異方差完整版本

第二部分經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：放寬基本假定的模型1基本假定違背：不滿足基本假定的情況。

主要包括：（1）隨機(jī)誤差項(xiàng)序列存在異方差性；（2）隨機(jī)誤差項(xiàng)序列存在序列相關(guān)性；（3）解釋變量之間存在多重共線性；（4）解釋變量是隨機(jī)變量且與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)（隨機(jī)解釋變量）；（5）模型設(shè)定有偏誤。

計(jì)量經(jīng)濟(jì)檢驗(yàn)：對模型基本假定的檢驗(yàn)23第五章:異方差

異方差的概念和產(chǎn)生原因產(chǎn)生異方差的后果異方差的偵察方法異方差性的修正案例本章主要內(nèi)容4對于模型如果出現(xiàn)即對于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差不再是常數(shù)，而互不相同，則認(rèn)為出現(xiàn)了異方差性(Heteroskedasticity)。

§5.1異方差的概念56

一、異方差的類型異方差的類型異方差一般可歸結(jié)為三種類型：

(1)單調(diào)遞增型：

i2隨X的增大而增大

(2)單調(diào)遞減型：

i2隨X的增大而減小

(3)復(fù)雜型：

i2與X的變化呈復(fù)雜形式78

二、實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題中的異方差性

例5.1.1：截面資料下研究居民家庭的儲(chǔ)蓄行為

Yi=

0+

1Xi+

iYi:第i個(gè)家庭的儲(chǔ)蓄額Xi:第i個(gè)家庭的可支配收入

高收入家庭：儲(chǔ)蓄的差異較大低收入家庭：儲(chǔ)蓄則更有規(guī)律性，差異較小

i的方差呈現(xiàn)單調(diào)遞增型變化研究表明，異方差問題多存在于截面數(shù)據(jù)中。910(A)(B)密度儲(chǔ)蓄Y收入X密度儲(chǔ)蓄Y收入X異方差的圖形表示

例5.1.2，以絕對收入假設(shè)為理論假設(shè)、以截面數(shù)據(jù)為樣本建立居民消費(fèi)函數(shù)：

Ci=

0+

1Yi+

I將居民按照收入等距離分成n組，取組平均數(shù)為樣本觀測值。

一般情況下，居民收入服從正態(tài)分布：中等收入組人數(shù)多，兩端收入組人數(shù)少。而人數(shù)多的組平均數(shù)的誤差小，人數(shù)少的組平均數(shù)的誤差大。

所以樣本觀測值的觀測誤差隨著解釋變量觀測值的不同而不同，往往引起異方差性。11

例5.1.3，以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型

Yi=Ai1

Ki2

Li3ei

被解釋變量：產(chǎn)出量Y

解釋變量：資本K、勞動(dòng)L、技術(shù)A，

那么：每個(gè)企業(yè)所處的外部環(huán)境對產(chǎn)出量的影響被包含在隨機(jī)誤差項(xiàng)中。每個(gè)企業(yè)所處的外部環(huán)境對產(chǎn)出量的影響程度不同，造成了隨機(jī)誤差項(xiàng)的異方差性。這時(shí)，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差并不隨某一個(gè)解釋變量觀測值的變化而呈規(guī)律性變化，呈現(xiàn)復(fù)雜型。12三、異方差的原因1、截面數(shù)據(jù)中，隨著自變量的增加，應(yīng)變量的變異就越大。2、模型中遺漏了某些重要的解釋變量，從而造成了異方差。3、異常觀測值的出現(xiàn)。如波動(dòng)、不確定性與經(jīng)濟(jì)規(guī)模的比例關(guān)系——賺錢越多，消費(fèi)的選擇余地越大。13三、異方差的原因4、異常值的出現(xiàn)。5、某個(gè)解釋變量或多個(gè)解釋變量的偏態(tài)分布。6、不正確的數(shù)據(jù)變形或者函數(shù)形式的錯(cuò)誤選擇。1415§5.2出現(xiàn)異方差的后果異方差性的后果

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型一旦出現(xiàn)異方差性，如果仍采用OLS估計(jì)模型參數(shù)，會(huì)產(chǎn)生下列不良后果：

1、參數(shù)估計(jì)量非有效OLS估計(jì)量仍然具有無偏性，但不具有有效性，方差會(huì)變大。（即使在大樣本的情況系也是如此）。

也不是真實(shí)方差的無偏估計(jì)。16

2、變量的顯著性檢驗(yàn)失去意義

變量的顯著性檢驗(yàn)中，構(gòu)造了t統(tǒng)計(jì)量

其他檢驗(yàn)也是如此。17

3、模型的預(yù)測失效

一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)；

所以，當(dāng)模型出現(xiàn)異方差性時(shí)，參數(shù)OLS估計(jì)值的變異程度增大，從而造成對Y的預(yù)測誤差變大，降低預(yù)測精度，預(yù)測功能失效。18

§5.3異方差的偵察方法檢驗(yàn)思路：

由于異方差性就是相對于不同的解釋變量觀測值，隨機(jī)誤差項(xiàng)具有不同的方差。那么：檢驗(yàn)異方差性，也就是檢驗(yàn)隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差與解釋變量觀測值之間的相關(guān)性及其相關(guān)的“形式”。19幾種異方差的檢驗(yàn)方法：一、非正式的方法（圖示法）1、用X-Y的散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷看是否存在明顯的散點(diǎn)擴(kuò)大、縮小或復(fù)雜型趨勢（即不在一個(gè)固定的帶型域中）2021異方差的偵察方法2、圖解法：......................二、正式方法1.帕克(Park)檢驗(yàn)

選擇關(guān)于變量X的不同的函數(shù)形式，對方程進(jìn)行估計(jì)并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在異方差性。帕克檢驗(yàn)常用的函數(shù)形式：

若在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，表明存在異方差性。2223242、格萊澤（Glejser)檢驗(yàn)

實(shí)質(zhì)同帕克檢驗(yàn)，只是采用

對解釋變量做回歸，而且采取的回歸函數(shù)形式不同。25格萊澤檢驗(yàn)異方差的格萊澤檢驗(yàn)26帕克檢驗(yàn)和格萊澤檢驗(yàn)的困難

需要選擇不同的解釋變量，嘗試各種不同的函數(shù)形式，進(jìn)行多次反復(fù)試驗(yàn)；在進(jìn)行試驗(yàn)的回歸模型中，其隨即干擾項(xiàng)本身就可能不滿足OLS的經(jīng)典假設(shè)。

3、戈德菲爾德-匡特(Goldfeld-Quandt)檢驗(yàn)

G-Q檢驗(yàn)以F檢驗(yàn)為基礎(chǔ)，適用于樣本容量較大、異方差遞增或遞減的情況。G-Q檢驗(yàn)的思想：

先將樣本一分為二，對子樣①和子樣②分別作回歸，然后利用兩個(gè)子樣的殘差平方和之比構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行異方差檢驗(yàn)。由于該統(tǒng)計(jì)量服從F分布，因此假如存在遞增的異方差，則F遠(yuǎn)大于1；反之就會(huì)等于1（同方差）、或小于1（遞減方差）。27

G-Q檢驗(yàn)的步驟：①將n對樣本觀察值(Xi,Yi)按觀察值Xi的大小排隊(duì)②將序列中間的c=n/4個(gè)觀察值除去，并將剩下的觀察值劃分為較小與較大的相同的兩個(gè)子樣本，每個(gè)子樣樣本容量均為(n-c)/2③對每個(gè)子樣分別進(jìn)行OLS回歸，并計(jì)算各自的殘差平方和28

④在同方差性假定下，構(gòu)造如下滿足F分布的

統(tǒng)計(jì)量

⑤給定顯著性水平

，確定臨界值F

(v1,v2)，若F>F

(v1,v2)，則拒絕同方差性假設(shè)，表明存在異方差。當(dāng)然，還可根據(jù)兩個(gè)殘差平方和對應(yīng)的子樣的順序判斷是遞增型異方差還是遞減異型方差。29

4、懷特（White）檢驗(yàn)

懷特檢驗(yàn)不需要排序，且適合任何形式的異方差

懷特檢驗(yàn)的基本思想與步驟（以二元為例）：然后做如下輔助回歸

可以證明，在同方差假設(shè)下：(*)R2為(*)的可決系數(shù)，h為(*)式解釋變量的個(gè)數(shù)，表示漸近服從某分布。30注意：

輔助回歸仍是檢驗(yàn)與解釋變量可能組合的顯著性，因此，輔助回歸方程中還可引入解釋變量的更高次方。如果存在異方差性，則表明殘差確與解釋變量的某種組合有顯著的相關(guān)性，這時(shí)往往顯示出有較高的可決系數(shù)以及某一參數(shù)的t檢驗(yàn)值較大。當(dāng)然，在多元回歸中，由于輔助回歸方程中可能有太多解釋變量，從而使自由度減少，有時(shí)可去掉交叉項(xiàng)。31

5、斯皮爾曼（Spearman）等級(jí)相關(guān)檢驗(yàn)步驟1：用OLS方法估計(jì)，求出殘差步驟2：取殘差的絕對值

，然后將

和Xi按遞增或遞減的順序排序步驟3：對于每個(gè)觀測值，取兩列間的差，記為d步驟4：然后計(jì)算斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)32

5、斯皮爾曼（Spearman）等級(jí)相關(guān)檢驗(yàn)步驟5：假定總體等級(jí)相關(guān)系數(shù)

為零，且n>8，則~t(n-2)如果

〉則拒絕原假設(shè):真實(shí)總體秩相關(guān)系數(shù)為零，即認(rèn)為

和Xi相關(guān)，表明存在異方差。33§5.4異方差的修正

模型檢驗(yàn)出存在異方差性，可用加權(quán)最小二乘法（WeightedLeastSquares,WLS）進(jìn)行估計(jì)。

加權(quán)最小二乘法的基本思想：

加權(quán)最小二乘法是對原模型加權(quán)，使之變成一個(gè)新的不存在異方差性的模型，然后采用OLS估計(jì)其參數(shù)。

在采用OLS方法時(shí):

對較小的殘差平方ei2賦予較大的權(quán)數(shù)，對較大的殘差平方ei2賦予較小的權(quán)數(shù)。3435§5.4異方差的修正3637

38二、當(dāng)未知3940.....0.....X0...X

圖1方差正比于X2圖2方差正比于

X注意：

在實(shí)際操作中人們通常采用如下的經(jīng)驗(yàn)方法：

不對原模型進(jìn)行異方差性檢驗(yàn)，而是直接選擇加權(quán)最小二乘法，尤其是采用截面數(shù)據(jù)作樣本時(shí)。

如果確實(shí)存在異方差，則被有效地消除了；如果不存在異方差性，則加權(quán)最小二乘法等價(jià)于普通最小二乘法41案例--中國農(nóng)村居民人均消費(fèi)函數(shù)

例5.4.1中國農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出主要由人均純收入來決定。農(nóng)村人均純收入包括(1)從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營的收入，(2)包括從事其他產(chǎn)業(yè)的經(jīng)營性收入(3)工資性收入、(4)財(cái)產(chǎn)收入(4)轉(zhuǎn)移支付收入。考察從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營的收入(X1)和其他收入(X2)對中國農(nóng)村居民消費(fèi)支出(Y)增長的影響:4243普通最小二乘法的估計(jì)結(jié)果：

異方差檢驗(yàn)44進(jìn)一步的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

(1)G-Q檢驗(yàn)

將原始數(shù)據(jù)按X2排成升序，去掉中間的7個(gè)數(shù)據(jù)，得兩個(gè)容量為12的子樣本。對兩個(gè)子樣本分別作OLS回歸，求各自的殘差平方和RSS1和RSS2：

子樣本1：(3.18)(4.13)(0.94)R2=0.7068，RSS1=0.0648子樣本2：(0.43)(0.73)(6.53)R2=0.8339，RSS2=0.272945計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量：

F=RSS2/RSS1=0.2792/0.0648=4.31

查表給定

=5%，查得臨界值F0.05(9,9)=2.97判斷

F>F0.05(9,9)

否定兩組子樣方差相同的假設(shè)，從而該總體隨機(jī)項(xiàng)存在遞增異方差性。46（2）懷特檢驗(yàn)

作輔助回歸:

（-0.04）(0.10)(0.21)(-0.12)(1.47)(-1.11) R2=0.4638似乎沒有哪個(gè)參數(shù)的t檢驗(yàn)是顯著的。但

nR2

=31*0.4638=14.38=5%下，臨界值

20.05(5)=11.07，拒絕同方差性

47去掉交叉項(xiàng)后的輔助回歸結(jié)果

(1.36)(-0.64)(064)(-2.76)