浙教版七年級下冊數(shù)學(xué)舉一反三系列 專題4.5 因式分解全章五類必考壓軸題（教師版）

專題4.5因式分解全章五類必考壓軸題【浙教版】必考點1必考點1利用因式分解的結(jié)果求參數(shù)1．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學(xué)?？计谀┰趚3+5x2+7x+kA．2 B．?2 C．6 D．?6【答案】A【分析】根據(jù)因式分解的意義可設(shè)x3+5x2+7x+k=【詳解】解：設(shè)x3∵x+2===x∴m+2=5，n+2m=7，k=2n，解得m=3，n=1，k=2．故選：A．【點睛】本題考查了因式分解的意義，掌握因式分解與整式乘法的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·四川南充·九年級四川省南充高級中學(xué)校考期末）若2x【答案】±7【分析】根據(jù)題意設(shè)多項式可以分解為：（x+ay+c）（2x+by+d），則2c+d=k，根據(jù)cd=6，求出所有符合條件的c、d的值，然后再代入ad+bc=0求出a、b的值，與2a+b=1聯(lián)立求出a、b的值，a、b是整數(shù)則符合，否則不符合，最后把符合條件的值代入k進(jìn)行計算即可．【詳解】解：設(shè)2x即2x2+aby2＋（2a＋b）xy＋（2c＋d)x＋（ad＋bc)y＋cd，∴cd=6，∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)，∴①c=1，d=6時，ad＋bc=6a＋b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=?1或c=6，d=1時，ad＋bc=a＋6b=0,與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=6②c=2，d=3時，ad＋bc=3a＋2b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=2b=?3或c=3，d=2時，ad＋bc=2a＋3b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=3③c=-2，d=-3時，ad＋bc=-3a-2b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=2b=?3或c=-3，d=-2，ad＋bc=-2a-3b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=3④c=-1，d=-6時，ad＋bc=-6a-b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=?1或c=-6，d=-1時，ad＋bc=-a-6b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=6∴c=2，d=3時，c=-2，d=-3時，符合，∴k=2c＋d=2×2＋3=7，k=2c＋d=2×（-2）＋（-3)=-7，∴整數(shù)k的值是7，-7．故答案為：±7．【點睛】本題考查因式分解的意義，設(shè)成兩個多項式的積的形式是解題的關(guān)鍵，要注意6的所有分解結(jié)果，還需要用a、b進(jìn)行驗證，注意不要漏解．3．（2022春·浙江·七年級期末）甲乙兩個同學(xué)分解因式x2+ax+b時，甲看錯了b，分解結(jié)果為（x+2）（x+4），乙看錯了a，分解結(jié)果為（x+1）（x+9），則2a+b＝_____．【答案】21．【分析】根據(jù)題意：分解因式x2+ax+b時，甲看錯了b，但是a正確，分解結(jié)果為（x+2）（x+4），a為6；乙看錯了a，但是b正確，分解結(jié)果為（x+1）（x+9），b為9．代入2a+b即可．【詳解】∵分解因式x2+ax+b時，甲看錯了b，分解結(jié)果為（x+2）（x+4），∴a＝6，乙看錯了a，分解結(jié)果為（x+1）（x+9），∴b＝9，∴2a+b＝12+9＝21．故答案為：21．【點睛】本題考查了因式分解，解決本題的關(guān)鍵是看錯了一個系數(shù)，但是另一個沒看錯．學(xué)生做這類題時往往不能理解．4．（2022秋·四川宜賓·八年級校考期末）若a?3是a2+5【答案】m=?24【分析】設(shè)另一個因式為a+n，則有a2+5a【詳解】解：設(shè)另一個因式為a+則有a2即a2∴n?3=5，m∴n=8，m【點睛】本題考查因式分解、整式的混合運算，熟知因式分解是把多項式轉(zhuǎn)化為幾個整式積的形式是解答的關(guān)鍵．5．（2022秋·河南南陽·八年級南陽市第三中學(xué)?？计谀┮阎獂2+2x+1是多項式【答案】a=?5，b=?3，x+1【分析】由題意可假設(shè)多項式x3?x2+ax+b=(x2+2x+1)(x+m)，則將其展開、合并同類項，并與x3?x2+ax+b式子中x的各次項系數(shù)對應(yīng)相等，依次求出m、b、a的值，那么另外一個因式即可確定．【詳解】解：設(shè)x3則x3所以m+2=?1，2m+1=a，m=b，解得m=?3，a=?5，b=?3．所以x3【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，用待定系數(shù)法來解較好．6．（2022秋·吉林長春·八年級?？计谀?637年笛卡爾（R．Descartes，1596－1650）在其《幾何學(xué)》中，首次應(yīng)用待定系數(shù)法最早給出因式分解定理．關(guān)于笛卡爾的“待定系數(shù)法”原理，舉例說明如下：分解因式：x3解：觀察可知，當(dāng)x=1時，原式=0．∴原式可分解為x?1與另一個整式的積．設(shè)另一個整式為x2+bx+c．則∵x?1x∴x∵等式兩邊x同次冪的系數(shù)相等，則有：b?1=1c?b=3?c=?5，解得∴x3根據(jù)以上材料，理解并運用材料提供的方法，解答以下問題：(1)根據(jù)以上材料的方法，分解因式x3+2x2?3的過程中，觀察可知，當(dāng)x=______時，原式=0，所以原式可分解為______與另一個整式的積．若設(shè)另一個整式為x(2)已知多項式x3+ax+1（a為常數(shù)）有一個因式是x+1，求另一個因式以及下面是小明同學(xué)根據(jù)以上材料方法，解此題的部分過程，請幫小明完成他的解答過程．解：設(shè)另一個因式為x2+bx+c，則……(3)已知二次三項式2x2+3x?k（k為常數(shù)）有一個因式是x+4【答案】(1)1；(x?1)；3；3(2)解題過程見詳解，x(3)(2x?5)；20【分析】（1）根據(jù)材料提示，當(dāng)x=1時，x3+2x（2）多項式x3+ax+1（a為常數(shù)）有一個因式是x+1，設(shè)另一個因式為（3）多項式2x2+3x?k（k為常數(shù)）有一個因式是x+4【詳解】（1）解：當(dāng)x=1時，x3+2x∴原式可分解為(x?1)與另一個整式的積，設(shè)另一個整式為x2∴x3∵(x?1)(x∴x3∴b?1=2c?b=0?c=?3，解得，∴x3故答案為：1；(x?1)；3；3．（2）解：多項式x3+ax+1（a為常數(shù)）有一個因式是x+1，設(shè)另一個因式為x2∵x+1x∴x3∴b+1=0c+b=ac=1，解方程得，∴多項式x3+ax+1（a為常數(shù)）為∴x3+1因式分解為（3）解：多項式2x2+3x?k（k為常數(shù)）有一個因式是x+4∴2x∵(x+4)(mx+n)=mx∴2x∴m=2n+4m=34n=?k，解方程組得，∴多項式2x2+3x?k（k∴2x2+3x?20故答案為：(2x?5)，20．【點睛】本題主要考查因數(shù)分解，掌握整式的混合運算是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·全國·八年級期末）方法探究：已知二次多項式x2?4x?21，我們把x=?3代入多項式，發(fā)現(xiàn)x2?4x?21=0，由此可以推斷多項式中有因式（x＋3）．設(shè)另一個因式為（x＋k），多項式可以表示成x2?4x?21=x+3x+k，則有問題解決：(1)對于二次多項式x2?4，我們把x＝代入該式，會發(fā)現(xiàn)(2)對于三次多項式x3?x2?3x+3，我們把x＝1代入多項式，發(fā)現(xiàn)x3?x2?3x+3=0，由此可以推斷多項式中有因式（(3)對于多項式x3【答案】(1)±2(2)a=0，b=-3；(3)(x?2)【分析】（1）將x=±2代入即可；（2）由題意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系數(shù)關(guān)系求a、b即可；（3）多項式有因式（x-2），設(shè)另一個因式為（x2+ax+b），則x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系數(shù)關(guān)系求a、b即可．【詳解】（1）解：當(dāng)x=±2時，x2-4=0，故答案為：±2；（2）解：由題意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b），∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，∴1-a=1，b=-3，∴a=0，b=-3；（3）解：當(dāng)x=2時，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0，∴多項式有因式（x-2），設(shè)另一個因式為（x2+ax+b），∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b），∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，∴a-2=4，2b=18，∴a=6，b=9，∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2．【點睛】本題考查因式分解的意義，理解“試根法”的本質(zhì)，多項式乘多項式的正確展開是解題的關(guān)鍵．必考點2必考點2利用因式分解進(jìn)行有理數(shù)的簡算1．（2022秋·河北邢臺·八年級統(tǒng)考期末）計算1?122A．512 B．12 C．712【答案】C【分析】原式各括號利用平方差公式變形，約分即可得到結(jié)果．【詳解】原式=1?=1=1=7故選：C．【點睛】本題考查的是平方差公式，掌握運算法則和平方差公式是解題關(guān)鍵．2．（2017秋·山東日照·八年級校聯(lián)考期末）如果259+517A．20 B．30 C．35 D．40【答案】B【分析】兩項的底數(shù)可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化，25寫成5的平方，利用冪的乘方轉(zhuǎn)化后，就可提取公因數(shù)進(jìn)行分解即可解答．【詳解】259∴25故選B．【點睛】本題考查了分解因式在計算中的應(yīng)用，將所給的式子化成積的形式，關(guān)鍵是將兩項的底數(shù)轉(zhuǎn)化成相同的．3．（2022春·浙江杭州·七年級期末）803A．76 B．78 C．79 D．82【答案】C【詳解】分析：先提取公因數(shù)80，再用平方差公式運算.詳解：因為803－80＝80(802－1)＝80(80＋1)(80－1)＝80×81×79，所以803－80能被80，81，79整除.故選C.點睛：本題考查了用提公因式法和平方差公式因式分解，在進(jìn)行實數(shù)的運算時，如果能提取公因式數(shù)，且提取公因數(shù)后能用乘法公式因式分解，則可參照因式分解的方法運算.4．（2022春·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期末）計算：20202【答案】2【分析】把20202分成(2001+19)【詳解】2020====2．故答案為：2．【點睛】本題主要考查了利用因式分解對有理數(shù)進(jìn)行簡便運算，熟練應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵．5．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級校聯(lián)考期末）計算：102【答案】55【分析】運用因式分解得原式=10+910?9【詳解】10=10+9=19+15+11+7+3=55故答案為：55【點睛】考核知識點：因式分解應(yīng)用.利用因式分解將式子進(jìn)行變形是關(guān)鍵.6．（2022秋·江西南昌·八年級期末）計算2019202【答案】403839【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解再計算即可．【詳解】解：201920故答案為：403839．【點睛】本題考查了利用因式分解進(jìn)行簡便運算，解題的關(guān)鍵是掌握利用平方差公式進(jìn)行因式分解．必考點3必考點3利用因式分解探究三角形形狀1．（2022秋·四川內(nèi)江·八年級四川省隆昌市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若a、b、c是△ABC的三邊，且滿足b2+bc?ba?ca=0，a2+ab?cb?ac=0A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)b2+bc?ba?ca=0，a2+ab?cb?ac=0，分別提取公因式即可得到(b+c)(b?a)=0，(a+b)(a?c)=0，再根據(jù)b+c≠0，a+b≠0，得到【詳解】解：∵b2+bc?ba?ca=0∴(b+c)(b?a)=0，(a+b)(a?c)=0，又∵a、b、c是△ABC∴b+c≠0，a+b≠0，∴b?a=0，a?c=0，∴b=a，a=c，∴a=b=c，∴該三角形是等邊三角形，故選：D．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)︻}目提供的式子進(jìn)行因式分解．2．（2022秋·江西·八年級校考階段練習(xí)）先閱讀下面的材料，再解決問題：要把多項式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它的前兩項分成一組，并提出a；把它的后兩項分成一組，并提出b，從而得到am+n+bm+n.這時，由于am+n+bm+n，又有因式m+n，于是可提公因式m+n，從而得到在三角形中，若任意兩條邊的差均為0，則這個三角形是等邊三角形；若只有兩條邊的差為0，則這個三角形是等腰三角形；若有兩條邊的平方和與第三邊的平方的差為0，則這個三角形是直角三角形。請用上面材料中提供的方法解決問題：（1）將多項式ab?ac+b（2）若ΔABC的三邊a、b、c滿足條件：a4?b【答案】（1）（a+b）（b-c）；（2）直角三角形【分析】（1）將前兩項以及后兩項重新分組進(jìn)而分解因式得出答案；（2）利用分組分解法將原式分解進(jìn)而得出答案．【詳解】解：（1）ab-ac+b2-bc=（ab-ac）+（b2-bc）=a（b-c）+b（b-c）=（a+b）（b-c）；（2）由已知，得（a2-b2）（a2+b2）+c2（a2+b2）=0．即（a2+b2）（a2-b2+c2）=0∵a2+b2＞0∴a2-b2+c2=0即

a2+c2=b2∴△ABC是直角三角形．【點睛】本題主要考查了分組分解法分解因式以及勾股定理逆定理，正確分組是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·八年級課時練習(xí)）（1）若a、b、c是三角形的三條邊，求證：a2（2）在△ABC中，三邊分別為a、b、c，且滿足a+b+c=322，a（3）在△ABC中，三邊分別為a、b、c，且滿足a2b?c+【答案】（1）見解析；（2）△ABC是等邊三角形，見解析；（3）△ABC是等腰三角形，見解析【分析】（1）用分組分解法進(jìn)行因式分解，先變形為a2（2）由題意可得a+b+c2=92．結(jié)合a2+b（3）對a2b?c據(jù)此可解．【詳解】解：（1）∵a=∵a、b、c是三角形三邊，∴a+b+c>0且a<b+c．∴a+b+ca?b?c即a2（2）△ABC是等邊三角形，理由如下：∵a+b+c=3∴a+b+c2∴a2又∵a2∴2ab+2bc+2ac=3．∴2ab+2bc+2ac=2a∴2a∴a?b2∵a?b2≥0，b?c2∴a?b=0，b?c=0，a?c=0．∴a=b=c．∴△ABC是等邊三角形．（3）△ABC是等腰三角形，理由如下：a==a=a=b?c=b?c=b?c∵a∴b?ca?b∴b=c或b=a或a=c．∴△ABC是等腰三角形．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，靈活運用提公因式法、公式法、分組分解法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵.4．（2022秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期中）求解下列問題：(1)若x2+2y(2)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b【答案】(1)1(2)等腰三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)完全平方公式因式分解，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出x,y的值，代入計算即可求解；（2）根據(jù)完全平方公式運算法，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a=3,b=4,c=4，即可判斷三角形的形狀【詳解】（1）解：∵∴(x∴(x?y)∵∴x?y=0,y+4=0,∴x=y=?4.

y（2）∵∴(a(a?3)2∵∴a?3=0,b?4=∴a=3,b=4,c=4.∴c=b≠a.∵a、b、c是△ABC的三邊長，∴△ABC是等腰三角形．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，掌握完全平方公式，等腰三角形的定義，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·福建福州·八年級校考期中）若△ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足等式3a【答案】等邊三角形【分析】將已知等式化為a?b2+b?c【詳解】解：∵3a∴3即2即a∴a?b2∴a?b2=0，b?c∴a?b=0，b?c=0，a?c=0，即a=b=c∵△ABC的三邊長分別為a，b，c，∴該三角形是等邊三角形．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，等邊三角形的判定，得出a=b=c是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料，要將多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前兩項分成一組，提出公因式a，再把它的后兩項分成一組，提出公因式b，從而得到：am+an+bm+bn=am+n+bm+n，這時am+n+bm+n中又有公因式m+n，于是可以提出(1)嘗試填空：ac?bc+ab?a(2)解決問題：因式分解2x?18+xy?9y；(3)拓展應(yīng)用：已知三角形的三邊長分別是a，b，c，且滿足a2【答案】(1)a?bc?a(2)2+y(3)△ABC是等邊三角形，理由見解析．【分析】（1）利用分組分解法因式分解即可；（2）利用分組分解法因式分解即可；（3）利用分組分解法因式分解，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)證明a=b=c即可．【詳解】（1）解：ac?bc+ab?=ac?bc?=c=a?b故答案為：a?bc?a（2）2x?18+xy?9y=2=2+y（3）結(jié)論：△ABC是等邊三角形．理由：∵a2∴a2?2ab+∵a?b2≥0，∴a?b=0，c?b=0，∴a=b=c∴△ABC是等邊三角形．【點睛】本題考查了分組分解法，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)范例熟練掌握分組分解．7．（2022春·山東青島·八年級校考期中）數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想．我們常利用數(shù)形結(jié)合思想，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，如：探索整式乘法的一些法則和公式．(1)探究一：將圖1的陰影部分沿虛線剪開后，拼成圖2的形狀，拼圖前后圖形的面積不變，因此可得一個多項式的分解因式____________________．(2)探究二：類似地，我們可以借助一個棱長為a的大正方體進(jìn)行以下探索：在大正方體一角截去一個棱長為b(b<a)的小正方體，如圖3所示，則得到的幾何體的體積為____________；(3)將圖3中的幾何體分割成三個長方體①、②、③，如圖4、圖5所示，∵BC=a，AB=a?b，CF=b，∴長方體①的體積為ab(a?b)．類似地，長方體②的體積為________，長方體③的體積為________；（結(jié)果不需要化簡）(4)用不同的方法表示圖3中幾何體的體積，可以得到的恒等式（將一個多項式因式分解）為______________．(5)問題應(yīng)用：利用上面的結(jié)論，解決問題：已知a-b=6，ab=2，求a3(6)類比以上探究，嘗試因式分解：a3+b【答案】(1)a(2)a(3)b2a?b(4)a(5)252(6)a+b【分析】（1）圖1中陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，圖2中陰影部分的面積等于長為a+b、寬為a?b的長方形的面積，由此即可得；（2）直接利用大正方體的體積減去小正方體的體積即可得出答案；（3）根據(jù)長方體的體積公式即可得；（4）根據(jù)（2）和（3）的結(jié)論可得a3（5）先利用完全平方公式求出a2（6）將a3+b（1）解：圖1中陰影部分的面積為a2圖2中陰影部分的面積為a+ba?b∵拼圖前后圖形的面積不變，∴a∴可得一個多項式的分解因式為a2故答案為：a2（2）解：由題意，得到的幾何體的體積為a3故答案為：a3（3）解：∵EN=b,DE=b,DM=a?b，∴長方體②的體積為b2∵GH=a,FG=a?b,HR=a，∴長方體③的體積為a2故答案為：b2a?b，（4）解：由（2）和（3）得：a3則可以得到的恒等式（將一個多項式因式分解）為a3故答案為：a3（5）解：∵a?b=6,ab=2，∴a∴a（6）解：由（4）可知，a3則a==a+b故答案為：a+ba【點睛】本題考查了平方差公式與圖形面積、利用完全平方公式變形求值、利用提公因式法分解因式等知識點，熟練掌握利用不同的方法表示同一個幾何體的體積得到代數(shù)恒等式是解題關(guān)鍵．8．（2022秋·湖南衡陽·八年級?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：若m2∵根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知一個不等邊三角形的三邊長分別為a、b、c，且a、b、c都是正整數(shù)，并滿足a2（2）已知a、b、c是△ABC的三邊長，且滿足a2+c（3）試探究關(guān)于x、y的代數(shù)式5x【答案】（1）4；（2）等邊三角形；（3）最小值為16，此時x=-3，y=-6．【分析】（1）首先根據(jù)a2+b2?4a?6b+13=0（2）先把原式化為（a-b）2+（b-c）2=0，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a=b=c，那么△ABC是等邊三角形；（3）將原式變形為x+32【詳解】解：（1）a2∴a?22∴a=2，b=3，∴1＜c＜5，∴c=4；（2）a2∴a2∴a2∴a?b2∴a-b=0且b-c=0，即a=b且b=c，∴a=b=c，∴△ABC是等邊三角形；（3）有最小值，5=x=x+3∵x+32≥0，∴原式≥16，此時x=-3，y=-6．【點睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角形的三條邊之間的關(guān)系，等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是明確題目中的材料，可以將問題中方程轉(zhuǎn)化為材料中的形式．9．（2022春·全國·八年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系，點A（a，0），點B（0，b），已知a，b滿足a2+b2+8a+8b+32=0．（1）求點A、B的坐標(biāo)；（2）如圖1，點E為線段OB上一點，連接AE，過點A作AF⊥AE，且AF=AE，連接BF交x軸于點D，若點F的坐標(biāo)為（-2，c），求c的值及OE的長；（3）在（2）的條件下，如圖2，過點E作EG⊥AB于點G，過點B作BC//x軸交EG的延長線于點C，連接OC、AC，試判斷△AOC的形狀，并說明理由．【答案】（1）A?4,0、B0,?4；（2）c=4，OE的長為2；（3）【分析】（1）把a2+b2+8a+8b+32=0（2）如詳解圖：過點F作FM⊥AO于M，利用角度的等量代換可得∠MFA=∠OAE，∠AMF=∠AOE=90°，從而可證△AMF≌△EOA，可得AM=OE,OA=MF，進(jìn)而可得答案；（3）根據(jù)點A、B的坐標(biāo)，求出直線AB的解析式為：y=?x?4，再利用EG⊥AB，設(shè)CE所在直線的解析式為：y=x+b，根據(jù)E點坐標(biāo)可求CE所在直線的解析式為：y=x?2，根據(jù)點B、C縱坐標(biāo)相同，即可求出點C坐標(biāo)，利用兩點間距離公式即可分別求出AC、OC、AO的長即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵a2∴a+42∴a+4=0,b+4=0，∴a=b=?4，∴A?4,0（2）如圖：過點F作FM⊥AO于M，∵AF⊥AE,∴∠FAE=90°,∴∠OAE+∠FAO=90°,∵FM⊥AO，∴∠FMA=∠AOE=90°，∴∠AFM+∠FAO=90°，∴∠AFM=∠OAE，∴在△AMF和△AOE中∠FMA=∠AOE∴△AMF≌△EOA，∴AM=EO,FM=AO=4，∴c=4∵點F的橫坐標(biāo)為：?2，點A的橫坐標(biāo)為：?4∴AM=OE=?2∴OE的長為2，（3）設(shè)AB所在直線的解析式為：y=kx+b，將點A?4,0?4k+b=0b=?4解得k=?1b=?4∴直線AB的解析式為：y=?x?4，設(shè)CE所在直線的解析式為：y=x+m，將E0,?2代入可得，?2=0+m，解得：m=?2∴CE所在直線的解析式為：y=x?2，∵BC//x∴C點的縱坐標(biāo)為?4，將y=?4，代入y=x?2得：x=?2，∴C點坐標(biāo)為?2,?4，∴OCACOA∴OC=AC∴△AOC是以C為頂點的等腰三角形．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，以及配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題關(guān)鍵．必考點4必考點4利用拆項或添項進(jìn)行因式分解1．閱讀材料：我們把多項式a2+2ab+b2及a2?2ab+b2叫做完全平方式．如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式的最大值，最小值等．例分解因式：x2+2x?3=x2+2x+1?4=(x+1)根據(jù)閱讀材料，利用“配方法”，解決下列問題：(1)分解因式：a2(2)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2?4a+b(3)當(dāng)x、y為何值時，多項式?x【答案】(1)(a+1)(a?5)(2)5(3)x=y=3時，最大值為16．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料，先將a2?4a?5變形為a2（2）根據(jù)配方法得出兩個完全平方式，再根據(jù)兩個非負(fù)數(shù)的和為0時，每一部分為0可得a，b的值，最后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，可得c的取值范圍和最小值；（3）根據(jù)題目中的例子，先將所求式子配方，再根據(jù)完全平方式的非負(fù)性即可得到當(dāng)x、y為何值時，所求式子取得最大值，并求出這個最大值；【詳解】（1）解：原式=a=a?2=a?2=(a+1)(a?5)；故答案為：(a+1)(a?5)（2）∵a∴a∴(a?2)∴a?2=0b?6=0解得：∵a、b、c是△ABC的三邊長，∴4<c<8，又∵c是整數(shù)，c=5,6,7；∴邊長c的最小值是5；（3）?=?=?(x?y)∵(x?y)2≥0∴?(x?y)∴當(dāng)x?y=0y?3=0時,即x=y=3時，?【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題時要注意配方法的步驟．注意在變形的過程中不要改變式子的值．2．閱讀理解：因式分解有多種方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，還有分組分解法，拆項法，配方法等．一般情況下，我們需要綜合運用多種方法才能解決問題．例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步驟：解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6第1步：拆項法，將﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分組分解法，通過添括號進(jìn)行分組；＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整體）；＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后結(jié)果分解徹底．（1）請你試一試分解因式x3﹣7x+6．（2）請你試一試在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式x4﹣5x2+6．【答案】（1）（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；（2）x+【分析】（1）將﹣7x拆分為﹣x﹣6x，分組后分別提公因式，可得出答案；（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．【詳解】（1）x3﹣7x+6＝x3﹣x﹣6x+6＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x﹣6）＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；（2）x4﹣5x2+6＝（x2﹣2）（x2﹣3）＝（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）．【點睛】本題主要考查學(xué)生因式分解的知識及學(xué)以致用的能力，掌握因式分解結(jié)合題意并靈活運用是解題的關(guān)鍵．3．我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法、十字相乘法等等．①分組分解法：將一個多項式適當(dāng)分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫作分組分解法．例如：x2②拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫作拆項法．例如：x③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三項式的分解因式．分解步驟：1．分解二次項，所得結(jié)果分別寫在十字十字交叉線的左上角和左下角；2．分解常數(shù)項，所得結(jié)果分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項；4．觀察得出原二次三項式的兩個因式，并表示出分解結(jié)果．這種分解方法叫作十字相乘法．觀察得出：兩個因式分別為(x+7)與(x?1)例如：x分析：解：原式=(x+7)(x?1)（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）4②（拆項法）x③x2（2）已知：a、b、c為△ABC的三條邊，a2+b【答案】（1）①(2x+y+1)(2x?y+1)，②(x?4)(x?2)，③(x?2)(x?3)；（2）7【分析】（1）①將原式化為(4x2+4x+1)?（2）先利用完全平方公式對等式a2+b2+c2【詳解】解：（1）①4=(4==(2x+y+1)(2x?y+1)；②x===(x?3?1)(x?3+1)=(x?4)(x?2)；③x2故答案為：(x?2)(x?3)；（2）∵a2∴(a∴(a?2)2∴a=2，b=2，c=3，∴a+b+c=2+2+3=7．∴△ABC的周長為7．【點睛】本題考查因式分解的方法及其在幾何圖形問題中的應(yīng)用，讀懂題中的分解方法并熟練掌握整式乘法公式是解題的關(guān)鍵．4．閱讀下列分解因式的過程：x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-4a2=(x+a+2a)(x+a-2a)(x+3a)(x-a)．像上面這樣通過加減項配出完全平方式后再把二次三項式分解因式的方法，叫做配方法，請你用配方法將下面的多項式因式分解：（1）m2-4mn+3n2；（2）x2-4x-12．【答案】（1）（m-n）（m-3n）；（2）（x+2）（x-6）．【分析】（1）、（2）分別利用閱讀材料中的配方法分解即可．【詳解】解：（1）m2-4mn+3n2=m2-4mn+4n2-4n2+3n2=m2-4mn+4n2-n2=（m-2n）2-n2=（m-2n+n）（m-2n-n）=（m-n）（m-3n）；（2）x2-4x-12=x2-4x+4-4-12=（x-2）2-42=（x-2+4）（x-2-4）=（x+2）（x-6）．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用．要運用配方法，只要二次項系數(shù)為1，只需加上一次項系數(shù)一半的平方即可配成完全平方公式．5．閱讀以下文字并解決問題：對于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項式，我們可以直接用公式法把它分解成x+a2的形式，但對于二次三項式x2+6x?27，就不能直接用公式法分解了。此時，我們可以在x2+6x?27（1）利用“配方法”因式分解：x2（2）若a+b=6，ab=5，求：①a2+b（3）如果a2+2b【答案】（1）（x+5y）（x-y）；（2）①26，②626；（3）8【分析】（1）原式變形后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可；（2）利用完全平方公式變形，代入計算即可；（3）已知等式左邊配方后，利用完全平方公式變形，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b，c的值，代入原式計算即可求出值．【詳解】解：（1）原式=x2+4xy+4y2-9y2=（x+2y）2-（3y）2=（x+5y）（x-y）；（2）①a2+b2=（a+b）2-2ab=36-10=26，②a4+b4=（a2+b2）2-2a2b2=626；（3）∵a2+2b2+c2-2ab-6b-4c+13=0．∴a2+b2-2ab+b2-6b+9+c2-4c+4=0∴（a-b）2+（b-3）2+（c-2）2=0，可得a=b=3，c=2，則原式=3+3+2=8．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次冪，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．6．閱讀理解：添項法是代數(shù)變形中非常重要的一種方法，在整式運算和因式分解中使用添項法往往會起到意想不到的作用，例如：例1：計算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)解：原式＝12(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332＝12(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332＝12(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332……＝3例2：因式分解：x4+x2+1解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2＝(x2+1)2﹣x2＝(x2+1+x)(x2+1﹣x)根據(jù)材料解決下列問題：(1)計算：(1+1(2)小明在作業(yè)中遇到了這樣一個問題，計算(14+4)(54①分解因式：x4+4；②計算：(1【答案】(1)21024?121023；(2)①(x2+2x+2)(x【分析】(1)配成平方差公式只要在前面乘以2×(1﹣12(2)①根據(jù)配方法在原式的基礎(chǔ)上(+4x2﹣4x2)，轉(zhuǎn)化為完全平方公式，再利用拆項法配方，最后化為兩個因式的積，②根據(jù)x4+4的分解結(jié)果，分別求出當(dāng)x＝1，x＝3，x＝5，x＝7，x＝9，x＝11……所對應(yīng)的x4+4個結(jié)果，從而得到一個規(guī)律，再代入求值即可.【詳解】解：(1)原式＝2×(1﹣12)×＝2×(1﹣12＝21024(2)①x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝(x2+2)2﹣(2x)2＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)，②∵x4+4＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)∴x4+4＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)＝[(x+1)2+1]?[(x﹣1)2+1]原式＝(02【點睛】考查因式分解，平方差公式、完全平方公式等知識，掌握公式，通過因式分解的變形，找出存在的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵.7．我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等．①分組分解法：例如：x2②拆項法：例如：x2仿照以上方法分解因式：(1)4x(2)x2【答案】(1)2x+1+y(2)x?2【分析】（1）采用分組法，結(jié)合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）將原式先變形為x2【詳解】（1）解：4=4==2x+1+y（2）解：x====x?2【點睛】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是理解分組分解法，熟練掌握平方差公式，完全平方公式．8．閱讀下面的材料：分解因式有一種很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的關(guān)鍵是“拆兩頭，湊中間”，例如，分解因式4x2+3xy?y2，方法如下：拆兩頭，4x2拆為4x?x，?(1)解方程：4(2)已知x2?xy?12y【答案】(1)x1=(2)xy的值為4或【分析】（1）先用十字相乘法分解因式，然后解方程即可；（2）先將原方程變?yōu)閤?4yx+3y=0，得出x=4y或x=?3y，求出xy【詳解】（1）解：4x因式分解得：4x?1x?1∴4x?1=0或x?1=0，解得：x1=1（2）解：x2因式分解得：x?4yx+3y∴x?4y=0或x+3y=0，即x=4y或x=?3y，∵xy≠0，∴x≠0，y≠0，當(dāng)x=4y時，xy當(dāng)x=?3y時，xy綜上分析可知，xy的值為4或?3【點睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握十字相乘法．必考點5必考點5因式分解的應(yīng)用1．王林是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：x?1，a?b，3，x2+1，a，x+1分別對應(yīng)六個字：南，愛，我，數(shù)，學(xué)，河，現(xiàn)將3axA．我愛數(shù)學(xué) B．愛河南 C．河南數(shù)學(xué) D．我愛河南【答案】D【分析】先把代數(shù)式分解因式，再對照密碼手冊求解．【詳解】解：3ax所以，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是：我愛河南故選：D．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，分解因式是解題的關(guān)鍵．2．已知a、b、c是一個三角形的三邊，則a4+bA．恒正 B．恒負(fù) C．可正可負(fù) D．非負(fù)【答案】B【分析】根據(jù)完全平方公式以及平方差公式將代數(shù)式因式分解即可求解．【詳解】解：a=====∵a,b,c是一個三角形的三邊，∴a+b?c>0,a+b+c>0,a?b+c>0,a?b?c<0，∴原式<0故選：B．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，掌握完全平方公式，平方差公式是解題的關(guān)鍵．3．一個正整數(shù)等于兩個不相等的正整數(shù)的和與這兩個不相等的正整數(shù)的積之和，稱這個整數(shù)為“可拆分”整數(shù)，反之則稱“不可拆分”整數(shù)．例如，11=1+5+1×5，11是一個“可拆分”整數(shù)．下列說法：①最小的“可拆分”整數(shù)是5；②一個“可拆分”整數(shù)的拆分方式可以不只有一種；③最大的“不可拆分”的兩位整數(shù)是96．其中正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)定義分別判斷即可．【詳解】解：∵5=1+2+1×2，且1，2是最小的正整數(shù)，故①正確；設(shè)整數(shù)m=a+b+ab則m+1=a+b+ab+1=當(dāng)m+1不是質(zhì)數(shù)時，拆分方式不止一種，如：11=1+5+1×5=2+3+2×3，故②正確；當(dāng)m=96時，m+1=97，97是一個質(zhì)數(shù)，故不能拆解為a+1b+1故96為“不可拆分”整數(shù)．而97=1+48+1×48，為“可拆分”整數(shù)，98=2+32+2×32，為“可拆分”整數(shù)，99=1+49+1×49，為“可拆分”整數(shù)，故最大的“不可拆