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朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁南京財經(jīng)大學(xué)2008年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試(初試)試卷考試科目：818高等代數(shù)適用專業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué)考試時光：2008年1月20日下午2:00-5:00注重事項：所有答案必須寫在答題紙上，做在試卷或草稿紙上無效.(15分)設(shè)為兩個非0多項式,證實存在正整數(shù)N,使對隨意大于N的兩個正整數(shù)n,m,都有 2.(15分)計算階行列式.(20分)設(shè)為A中劃去第i列剩下的方陣的行列式.(1)證實為的一個解.(2)若秩則的所有解向量均為C的線性組合.(20分)證實：(1)對任何實矩陣當且僅當(2)設(shè)為同階實對稱矩陣,則當且僅當5.(20分)證實：(1)若A為正定矩陣,則存在正定矩陣P,使得(2)若矩陣A,B同階,且A正定,B半正定,則AB的特征值均為非負實數(shù).6.(20分)設(shè)X為數(shù)域P上線性空間V的一個子集,稱V在X上自由,若對P上任一線性空間W,及任一映射,均存在線性映射使f在X上的限制此時也稱V是自由的.(f是線性映射指:f是V到W的一個映射,且保持向量加法及數(shù)量乘法運算).證實:(1)P上任一n維向量空間是自由的.(2)對無窮維線性空間上述結(jié)論是否成立?若成立,給出證實;若否,給出反例.7.(20分)設(shè)為數(shù)域P上n維線性空間V的一個線性變換,均為P上的多項式,且記證實U和W均為-不變子空間.若g(x)與h(x)互素,則8.(20分)設(shè)V為數(shù)域P上的n維線性空間,求證:(1)V的所有線性變換構(gòu)成的線性空間L(V)是維的.(2)若AL(V),則存在次數(shù)不超過的P上的多項式使(3)A可逆當且僅當有一常數(shù)項不為0的多項式使(要求:

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