16.1 二次根式 2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級下冊

人教版數(shù)學(xué)八年級下冊第16章二次根式16.1二次根式第1課時(shí)二次根式的概念一、引入概念二次根式整式、分式字母表示數(shù)數(shù)式通性

運(yùn)算數(shù)與字母運(yùn)算定義加/減乘除乘方開方單項(xiàng)式多項(xiàng)式整式

一般地,如果A,B表示兩個(gè)整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式（fraction）.分式定義

運(yùn)算數(shù)與字母運(yùn)算定義加/減乘除乘方開方單項(xiàng)式多項(xiàng)式整式？分式（分母含字母）

電視塔越高,從塔頂發(fā)射出的電磁波傳播得越遠(yuǎn),從而能收看到電視節(jié)目的區(qū)域就越廣.電視塔高h(yuǎn)（單位:km）與電視節(jié)目信號的傳播半徑r（單位:km）之間存在近似關(guān)系r＝其中R是地球半徑,R≈6400km.實(shí)際應(yīng)用

汽車剎車時(shí)的速度v與汽車剎車后滑行的距離S之間存在關(guān)系.其中,g是常數(shù)9.8,μ是摩擦系數(shù).

在解決交通肇事問題時(shí),可以通過測量剎車后車輪滑過的距離計(jì)算車輛行駛的速度.實(shí)際應(yīng)用

愛因斯坦的相對論家喻戶曉.它是關(guān)于時(shí)空和引力的理論.根據(jù)愛因斯坦的相對論,地球上的1秒鐘,宇宙飛船內(nèi)只經(jīng)過秒.其中,v是宇宙飛船的速度,

c是光速(約每秒30萬千米).實(shí)際應(yīng)用一元二次方程的

求根公式:直角三角形的斜邊abc數(shù)學(xué)應(yīng)用二、抽象概念算術(shù)平方根：

一般地,如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0.被開方數(shù)二次根號一般地,我們把形如

的式子叫做二次根式.二次根式：①含有二次根號.②a可以是數(shù),也可以是含字母的式子.注意：想一想

在二次根式的定義中,為什么要求“a≥0”？“數(shù)式通性”：負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根.若a是常數(shù),則a為非負(fù)數(shù)；

若a是式子,則式子的值是非負(fù)的.反過來：當(dāng)a>0時(shí),

0；當(dāng)a=0時(shí),

0.=想一想二次根式的雙重非負(fù)性：歸納如5,它們都是用基本運(yùn)算符號(基本運(yùn)算包括加、減、

乘、除、乘方和開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子,我們稱這樣的式子為代數(shù)式.(1)下列式子一定是二次根式的是(

).（A）

（B）

（C）

（D）例1根據(jù)二次根式定義進(jìn)行判斷C(2)當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí),下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？例1根據(jù)二次根式定義進(jìn)行判斷解：解：例1根據(jù)二次根式定義進(jìn)行判斷解：解：(2)當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí),下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？例1根據(jù)二次根式定義進(jìn)行判斷解：解：(2)當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí),下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？例1根據(jù)二次根式定義進(jìn)行判斷解：解：(2)當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí),下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？總結(jié)：求使代數(shù)式有意義的字母取值范圍的條件：1.二次根式型：

被開方數(shù)≥0；2.分式型：

分母0；3.

零指數(shù)冪型：

底數(shù)0；4.復(fù)合型：各部分取值范圍的公共部分.例2

二次根式雙重非負(fù)性的應(yīng)用（1）當(dāng)x取何值時(shí),

的值最小,

最小值是多少？≥00解：的值最小.即當(dāng)

時(shí),

的值最小,最小值是3.,當(dāng)

時(shí),例2

二次根式雙重非負(fù)性的應(yīng)用（2）若

,

則a+b?c=

.分析：0+0=0≥0≥0≥00+0+0=0

a=?2,

b=3

,c=?4.

a+b?c=5.5總結(jié)：二次根式的雙重非負(fù)性

1.二次根式的最小值為0；2.常見的具有非負(fù)性的式子有：若

,則a=b=c=0.

(1)若

是正整數(shù),

則n的最大整數(shù)值是

.例3

二次根式雙重非負(fù)性的應(yīng)用n取最大整數(shù)

完全平方數(shù)正整數(shù)10-n是非0的最小的完全平方數(shù)分析：910-n=1(2)已知a滿足,

則

.例3

二次根式雙重非負(fù)性的應(yīng)用例3

二次根式雙重非負(fù)性的應(yīng)用分析：(2)已知a滿足,

則

.例3

二次根式雙重非負(fù)性的應(yīng)用2021分析：例4

二次根式雙重非負(fù)性的應(yīng)用已知：a與b為等腰三角形的兩邊長,且滿足等式求這個(gè)等腰三角形的周長.分析：(舍)例4

二次根式雙重非負(fù)性的應(yīng)用解：由題意可得解得a

,b為等腰三角形的兩邊長,2+2=4(舍),等腰三角形周長為4+4+2=10.三邊為2,2,4或4,4,2.提升練習(xí)1.下列式子中是二次根式的有(

).①；②；③④⑤

.(m＞2)；；④

⑤提升練習(xí)x不可以取3的是(

).(A)只有① (B)只有② (C)①和② (D)①和③C2.在下列式子：①,②(x－3)0,③中,歸納小結(jié)1.二次根式的定義形如

（a≥0）的式子叫做二次根式.2.二次根式的性質(zhì)（1）雙重非負(fù)性：.作業(yè)1.當(dāng)a是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí),下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？2.當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí),下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？3.(1)已知

是整數(shù),求自然數(shù)n所有可能的值;(2)已知

是整數(shù),求正整數(shù)n的最小值.人教版數(shù)學(xué)八年級下冊第16章二次根式16.1二次根式第2課時(shí)二次根式的性質(zhì)復(fù)習(xí)回顧1.二次根式的定義形如

（a≥0）的式子叫做二次根式.2.二次根式的性質(zhì)（1）雙重非負(fù)性：.乘方

開方互逆乘

除互逆加

減互逆猜想：規(guī)律探究猜想2:猜想1:01驗(yàn)證猜想：算術(shù)平方根的定義：如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即x2=a,

那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.0的算術(shù)平方根是0.是4的算術(shù)平方根,因此它的平方等于4,即

;4驗(yàn)證猜想1：420是4的算術(shù)平方根,因此它的平方等于4

,即

;是2的算術(shù)平方根,因此它的平方等于2

,即

;

是

的算術(shù)平方根,因此它的平方等于

,即

;是0的算術(shù)平方根,因此它的平方等于0,即

.驗(yàn)證猜想1：是a的算術(shù)平方根,因此它的平方等于a,即420驗(yàn)證猜想1：是4的算術(shù)平方根,因此它的平方等于4

,即

;…1.雙重非負(fù)性：2.二次根式性質(zhì)：驗(yàn)證猜想：猜想2:猜想1:驗(yàn)證猜想：猜想2:二次根式性質(zhì)2:20.10是一個(gè)非負(fù)數(shù),它的平方等于所以是一個(gè)非負(fù)數(shù),它的平方等于所以是一個(gè)非負(fù)數(shù),它的平方等于

所以是一個(gè)非負(fù)數(shù),它的平方等于,所以驗(yàn)證猜想2：20.10是一個(gè)非負(fù)數(shù),它的平方等于驗(yàn)證猜想2：是一個(gè)非負(fù)數(shù),它的平方等于所以驗(yàn)證猜想2：不成立.反例：是一個(gè)非負(fù)數(shù),它的平方等于所以20.120.10是一個(gè)非負(fù)數(shù),它的平方等于驗(yàn)證猜想2：是一個(gè)非負(fù)數(shù),它的平方等于所以20.10驗(yàn)證猜想2：是一個(gè)非負(fù)數(shù),它的平方等于所以20.10是一個(gè)非負(fù)數(shù),它的平方等于驗(yàn)證猜想2：是一個(gè)非負(fù)數(shù),它的平方等于所以20.10是一個(gè)非負(fù)數(shù),它的平方等于,所以驗(yàn)證猜想2：是一個(gè)非負(fù)數(shù),它的平方等于所以20.10驗(yàn)證猜想2：是一個(gè)非負(fù)數(shù),它的平方等于所以1.雙重非負(fù)性：2.3.二次根式性質(zhì)：驗(yàn)證猜想：二次根式性質(zhì)2:二次根式性質(zhì)3:性質(zhì)含義a的取值

運(yùn)算結(jié)果a為任意實(shí)數(shù)一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對值一個(gè)非負(fù)數(shù)算術(shù)平方根的平方等于它本身運(yùn)用性質(zhì)例1

運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算（1）運(yùn)用

進(jìn)行計(jì)算.運(yùn)用性質(zhì)（2）例1

運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算運(yùn)用

進(jìn)行計(jì)算.運(yùn)用性質(zhì)（2）例1

運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算運(yùn)用

進(jìn)行計(jì)算.運(yùn)用性質(zhì)若,則a的取值范圍是（）.

（B）（C）（D）（A）D法1：法2：例1

運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算（3）運(yùn)用性質(zhì)（1）判斷下列等式是否成立：例2

性質(zhì)運(yùn)用的辨析運(yùn)用性質(zhì)（2）對于題目：化簡并求值：其中

.乙的解答如下：甲的解答如下：例2

性質(zhì)運(yùn)用的辨析乙的解答：甲的解答：逆用性質(zhì)逆用性質(zhì)任意一個(gè)非負(fù)數(shù)都能寫成平方的形式.一個(gè)非負(fù)數(shù)算術(shù)平方根的平方等于它本身.逆用性質(zhì)任意一個(gè)非負(fù)數(shù)都能化成二次根式的形式.一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對值.任意一個(gè)非負(fù)數(shù)都能化成平方的形式.任意一個(gè)非負(fù)數(shù)都能化成二次根式的