點(diǎn)數(shù)之和為5是奇數(shù)，即A與C可以同時(shí)發(fā)生，即A與C不互斥，故D正確．10．【答案】AC【解析】正實(shí)數(shù)滿足，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，A正確；時(shí)，，B錯；，即時(shí)，的最大值1，C正確D錯誤．故選：AC．11．【答案】ACD【解析】過中點(diǎn)作與交，作與交，重復(fù)上述步驟，依次作的平行線與分別交于（注意各交點(diǎn)均為各棱上的中點(diǎn)），最后依次連接各交點(diǎn)，得到如下圖示的正六邊形，因?yàn)槊婷?，所以面，同理可得面，因?yàn)槊?，所以面面，所以面中直線都平行于面，又面，且平面，所以面，即面，根據(jù)正方體性質(zhì)，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，，且，A：由上分析知：面任意一點(diǎn)到面的距離，即為到面的距離，而，若為面的一個法向量，所以，令，則，而，所以到面的距離，即到面的距離為，又為等邊三角形，則，所以三棱錐的體積為定值，正確；B：由圖知：當(dāng)與重合時(shí)最大為，且，所以與所成的角，即為，錯誤；C：由正方體性質(zhì)，只需判斷各側(cè)面的法向量與的夾角余弦值的絕對值是否相等即可，又，同理可得，所以正方體的每個面與點(diǎn)的軌跡所在平面夾角都相等，正確；D：若，則點(diǎn)的軌跡是以為球心的球體被面所截的圓，因?yàn)槊婷妫室彩敲娴姆ㄏ蛄浚?，所以到面的距離為，故軌跡圓的半徑，故點(diǎn)的軌跡長度為，正確．12．【答案】AC【詳解】：因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于對稱，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，則，則，故是周期為的函數(shù)，故A正確；設(shè)，其定義域?yàn)?，則，所以關(guān)于中心對稱，即關(guān)于中心對稱，故C正確；又，所以為上的奇函數(shù)，結(jié)合可得，即，故是周期為的函數(shù)，故B錯誤；當(dāng)，所以，故在上單調(diào)遞增，由于關(guān)于中心對稱，所以在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，又函數(shù)的周期為，則可得大致圖象如下：若直線與若有3個交點(diǎn)，則或解得或，故，故D錯誤．故選：AC．13【答案】【解析】整個式子中項(xiàng)可由的展開式的常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)、一次項(xiàng)與一次項(xiàng)、二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)相乘得到，故所求為：．14．【答案】【解析】由點(diǎn)在單位圓上，則，解得，由銳角，即，則，故，15．【答案】【解析】由拋物線的方程可知焦點(diǎn)為，由題意可得設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消去整理可得：，則①，②，所以，故，解得．由于，所以，所以，結(jié)合①②可得，即，由③④化簡整理得，解得或（舍去）．16．【答案】174【解析】解：按規(guī)律把正整數(shù)組成的數(shù)對分組：第1組為，數(shù)對中兩數(shù)的和為2，共1個數(shù)對；第2組為，數(shù)對中兩數(shù)和為3，共2個數(shù)對；第3組為，，數(shù)對中兩數(shù)的和為4，共3個數(shù)；……，第組為，數(shù)對中兩數(shù)的和為，共個數(shù)，由，得，因?yàn)椋?，解得，所以，在所有?shù)對中，兩數(shù)之和不超過19的有個，所以在兩數(shù)和為20的第1個數(shù)，第2個為，第3個為，所以數(shù)對排在第174位，17．解：（1）在中，由及正弦定理，得．（2）由（1）知，由均值不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以（少取等條件扣1分）即的最大值為．18．【解析】證明：（Ⅰ）連結(jié)，是的中點(diǎn)，又，平面，平面，平面，又是平行四邊形，，平面平面，平面．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)平面的一個法向量，則，取，得，設(shè)平面的一個法向量為，同理得，二面角的余弦值為．19．【解析】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，得．所以，即，同理得．所以，因?yàn)?，所以，所以得，則，又不恒等于0，所以，即是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，即．（2）由（1）可得，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為11．20．【詳解】（1）記事件“每個AI芯片智能檢測不達(dá)標(biāo)”，則．（2）由題意，令，則，當(dāng)為增函數(shù)；當(dāng)為減函數(shù)；所以在處取到最大值．（3）記事件“人工檢測達(dá)標(biāo)”，則，又，所以，所以需要對生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．21．【解析】（1）根據(jù)雙曲線的對稱性可知，同時(shí)在雙曲線上，而不在雙曲線上．設(shè)雙曲線為則，又，將點(diǎn)代入，可得，雙曲線的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)