專題04 二項式定理與楊輝三角題型全歸納（19種題型）-學霸滿分·2023-2024學年高二數(shù)學上學期重難點專題提優(yōu)訓練（人教B版2019選擇性必修第二冊）（原卷版）

專題04二項式定理與楊輝三角題型全歸納（19種題型）目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】求二項展開式 1【題型二】二項展開式的應用 3【題型三】二項展開式的特定項 5【題型四】多項式與二項式乘積 8【題型五】求指定項的二項式系數(shù) 9【題型六】二項式系數(shù)的增減及最值 11【題型七】二項式系數(shù)和 13【題型八】特定項的系數(shù) 16【題型九】有理項 18【題型十】根據(jù)已知條件求未知參數(shù) 20【題型十一】二項展開式各項的系數(shù)和 24【題型十二】項的系數(shù)的最大（?。┲?27【題型十三】奇次項與偶次項的系數(shù)和 29【題型十四】三項式 33【題型十五】兩個二項式乘積 35【題型十六】整除和余數(shù)問題 36【題型十七】近似計算問題 39【題型十八】證明組合恒等式 41【題型十九】楊輝三角及組合數(shù)性質(zhì) 45【題型一】求二項展開式1．.2．若（，為有理數(shù)），則等于．3．用二項式定理展開下列各式：(1)；(2)．4．求的二項展開式．【題型二】二項展開式的應用5．數(shù)學家波利亞說：“為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立相等關系”這就是算兩次原理，又稱為富比尼原理．由等式利用算兩次原理可得．(用組合數(shù)表示即可)6．如果，則.7．關于二項式的展開式，下列結(jié)論正確的是（

）A．展開式所有項的系數(shù)和為 B．展開式二項式系數(shù)和為C．展開式中第5項為 D．展開式中不含常數(shù)項8．化簡：．9．若，則.【題型三】二項展開式的特定項10．二項式的展開式中的常數(shù)項為.11．的展開式的第8項的系數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表示）.12．已知，且，若的展開式中存在常數(shù)項，則展開式中的系數(shù)為.13．下列關于的展開式的說法中正確的是（

）A．常數(shù)項為－160B．第4項的系數(shù)最大C．第4項的二項式系數(shù)最大D．所有項的系數(shù)和為114．求的展開式中第3項的系數(shù)和二項式系數(shù)．【題型四】多項式與二項式乘積15．的展開式中，的系數(shù)為（

）A．200 B．40 C．120 D．8016．在的展開式中，各項系數(shù)的和為1，則（

）A． B．展開式中的常數(shù)項為C．展開式中的系數(shù)為160 D．展開式中無理項的系數(shù)之和為17．已知實數(shù)不為零，則的展開式中項的系數(shù)為.【題型五】求指定項的二項式系數(shù)18．若展開式的二項式系數(shù)和為64，則展開式中第三項的二項式系數(shù)為.19．在的展開式中，第3項的二項式系數(shù)是第2項的二項式系數(shù)的4倍.(1)求n的值.(2)求的展開式中的常數(shù)項.(3)求展開式中所有系數(shù)的和.【題型六】二項式系數(shù)的增減及最值20．已知的展開式中第7項和第8項的二項式系數(shù)相等，求展開式中系數(shù)最大的項及二項式系數(shù)最大的項．21．（1）若，求的值；（2）在的展開式中，①求二項式系數(shù)最大的項；②系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項？【題型七】二項式系數(shù)和22．在的展開式中，二項式系數(shù)的和是16，則展開式中項的系數(shù)（

）A．15 B．54 C．12 D．-5423．已知的展開式中的所有二項式系數(shù)之和為32．(1)求的值；(2)求展開式中的系數(shù)．24．已知在的展開式中，前項的系數(shù)分別為，，，且滿足．(1)求展開式中各項的二項式系數(shù)的和；(2)求展開式中系數(shù)最大的項；(3)求展開式中所有有理項．【題型八】特定項的系數(shù)25．的展開式中的系數(shù)為（

）A．55 B． C．65 D．26．若的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的項為.27．的展開式中的系數(shù)為．28．已知．若，則．29．的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【題型九】有理項30．在二項式的展開式中，系數(shù)為無理數(shù)的項的個數(shù)是個.31．已知的展開式中共有項，則有理項共項．（用數(shù)字表示）32．在的展開式中，第4項的系數(shù)與倒數(shù)第4項的系數(shù)之比為.(1)求的值；(2)求展開式中所有的有理項.【題型十】根據(jù)已知條件求未知參數(shù)33．已知二項式的展開式中僅有第項的二項式系數(shù)最大，則為（

）A． B． C． D．34．若的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為16，則的展開式中的常數(shù)項為（

）A．6 B．8 C．28 D．5635．已知的展開式中，的系數(shù)為80，則（

）A． B． C． D．236．若，則的展開式中的系數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．37．已知二項式的展開式中的常數(shù)項為15，則.38．已知的展開式中的系數(shù)為，則．39．在的二項式展開式中的系數(shù)為160，則．40．已知的展開式中的系數(shù)為，則實數(shù)．【題型十一】二項展開式各項的系數(shù)和41．多項式的項系數(shù)比項系數(shù)多35，則其各項系數(shù)之和為（

）A．1 B．243 C．64 D．042．設，若，則實數(shù)m可能是（

）A．3 B．9 C．10 D．1143．已知，若，則T被6除所得的余數(shù)為.44．若，則.45．已知的展開式中所有項的系數(shù)之和為32，則展開式中的常數(shù)項為.46．已知，求下列各式的值：(1)；(2)；(3).【題型十二】項的系數(shù)的最大（?。┲?7．的展開式中，系數(shù)最小的項是（

）A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項48．的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則的展開式中系數(shù)最大的項的系數(shù)為.49．在的展開式中，求：(1)二項式系數(shù)最大的項；(2)系數(shù)絕對值最大的項；(3)系數(shù)最大的項．【題型十三】奇次項與偶次項的系數(shù)和50．已知的展開式中的系數(shù)為25，則展開式中的偶次方的系數(shù)和為（

）A．16 B．32 C．24 D．4851．已知，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．52．已知，則（

）A．B．C．展開式系數(shù)中最大D．53．記，則．54．已知，求的值．55．設，則，.（均用數(shù)字作答）【題型十四】三項式56．的展開式共（

）A．10項 B．15項 C．20項 D．21項57．的展開式中的常數(shù)項為（

）A． B．50 C． D．6158．的展開式中的常數(shù)項為（

）A．588 B．589 C．798 D．79959．在的展開式中，的系數(shù)是（

）A．24 B．32 C．36 D．4060．在的展開式中，的系數(shù)為.61．展開式中，項的系數(shù)為.【題型十五】兩個二項式乘積62．在的展開式中，的系數(shù)為．63．的展開式中的系數(shù)是．（用數(shù)字填寫答案）【題型十六】整除和余數(shù)問題64．設，且，若能被13整除，則等于（

）A．0 B．1 C．11 D．1265．若的展開式中第4項是常數(shù)項，則除以9的余數(shù)為．66．二項式展開式的各項系數(shù)之和被7除所得余數(shù)為．67．用二項式定理證明可以被整除．68．用二項式定理證明能被8整除．【題型十七】近似計算問題69．把實數(shù)寫成十進制小數(shù)，則a的十分位、百分位和千分位上的數(shù)字之和等于（

）A．0 B．9 C．27 D．前三個答案都不對70．二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓提出.二項式定理可以推廣到任意實數(shù)次冪，即廣義二項式定理：對于任意實數(shù)，當比較小的時候，取廣義二項式定理展開式的前兩項可得：，并且的值越小，所得結(jié)果就越接近真實數(shù)據(jù).用這個方法計算的近似值，可以這樣操作：.用這樣的方法，估計的近似值約為（

）A．2.922 B．2.926 C．2.928 D．2.93071．用二項式定理估算.（精確到0.001）72．已知m，n是正整數(shù)，的展開式中x的系數(shù)為7.(1)對于使的x2的系數(shù)為最小的m，n，求出此時x3的系數(shù);(2)利用上述結(jié)果，求f(0.003)的近似值.（精確到0.01）【題型十八】證明組合恒等式73．求證：.74．證明：．75．證明：．76．已知函數(shù)，其中．(1)若，，求的最大值；(2)若，求證：．【題型十九】楊輝三角及組合數(shù)性質(zhì)77．我國南宋數(shù)學家楊輝在年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學史上的一個偉大成就.該表蘊含著許多的數(shù)學規(guī)律，下列結(jié)論正確的是（

）第0行

1第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1第6行1

6

15

20

15

6

1……

……A．B．，，，C．從左往右逐行數(shù)，第項在第行第個D．第行到第行的所有數(shù)字之和為78．為引導游客領略傳統(tǒng)數(shù)學研究的精彩并傳播中國傳統(tǒng)文化，某景點推出了“解數(shù)學題獲取名勝古跡入場碼”的活動.活動規(guī)則如下：如圖所示，將楊輝三角第行第個數(shù)記為，并從左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行的斜線，記第條斜線上所有數(shù)字之和為，入場碼由兩段數(shù)字組成，前段的數(shù)字是的值，后段的數(shù)字是的值，則（

）

A． B．C． D．該景點入場碼為79．將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成，得到如圖所示的分數(shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形.萊布尼茨三角形具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，如從第0行開始每一個數(shù)均等于其“腳下”兩個數(shù)之和，如果（n為正整數(shù)），那么下面關于萊布尼茨