第7章 平面圖形的認識(二)-平行線中的常見模型 蘇科版七年級數(shù)學下冊專題練習(含答案)

七年級下冊平面圖形的認識（二）：專題：平行線中的常見四大模型專題：平行線中的常見模型模型一：“豬蹄”模型（也稱“M”模型）模型一“豬蹄”模型（M模型）點P在EF左側，在AB、CD內部“豬蹄”模型結論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP+∠CFP；結論2：若∠P=∠AEP+∠CFP，則AB∥CD.典型例題例1：如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．35° D．5°例2：如圖，AD∥CE，∠ABC＝95°，則∠2﹣∠1的度數(shù)是（）A．105° B．95° C．85° D．75°例3：如圖，直線a∥b，射線DF與直線a相交于點C，過點D作DE⊥b于點E，已知∠1＝25°，求∠2的度數(shù)．☆模型拓展：M疊M型例4：如圖，AB∥CD，∠E＝35°，∠F＝∠G＝30°，則∠A+∠C的度數(shù)為．例5：如圖，AB∥CD，∠E＝120°，∠F＝90°，∠A+∠C的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．45°例6：如圖，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度數(shù)為．例7：如圖，直線l1∥l2，點∠α、∠β夾在兩平行線之間．（1）若∠α＝∠β，∠1＝40°，求∠2的度數(shù)；（2）直接寫出∠1、∠2、∠α、∠β之間的數(shù)量關系，不用說明理由．☆模型拓展：M套M型例8：（1）如圖1，已知AB∥CD，若∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，求證：∠AFC=∠AEC；（2）如圖2，若AB∥CD，∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，求證：∠AFC=∠AEC；（3）若AB∥CD，∠EAF=∠EAB，∠ECF∠ECD，則∠AFC與∠AEC的數(shù)量關系是（用含有n的代數(shù)式表示，不證明）．例9：如圖①，已知AB∥CD，CE、BE的交點為E，現(xiàn)作如下操作：第1次操作，分別作∠ABE和∠DCE的平分線，交點為E1，第2次操作，分別作∠ABE1和∠DCE1的平分線，交點為E2，第3次操作，分別作∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點為E3，…，第n次操作，分別作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分線，交點為En．（1）如圖①，求證：∠BEC＝∠ABE+∠DCE；（2）如圖②，求證：∠BE1C＝∠BEC；（3）從圖①開始進行上述的n次操作，若∠BEnC＝α°，求∠BEC的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y論）．模型二：“鉛筆”模型（也稱“U”型模型）模型二：“鉛筆”模型（“U”型）點P在EF右側，在AB、CD內部“鉛筆”模型結論1：若AB∥CD，則∠P+∠AEP+∠PFC=360°；結論2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，則AB∥CD.典型例題例1：一大門欄桿的平面示意圖如圖所示，BA垂直地面AE于點A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝135°，則∠ABC＝度．例2：如圖，直線l1∥l2，若∠1＝35°，則∠2+∠3＝．例3：如圖，已知AB∥CD，E為AB，CD之間一點，連接BE，DE．（1）猜想∠BED時，∠B，∠D的數(shù)量關系，并證明；（2）作∠ABE，∠CDE的角平分線BF，DF交于點F．①依題意補全圖形；②直接用等式表示∠BFD與∠BED的數(shù)量關系．例4：如圖，已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE的平分線相交于點F．（1）如圖1，若∠E＝70°，求∠BFD的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，寫出∠M和∠E之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．例5：實驗證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射的光線為n．（1）當m∥n時，若∠1＝50°，則∠2＝，∠3＝；（2）當m∥n時，若∠1＝x°（0＜x＜90），則∠3＝；（3）根據(jù)（1）（2）結果，反過來猜想：當兩平面鏡a，b的夾角∠3為多少度時，m∥n．請說明理由（可以在圖中添加適當?shù)慕嵌葮擞涍M行說明）例6：如圖，AB∥CD，點E為兩直線之間的一點．（1）如圖1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，則∠AEC＝；（2）如圖2，試說明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；（3）①如圖3，若∠BAE的平分線與∠DCE的平分線相交于點F，判斷∠AEC與∠AFC的數(shù)量關系，并說明理由；②如圖4，若設∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，請直接用含m、n的代數(shù)式表示∠F的度數(shù)．模型三：“抬頭”模型（也稱“靴子”或稱“臭腳”模型）模型三“抬頭”模型（“靴子”模型）點P在EF右側，在AB、CD外部“靴子”模型結論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；結論2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，則AB∥CD.典型例題例1：如圖，AB//CD，∠P=40°，∠D=100°，則∠ABP的度數(shù)是.例2：已知，AB∥CD.(1)如圖1，求證:∠A-∠C=∠E;(2)如圖2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∠F=105°，求∠A的度數(shù). 例3：已知直線∥，點A，B在直線上(B在A左側)，點C在直線b上，E點在直線b下方，連接AE交直線b于點D.(1)如圖1，若∠BAD=110°，∠DCE=45°，求∠DEC的度數(shù);(2)如圖2，∠BAD的鄰補角的角平分線與∠DEC的角平分線所在的直線交于點M，試探究∠AME與∠ECD之間的數(shù)量關系，并說明理由.例4：已知AB∥CD．（1）如圖1，求證：∠EAB＝∠C+∠E；（2）如圖2，點F在∠AEC內且在AB、CD之間，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，請猜想∠F與∠EAB的數(shù)量關系并證明；（3）如圖3，點M在AB上，點N在CD上，點E是AB上方一點，點G在AB、CD之間，連接EM、EN，GM的延長線MF平分∠AME，NE平分∠CNG，若2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度數(shù)．:模型四：“骨折”模型（也稱“X射線”模型）模型四“骨折”模型點P在EF左側，在AB、CD外部“骨折”模型結論1：若AB∥CD，則∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；結論2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，則AB∥CD.例1：如圖，AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝110°，則∠C的度數(shù)為．例2：如圖，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，則∠α＝（）A．70° B．75° C．80° D．85°例3：已知：如圖，AB∥CD．（1）若∠1＝∠2，試判斷∠E與∠F的大小關系，并說明你的理由．（2）猜想∠1、∠2、∠E、∠F之間存在怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．例4：（1）（問題）如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度數(shù)；（2）（問題遷移）如圖2，AB∥CD，點P在AB的上方，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關系？請說明理由；（3）（聯(lián)想拓展）如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，用含有α的式子表示∠G的度數(shù)．例5：已知AB∥MN．（1）如圖1，求證：∠N+∠E＝∠B；（2）若F為直線MN、AB之間的一點，∠E＝∠EFB，BG平分∠ABF交MN于點G，EF交MN于點C．①如圖2，若∠N＝57°，且BG∥EN，求∠E的度數(shù)；②如圖3，若點K在射線BG上，且滿足∠KNM＝∠ENM，若∠NKB＝∠EFB，∠E＝∠FBD，直接寫出∠E的度數(shù)．參考答案專題四：平行線中的常見模型模型一：“豬蹄”模型（也稱“M”模型）模型一“豬蹄”模型（M模型）點P在EF左側，在AB、CD內部“豬蹄”模型結論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP+∠CFP；結論2：若∠P=∠AEP+∠CFP，則AB∥CD.典型例題例1：如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（B）A．70° B．65° C．35° D．5°解析：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故選：B．例2：如圖，AD∥CE，∠ABC＝95°，則∠2﹣∠1的度數(shù)是（C）A．105° B．95° C．85° D．75°解析：如圖，作BF∥AD，∵AD∥CE，∴AD∥BF∥EC，∴∠1＝∠3，∠4+∠2＝180°，∠3+∠4＝95°，∴∠1+∠4＝95°，∠2+∠4＝180°，∴∠2﹣∠1＝85°．故選：C．例3：如圖，直線a∥b，射線DF與直線a相交于點C，過點D作DE⊥b于點E，已知∠1＝25°，求∠2的度數(shù)．解析：過點D作DG∥b，∵a∥b，且DE⊥b，∴DG∥a，∴∠1＝∠CDG＝25°，∠GDE＝∠3＝90°∴∠2＝∠CDG+∠GDE＝25°+90°＝115°．☆模型拓展：M疊M型例4：如圖，AB∥CD，∠E＝35°，∠F＝∠G＝30°，則∠A+∠C的度數(shù)為35°．解析：如圖所示，延長AE，CG，交于點H，過H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴PH∥CD，∴∠A＝∠AHP，∠C＝∠CHP，∴∠A+∠C＝∠AHC，∵∠F＝∠CGF＝30°，∴EF∥CH，∴∠AHC＝∠AEF＝35°，∴∠A+∠C＝35°，故答案為：35°．例5：如圖，AB∥CD，∠E＝120°，∠F＝90°，∠A+∠C的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．45°解析：分別過E，F(xiàn)作GE∥AB，F(xiàn)H∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GE∥FH∥CD，∴∠1＝∠A，∠2＝∠C，∠GEF+∠HFE＝180°，∵∠E＝120°，∠F＝90°，∴∠1+∠GEF+∠HFE+∠2＝210°，∴∠1+∠2＝210°﹣180°＝30°，即∠A+∠C＝30°，故選：A．例6：如圖，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度數(shù)為360°．解析：如圖所示，延長AE，DG交于點Q，由題可得，∠A+∠D＝∠Q，∠B+∠H+∠C＝360°，又∵∠Q＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，∴∠A+∠D＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，即∠F＝∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D），又∵∠AEF+∠DGF＝∠H，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠F＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D）＝∠B+∠C+∠H＝360°，故答案為：360°．例7：如圖，直線l1∥l2，點∠α、∠β夾在兩平行線之間．（1）若∠α＝∠β，∠1＝40°，求∠2的度數(shù)；（2）直接寫出∠1、∠2、∠α、∠β之間的數(shù)量關系，不用說明理由．解析：（1）如圖，延長AE交直線l2于點E，∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°，∵∠α＝∠β，∴AB∥CD，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣40°＝140°．（2）∠1+∠2+∠β﹣○α＝180°．理由：∵l1∥l2，∴∠3＝∠1．∵∠BED＝180°﹣∠α，∴∠3+∠2+∠β+180°﹣α＝360°，即∠1+∠2+∠β﹣∠α＝180°．☆模型拓展：M套M型例8：（1）如圖1，已知AB∥CD，若∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，求證：∠AFC=∠AEC；（2）如圖2，若AB∥CD，∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，求證：∠AFC=∠AEC；（3）若AB∥CD，∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，則∠AFC與∠AEC的數(shù)量關系是（用含有n的代數(shù)式表示，不證明）．解：（1）如圖1，連接AC，設∠EAF＝x°，∠ECF＝y(tǒng)°，∠EAB＝2x°，∠ECD＝2y°，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠CAE+2x°+∠ACE+2y°＝180°，∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（2x°+2y°），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（x°+y°），∴∠AEC＝180°﹣（∠CAE+∠ACE）＝180°﹣[180°﹣（2x°+2y°）]＝2x°+2y°，＝2（x°+y°），∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣[180°﹣（x°+y°）]＝x°+y°，∴∠AFC=∠AEC；（2）如圖2，連接AC，設∠EAF＝x°，∠ECF＝y(tǒng)°，∠EAB＝3x°，∠ECD＝3y°，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠CAE+3x°+∠ACE+3y°＝180°，∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（3x°+3y°），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（2x°+2y°），∴∠AEC＝180°﹣（∠CAE+∠ACE）＝180°﹣[180°﹣（3x°+3y°）]＝3x°+3y°＝3（x°+y°），∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣[180°﹣（2x°+2y°）]＝2x°+2y°＝2（x°+y°），∴∠AFC=∠AEC；（3）若∠AFC=∠EAB，∠ECF=∠ECD，則∠AFC與∠AEC的數(shù)量關系是：∠AFC=∠AEC．故答案為：∠AFC=∠AEC．例9：如圖①，已知AB∥CD，CE、BE的交點為E，現(xiàn)作如下操作：第1次操作，分別作∠ABE和∠DCE的平分線，交點為E1，第2次操作，分別作∠ABE1和∠DCE1的平分線，交點為E2，第3次操作，分別作∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點為E3，…，第n次操作，分別作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分線，交點為En．（1）如圖①，求證：∠BEC＝∠ABE+∠DCE；（2）如圖②，求證：∠BE1C＝∠BEC；（3）從圖①開始進行上述的n次操作，若∠BEnC＝α°，求∠BEC的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y論）．【解答】解：（1）如圖①，過E作EF∥AB．∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B＝∠1，∠C＝∠2．∵∠BEC＝∠1+∠2，∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；（2）如圖2．∵∠ABE和∠DCE的平分線交點為E1，∴由（1）可得，∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC；（3）如圖2．∵∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點為E3，∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝∠ABE2+∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC；…以此類推，∠En＝∠BEC，∴當∠En＝α度時，∠BEC＝2nα°模型二：“鉛筆”模型（也稱“U”型模型）模型二：“鉛筆”模型（“U”型）點P在EF右側，在AB、CD內部“鉛筆”模型結論1：若AB∥CD，則∠P+∠AEP+∠PFC=360°；結論2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，則AB∥CD.典型例題例1：一大門欄桿的平面示意圖如圖所示，BA垂直地面AE于點A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝135°，則∠ABC＝135度．【解析】解：如圖，過點B作BF∥CD，∵CD∥AE，∴CD∥BF∥AE，∴∠1+∠BCD＝180°，∠2+∠BAE＝180°，∵∠BCD＝135°，∠BAE＝90°，∴∠1＝45°，∠2＝90°，∴∠ABC＝∠1+∠2＝135°．故答案為：135．例2：如圖，直線l1∥l2，若∠1＝35°，則∠2+∠3＝215°．【解析】解：過點E作EF∥11，∵11∥12，EF∥11，∴EF∥11∥12，∴∠1＝∠AEF＝35°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝35°+180°＝215°．故答案為：215°．例3：如圖，已知AB∥CD，E為AB，CD之間一點，連接BE，DE．（1）猜想∠BED時，∠B，∠D的數(shù)量關系，并證明；（2）作∠ABE，∠CDE的角平分線BF，DF交于點F．①依題意補全圖形；②直接用等式表示∠BFD與∠BED的數(shù)量關系．【解析】（1）∠B+∠BED+∠D＝360°．證明：過點E作EG∥AB．∴∠B+∠BEG＝180°．∵AB∥CD，EG∥AB，∴EG∥CD，∴∠DEG+∠D＝180°，∴∠B+∠BEG+∠DEG+∠D＝180°+180°．即∠B+∠BED+∠D＝360°；（2）解：①如圖所示：②由（1）得∠ABC+∠BED+∠CDE＝360°，∵∠ABE，∠CDE的角平分線BF，DF交于點F，∴∠ABC＝2∠FBE，∠CDE＝2∠FDE，∴2∠FBE+∠BED+2∠CDE＝360°，即∠FBE+∠BED+∠CDE＝180°，∵∠BFD+∠FBE+∠BED+∠CDE＝360°，∴∠BFD=180°－∠BED例4：如圖，已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE的平分線相交于點F．（1）如圖1，若∠E＝70°，求∠BFD的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，寫出∠M和∠E之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．【解析】解：（1）如圖1，過點E作EN∥AB，∵EN∥AB，∴∠ABE+∠BEN＝180°，∵AB∥CD，AB∥NE，∴NE∥CD，∴∠CDE+∠NED＝180°，∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝70°，∴∠ABE+∠CDE＝290°，∵∠ABE與∠CDE的平分線相交于點F，∴∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝145°，過點F作FG∥AB，∵FG∥AB，∴∠ABF＝∠BFG，∵AB∥CD，F(xiàn)G∥AB，∴FG∥CD，∴∠CDF＝∠GFD，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝145°；（2）結論：∠E+6∠M＝360°，證明：∵設∠ABM＝x，∠CDM＝y(tǒng)，則∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，由（1）得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴6x+6y+∠E＝360°，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，∴∠M＝x+y，∴∠E+6∠M＝360°．例5：實驗證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射的光線為n．（1）當m∥n時，若∠1＝50°，則∠2＝100°，∠3＝90°；（2）當m∥n時，若∠1＝x°（0＜x＜90），則∠3＝90°；（3）根據(jù)（1）（2）結果，反過來猜想：當兩平面鏡a，b的夾角∠3為多少度時，m∥n．請說明理由（可以在圖中添加適當?shù)慕嵌葮擞涍M行說明）【解析】解：（1）∵m∥n，∴∠4+∠2＝180°，∵∠5＝∠1＝50°，∴∠4＝80°，∴∠2＝100°，∴∠6＝∠7＝40°，∴∠3＝180°﹣∠5﹣∠6＝90°，故答案為：100°；90°；（2）∵m∥n，∴∠4+∠2＝180°，∵∠5＝∠1＝x°，∴∠4＝180°﹣2x°，∴∠2＝2x°，∴∠6＝∠7＝90°﹣x°，∴∠3＝180°﹣∠5﹣∠6＝180°﹣x°﹣90°+x°＝90°，故答案為：90°；（3）根據(jù)（1）、（2）猜想：當兩平面鏡a、b的夾角∠3是90°時，總有m∥n，證明：∵∠3＝90°，∴∠5+∠6＝90°，∴∠1+∠7＝90°，∴∠1+∠5+∠6+∠7＝180°，又∵∠1+∠4+∠5+∠2+∠6+∠7＝360°，∴∠4+∠2＝180°，∴m∥n．例6：如圖，AB∥CD，點E為兩直線之間的一點．（1）如圖1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，則∠AEC＝55°；（2）如圖2，試說明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；（3）①如圖3，若∠BAE的平分線與∠DCE的平分線相交于點F，判斷∠AEC與∠AFC的數(shù)量關系，并說明理由；②如圖4，若設∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，請直接用含m、n的代數(shù)式表示∠F的度數(shù)．【解析】解：如圖所示，過點E作EF∥AB，∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2，∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°，故答案為55°．（2）如圖所示，過點E作EG∥AB，∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG，∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．（3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：由（1）可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，∴2∠AFC+∠AEC＝360°．②由①知∠F+∠FAE+∠E+∠FCE＝360°，∵∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F，∴∠F＝（∠FAE+∠FCE），∴∠FAE+∠FCE＝n∠F，∴∠F+∠E+n∠F＝360°，∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m，∴∠F＝．模型三：“抬頭”模型（也稱“靴子”或稱“臭腳”模型）模型三“抬頭”模型（“靴子”模型）點P在EF右側，在AB、CD外部“靴子”模型結論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；結論2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，則AB∥CD.典型例題例1：如圖，AB//CD，∠P=40°，∠D=100°，則∠ABP的度數(shù)是140°.【解析】過點P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴PM∥AB∥CD，∴∠MPB=∠ABP，∠D=∠DPM=100°，∴∠MPB=∠BPD+∠DPM=40°+100°=140°，∴∠ABP=∠MPB=140°.例2：已知，AB∥CD.(1)如圖1，求證:∠A-∠C=∠E;(2)如圖2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∠F=105°，求∠A的度數(shù). 【解析】（1）證明:過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠FEA=∠EAB，∠FEC=∠C，∴∠AEC=∠FEA-∠FEC=∠EAB-∠C，即∠A-∠C=∠E.（2）解:過點E作EG∥FC，∵EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，設∠AEF=∠CEF=，∠ECF=∠FCD=，∵EG∥FC，∴∠CEG=∠ECF=，∠FEG+∠F=180°.∵∠F=105°，∴∠FEG=180°-∠F=75°，∴∠CEG+∠CEF=75°，即+=75°,∴2x+2y=150°.由(1)知，∠A=∠AEC+∠ECD=2x+2y=150°.例3：已知直線∥，點A，B在直線上(B在A左側)，點C在直線b上，E點在直線b下方，連接AE交直線b于點D.(1)如圖1，若∠BAD=110°，∠DCE=45°，求∠DEC的度數(shù);(2)如圖2，∠BAD的鄰補角的角平分線與∠DEC的角平分線所在的直線交于點M，試探究∠AME與∠ECD之間的數(shù)量關系，并說明理由.例4：已知AB∥CD．（1）如圖1，求證：∠EAB＝∠C+∠E；（2）如圖2，點F在∠AEC內且在AB、CD之間，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，請猜想∠F與∠EAB的數(shù)量關系并證明；（3）如圖3，點M在AB上，點N在CD上，點E是AB上方一點，點G在AB、CD之間，連接EM、EN，GM的延長線MF平分∠AME，NE平分∠CNG，若2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度數(shù)．:【解析】（1）過點E作EF∥DC，∵BA∥DC，∴EF∥DC∥AB，∴∠AEF=∠BAE=110°，∠CEF=∠DCE=45°.∴∠DEC=∠AEF-∠CEF=110°-45°=65°.（2）過點M作MF∥BA，過點E作EG∥CD，設∠BAE=，∠ECD=，∵BA∥CD，∴MF∥AB∥CD∥EG.∴∠BAE=∠AEG=，∠DCE=∠CEG=，∴∠DEC=-.∵EM平分∠DEC，AM平分∠BAD的鄰補角，∴∠MEC=，∠1==，∵MF∥AB，∴∠AMF=∠1=，∠MEG=∠CEG+∠MEC=，∵MF∥EG，∴∠FME=∠MEG=，∴∠AME=∠AMF+∠FME=，∴∠AME=.模型四：“骨折”模型（也稱“X射線”模型）模型四“骨折”模型點P在EF左側，在AB、CD外部“骨折”模型結論1：若AB∥CD，則∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；結論2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，則AB∥CD.例1：如圖，AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝110°，則∠C的度數(shù)為70°．解析：∵AB∥CD，∴∠A+∠AFD＝180°，∵∠A＝110°，∴∠AFD＝70°，∴∠CFE＝∠AFD＝70°，∵∠E＝40°，∠C+∠E+∠CFE＝180°，∴∠C＝180°﹣∠E﹣∠CFE＝180°﹣40°﹣70°＝70°，故答案為：70°．例2：如圖，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，則∠α＝（D）A．70° B．75° C．80° D．85°【解析】解：如圖，作EF∥AB，∵AB∥EF，AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠B+∠BEF＝180°，∠C＝∠CEF，∵∠ABE＝125°，∠C＝30°，∴∠BEF＝55°，∠CEF＝30°，∴∠BEC＝55°+30°＝85°．故選：D．例3：已知：如圖，AB∥CD．（1）若∠1＝∠2，試判斷∠E與∠F的大小關系，并說明你的理由．（2）猜想∠1、∠2、∠E、∠F之間存在怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．【解答】解：（1）∠E＝∠F，理由如下：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∵∠1＝∠2，∴∠EBC＝∠FCB，∴BE∥CF，∴∠E＝∠F；（2）∠1+∠F＝∠BEF+∠2，理由如下：如圖，延長BE交DC的延長線于點M，在四邊形EMCF中，∠FEM+∠EMC+∠MCF+∠F＝360°，∵∠FEM＝180°﹣∠BEF，∠MCF＝180°﹣∠2，∴∠180°﹣∠BEF+∠EMC+180°﹣∠2+∠F＝360°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠EMC，∴∠180°﹣∠BEF+∠1+180°﹣∠2+∠F＝360°，∴∠1+∠F＝∠BEF+∠2例4：（1）（問題）如圖1