理論力學(xué)復(fù)習(xí)綱要

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁《理論力學(xué)》復(fù)習(xí)指南第一部分靜力學(xué)第1章．靜力學(xué)基本概念和物體的受力分析1．靜力學(xué)基本概念力是物體間互相的機(jī)械作用，這種作用使物體運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化或使物體產(chǎn)生變形。前者稱為力的運(yùn)動效應(yīng)，后者稱為力的變形效應(yīng)。力對物體的作用決定力的三要素：大小、方向、作用點(diǎn)。力是一定位矢量。剛體是在力作用下不變形的物體，它是實際物體抽象化的力學(xué)模型。等效若兩力系對物體的作用效應(yīng)相同，稱兩力系等效。用一容易力系等效地替代一復(fù)雜力系稱為力系的簡化或合成。2．靜力學(xué)基本公理力的平行四邊形法則給出了力系簡化的一個基本主意，是力的合成法則,也是一個力分解成兩個力的分解法則。二力平衡公理是最容易的力系平衡條件。加減平衡力系公理是研究力系等效變換的主要根據(jù)。作用與反作用定律概括了物體間互相作用的關(guān)系。剛化公理給出了變形體可看作剛體的條件。3.約束類型及其約束力限制非自由體位移的周圍物體稱為約束。工程中常見的幾種約束類型及其約束力光潔接觸面約束約束力作用在接觸點(diǎn)處，方向沿接觸面公法線并指向受力物體。柔索約束約束力沿柔索而背離物體。鉸鏈約束約束力在垂直銷釘軸線的平面內(nèi)，并通過銷釘中央。約束力的方向不能預(yù)先決定，常以兩個正交分量Fx和Fy表示。滾動支座約束約束力垂直滾動平面，通過銷釘中央。球鉸約束約束力通過球心，但方向不能預(yù)先決定，常用三個正交分量Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z表示。止推軸承約束約束力有三個分量Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z。4.受力分析對研究對象舉行受力分析、畫受力圖時，應(yīng)先解除約束、取分離體，并畫出分離體所受的所有已知載荷及約束力。畫受力圖的要點(diǎn)（1）熟知各種常見約束的性質(zhì)及其約束力的特點(diǎn)。（2）判斷二力構(gòu)件及三力構(gòu)件，并按照二力平衡條件及三力平衡條件決定約束力的方向。（3）熟練、準(zhǔn)確表出作使勁與反作使勁。受力分析三步曲：分離物體、畫主動力、畫約束力（約束個數(shù)、約束類型、用約束力代替約束）第2、3章．平面力系1.力矩力矩是度量力對物體轉(zhuǎn)動效果的物理量。平面問題中力F對O點(diǎn)之矩記為MO(F)=Fh平面問題中力矩是代數(shù)量。合力矩定理平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于各分力對該點(diǎn)之矩的代數(shù)和，即

2．平面力偶系的合成和平衡條件（1）力偶與力偶矩大小相等，方向相反，作用線平行的兩個力F,F’組成力偶，力偶是一異常力系。力偶對物體惟獨(dú)轉(zhuǎn)動效應(yīng)，它與一個力不等效，不能用一個力來平衡。力偶只能與力偶平衡（習(xí)題2－13）。

力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)決定于力偶矩，即力偶矩是代數(shù)量。取逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負(fù)。力偶對隨意點(diǎn)之矩等于力偶矩，與矩心位置無關(guān)。力偶等效條件同平面內(nèi)的兩個力偶，如力偶矩相等，則兩力偶等效。力偶的等效性表明:只要力偶矩不變，可隨意改變力的大小和力偶臂的長短；力偶也可在作用面內(nèi)隨意移轉(zhuǎn)。（2）平面力偶系的合成同平面力偶系可合成為一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和（3）平面力偶系的平衡條件力偶系平衡的須要和充足條件是：合力偶矩等于零，即一個自立的平衡方程，可解一個未知量。3．力的平移定理

作用在剛體上的力，可平行移動到剛體上任一點(diǎn)，平移時需附加一力偶，附加力偶的力偶矩等于原作使勁對平移點(diǎn)之矩，稱為力的平移定理。該定理表明，一個力可以等效于一個力和一個力偶。其逆定理表明，可將平面內(nèi)的一個力和一個力偶等效于一個力。應(yīng)使勁的平移定理，將力系向一點(diǎn)簡化的主意是力系簡化的普遍主意。4．平面力系向平面內(nèi)一點(diǎn)簡化力系向任一點(diǎn)O（稱簡化中央）簡化，得到通過簡化中央的一個力及一個力偶。力的大小、方向決定于力系的主矢量，力偶的矩決定于力系對簡化中央的主矩。力系中各力的矢量和稱為力系的主矢量(簡稱主矢)。即主矢量與簡化中央位置無關(guān)。力系中各力對簡化中央之矩的代數(shù)和稱為力系對簡化中央的主矩。即主矩與簡化中央位置有關(guān)。5．主矢和主矩的解析式如以簡化中央為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系Oxy則主矢與主矩的解析表達(dá)式分離為

式中Xi，Yi為力系中各力在坐標(biāo)軸上的投影，xi，yi為力Fi作用點(diǎn)的坐標(biāo)。6．平面力系平衡的須要和充足條件力系的主矢和主矩都等于零，即：平面力系平衡方程的三種形式基本形式二力矩式三力矩式A、B連線與x軸不垂直A、B、C三點(diǎn)不共線[[例]已知：P=20kN,m=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m求：A、B的支反力。解①研究AB梁；②受力如圖；③取Axy直角坐標(biāo)；④列平衡方程求解：解得：[例]已知：分布載荷，力偶矩，，不計拱自重求C處的反力。線性分布外力（例題3－8，習(xí)題3－4）[例]桁架結(jié)構(gòu)0力桿（習(xí)題2-55）第4章．空間隨意力系1．計算力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影有兩種主意一次〔直接〕投影法二次（間接）投影法。2．力對軸之矩

力對軸之矩是力使物體繞軸轉(zhuǎn)動效果的度量，是代數(shù)量，可按定義或解析式計算。當(dāng)力與軸相交或平行時，力對該軸之矩等于零。3．力對點(diǎn)之矩力對點(diǎn)之矩是力使物體繞該點(diǎn)轉(zhuǎn)動效果的度量，是定位矢量。表為力對點(diǎn)之矩在過該點(diǎn)某軸上的投影等于力對該軸之矩。有4．合力矩定理力系的合力對任一點(diǎn)之矩等于力系中各力對該點(diǎn)之矩的矢量和，即5．力偶矩矢力偶矩矢是表示力偶三要素的自由矢量，它徹低決定了力偶對物體的作用。若兩力偶的力偶矩矢相等，則兩力偶等效。6．空間力系的合成空間匯交力系合成為通過匯交點(diǎn)的一個合力，其合力矢空間力偶系合成為一合力偶，其合力偶矩矢空間隨意力系向任一點(diǎn)O簡化，得到作用在簡化中央O的一個力和一個力偶，力的大小、方向決定于力系的主矢量，力偶矩矢決定于力系對O點(diǎn)的主矩，即7．空間力系平衡的須要和充足條件空間隨意力系平衡的須要和充足條件是：力系的主矢和對任一點(diǎn)的主矩等于零，即8.空間力系平衡方程的基本形式空間匯交力系空間力偶系空間平行力系空間隨意力系9.物體的重心重心是物體重力的合力作用點(diǎn)。均質(zhì)物體的重心與幾何中央――形心重合。重心坐標(biāo)的普通公式是;對于均質(zhì)物體[例]邊長為l、分量為的均質(zhì)正方形平臺，用六根不計自重的直桿支承如圖所示。設(shè)平臺距地面高度為l，處載荷沿邊，試求各桿內(nèi)力。解：①取研究對象：平臺。②分析受力，如圖所示，六根支承桿均為二力桿。③列平衡方程求解：：，：，：，：，：，：，【例】邊長為的立方框架上，沿對角線AB作用一力，其大小為P；沿CD作用另一力，其大小為，此力系向O點(diǎn)簡化的主矩大小為（）。第5章摩擦1.基本概念動滑動摩擦、靜滑動摩擦當(dāng)物體處于臨界平衡狀態(tài)時，靜摩擦力的大小F與互相接觸物體之間的正壓力大小與正比。2.基本計算動滑動摩擦、靜滑動摩擦的計算【例】物A重100KN，物B重25KN，A物與地面的摩擦系數(shù)為0.2，滑輪處摩擦不計。則物體A與地面間的摩擦力為?

第二部分運(yùn)動學(xué)第6章．點(diǎn)的運(yùn)動1．矢量法點(diǎn)位置決定運(yùn)動方程=軌跡：矢端曲線速度方向沿軌跡切線加速度2﹑直角坐標(biāo)法點(diǎn)位置決定運(yùn)動方程軌跡運(yùn)動方程消去時光參數(shù)t，即可得到軌跡的曲線方程。速度加速度3.天然法前提：點(diǎn)的軌跡已知弧坐標(biāo)的建立：在軌跡上決定點(diǎn)，規(guī)定“+”，“-”點(diǎn)位置決定：弧坐標(biāo)s運(yùn)動方程速度加速度——切向加速度——法向加速度【例】題5-7，5-8例在曲柄搖桿機(jī)構(gòu)中，曲柄與水平線夾角的變化邏輯為，設(shè)，，求點(diǎn)的運(yùn)動方程和時點(diǎn)的速度和加速度解法1天然法點(diǎn)的運(yùn)動方程速度加速度解法2直角坐標(biāo)法（坐標(biāo)建立如圖）B點(diǎn)的運(yùn)動方程：速度：加速度：時第7章．剛體的基本運(yùn)動1．平動剛體平動的特點(diǎn)是：剛體上各點(diǎn)的軌跡形狀、速度及加速度相同。因此，只要求得剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動，就可得知其它各點(diǎn)的運(yùn)動，從而決定整體運(yùn)動。2．定軸轉(zhuǎn)動描述定軸轉(zhuǎn)動剛體的位置用角坐標(biāo)。

運(yùn)動方程角速度角加速度或為在z軸上的投影；為在z軸上的投影。定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點(diǎn)速度v及加速度a的計算：速度，或，R為點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離。加速度其中,或切向加速度；,或法向加速度。第8章．點(diǎn)的合成運(yùn)動1．定系和動系理論上講，若存在兩個有相對運(yùn)動的坐標(biāo)系，則可指定其中一個為定系，另一個即為動系。但工程上普通以固定在地面上的坐標(biāo)系為定系，相對于定系運(yùn)動著的坐標(biāo)系稱為動系。2．動點(diǎn)和牽連點(diǎn)動點(diǎn)為研究的對象，是本章的主角。牽連點(diǎn)是動點(diǎn)在動系上的重合點(diǎn)，隨動點(diǎn)的相對運(yùn)動而變，是動系上的點(diǎn)，不同瞬時，有不同的牽連點(diǎn)，弄清牽連點(diǎn)的概念十分重要。3．三個運(yùn)動的關(guān)系絕對運(yùn)動——動點(diǎn)相對于定系的運(yùn)動；相對運(yùn)動——動點(diǎn)相對于動系的運(yùn)動；牽連運(yùn)動——動系相對于定系的運(yùn)動。（1）速度合成定理（2）加速度合成定理其中當(dāng)動系平動時，【例】：正方形板以等角速度ω繞O軸轉(zhuǎn)動，小球M以均速度沿板內(nèi)半徑為R的圓槽運(yùn)動。則M的絕對加速度為4．應(yīng)用[例]搖桿滑道機(jī)構(gòu)已知h、、v、a求:OA桿的,。解：⒈選取動點(diǎn)、動系、靜系：動點(diǎn):桿BC上銷子D點(diǎn),動系:固連搖桿OA，靜系:固連地面(機(jī)架)。2.三種運(yùn)動分析：3.三種速度分析:由速度合成定理：⒌加速度分析:因牽連運(yùn)動為定軸轉(zhuǎn)動，故有⒍作加速度矢量關(guān)系圖求解：將上式投影到沿切線的軸上，得：第9章．剛體的平面運(yùn)動1．剛體平面運(yùn)動定義剛體作平面運(yùn)動的充要條件是：剛體在運(yùn)動過程中，其上任何一點(diǎn)到某固定平面的距離一直保持不變。2．平面運(yùn)動方程剛體的平面運(yùn)動可以簡化成平面圖形在平面上的運(yùn)動。運(yùn)動方程：其中A為基點(diǎn)。倘若以A為原點(diǎn)建立平動動系A(chǔ)x’y’，則平面運(yùn)動分解為尾隨基點(diǎn)（動系）的平動和相對于基點(diǎn)（動系）的轉(zhuǎn)動。3．平面運(yùn)動剛體上各點(diǎn)的速度分析（1）基點(diǎn)法--應(yīng)用速度合成定理：

（2）速度投影定理（由基點(diǎn)法推論）：剛體上隨意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連線上的投影相等。（3）瞬心法（由基點(diǎn)法推論）

瞬心是瞬時速度為零的點(diǎn)，把瞬心作為基點(diǎn)求速度的主意，為瞬心法?！纠繄D示系統(tǒng)中，ABCD為一平行四連桿機(jī)構(gòu)，某瞬時桿EF平行于CD，求桿EF的速度瞬心（F點(diǎn)）4．加速度分析

只推薦用基點(diǎn)法分析平面運(yùn)動剛體上各點(diǎn)的加速度。[例]曲柄肘桿壓床機(jī)構(gòu)已知:OA=0.15m,n=300rpm,AB=0.76m,BC=BD=0.53m.圖示位置時,AB水平。求該位置時的，及解：⒈運(yùn)動分析：OA,BC作定軸轉(zhuǎn)動,AB,BD均作平面運(yùn)動⒉研究AB;速度分析，用速度瞬心法求vB和AB：P１為AB桿速度瞬心⒊研究BD;速度分析，用速度瞬心法求vD和BD：P2為其速度瞬心,BDP2為等邊三角形DP2=BP2=BD

第三部分動力學(xué)第10章．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程1．牛頓第二定律牛頓第二定律為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積等于作用在質(zhì)點(diǎn)上力系的合力，即

它是解決質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的基本定律。2．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程矢量形式

直角坐標(biāo)形式天然坐標(biāo)形式普通在研究自由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動時，常采用直角坐標(biāo)或極坐標(biāo)形式的微分方程，研究非自由質(zhì)點(diǎn)動力知識題時常采用天然坐標(biāo)形式的微分方程。3．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程的應(yīng)用運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程，可解決質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)兩類問題，即

（1）已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動邏輯，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，通常是未知的約束力。這是點(diǎn)的運(yùn)動方程對時光求導(dǎo)數(shù)的過程。

（2）已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動邏輯。這是運(yùn)動微分方程的積分過程，或求解過程。

對于多數(shù)非自由質(zhì)點(diǎn)，普通同時存在以上動力學(xué)的兩類問題，對于這種問題普通首先解除約束以相應(yīng)的約束力代替，按照已知的主動力及運(yùn)動初始條件，求解質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動邏輯；然后在運(yùn)動決定的條件下再求解未知約束力，約束力普通包括靜約束力和附加動約束力兩部分。

利用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程求解質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動邏輯時，視問題的性質(zhì)，可采用兩種分離變量的主意對微分方程舉行積分，即或質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動邏輯還決定于初始條件，利用運(yùn)動的初始條件，可決定定積分的下限或不定積分的積分常數(shù)。視問題的性質(zhì)，也可以用解微分方程的主意求解。4．解決質(zhì)點(diǎn)動力知識題的步驟（1）分析質(zhì)點(diǎn)的受力，分清主動力與約束力。對非自由質(zhì)點(diǎn)需解除約束，以約束力代替。主動力普通為已知，約束力通常是未知的，但其方向往往可按照約束的性質(zhì)決定。畫出質(zhì)點(diǎn)的受力圖。（2）分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，畫出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動分析圖，普通包括廣義坐標(biāo)，加速度、速度在坐標(biāo)上的分量等。（3）列寫質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程。列方程時要注重力及運(yùn)動量在坐標(biāo)上投影的正負(fù)號。（4）微分方程的求解及問題的進(jìn)一步研究?！纠恳阎矬w的質(zhì)量為m，彈簧的剛度為，原長為，靜伸長為，則對于以彈簧靜伸長末端為坐標(biāo)原點(diǎn)，鉛直向下的坐標(biāo)OX，重物運(yùn)動微分方程應(yīng)為【例】習(xí)題9-18第11章．動量定理1．質(zhì)點(diǎn)系動量的計算質(zhì)點(diǎn)系的動量為質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)動量的矢量和，即在直角坐標(biāo)系中可表示為質(zhì)點(diǎn)系的動量還可用質(zhì)心的速度直接表示，即

2．質(zhì)點(diǎn)系動量定理質(zhì)點(diǎn)系動量定理建立了質(zhì)點(diǎn)系動量的變化率與外力主矢量之間的關(guān)系，可表示為如下幾種形式：質(zhì)點(diǎn)系動量定理質(zhì)心運(yùn)動定理3．動量定理的應(yīng)用應(yīng)用動量定理解質(zhì)點(diǎn)系動力知識題時，應(yīng)注重以下幾點(diǎn)：

（1）質(zhì)點(diǎn)系動量的變化與內(nèi)力無關(guān)。應(yīng)用動量定理時，必須明確研究對象，分清外力與內(nèi)力，只需將外力表示在受力圖上。

（2）應(yīng)用動量定理可解決質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)的兩類問題，即已知力求運(yùn)動的問題和已知運(yùn)動求力的問題。普通用動量定理求未知約束力。

（3）當(dāng)外力系的主矢量為零時，系統(tǒng)的動量守恒，即

常矢量外力系的主矢量在某一軸（如x軸）上投影為零時，系統(tǒng)的動量在該軸上的分量為一常數(shù)常數(shù)第12章．動量矩定理1.轉(zhuǎn)動慣量剛體對Z軸的轉(zhuǎn)動慣量2．質(zhì)點(diǎn)系動量矩質(zhì)點(diǎn)系對隨意一點(diǎn)的動量矩為質(zhì)點(diǎn)系中各點(diǎn)的動量對同一點(diǎn)的矩的矢量和，即

質(zhì)點(diǎn)系對軸z動量矩平動剛體定軸(z軸)轉(zhuǎn)動剛體平面運(yùn)動的剛體3．質(zhì)點(diǎn)系動量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理建立了質(zhì)點(diǎn)系動量矩的變化率與作用于質(zhì)點(diǎn)系上外力的主矩之間的關(guān)系。可表示為如下幾種形式：

（1）對固定點(diǎn)的動量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系對固定點(diǎn)的動量矩對時光的一階導(dǎo)數(shù)，等于外力系對同一點(diǎn)的主矩，即

用投影式表示為（2）相對質(zhì)心動量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系相對質(zhì)心的動量矩對時光的一階導(dǎo)數(shù)等于外力系對質(zhì)心的主矩。即

（3）剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動的微分方程

4．剛體平面運(yùn)動微分方程

5．動量矩定理的應(yīng)用在應(yīng)用動量矩定理時，應(yīng)注重以下幾點(diǎn)：

（1）準(zhǔn)確計算質(zhì)點(diǎn)系的動量矩；

（2）質(zhì)點(diǎn)系動量矩的變化率與外力矩有關(guān)。所以，在分析問題時要明確研究對象，分清內(nèi)力與外力；

（3）當(dāng)對固定點(diǎn)的外力矩為零時，質(zhì)點(diǎn)系對該點(diǎn)的動量矩守恒。即時，常矢量或?qū)δ齿S（如z軸）的外力矩為零時，質(zhì)點(diǎn)系對該軸的動量矩守恒。即時，常數(shù)[[例]兩質(zhì)量各為8kg的均質(zhì)桿固連成T字型，可繞通過O點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動，當(dāng)OA處于水平位置時,T形桿具有角速度=4rad/s。求該瞬時軸承O的反力。解：①選T字型桿為研究對象；②受力分析如圖示；③運(yùn)動分析：剛體繞O軸轉(zhuǎn)動；④按照定軸轉(zhuǎn)動微分方程求解：再按照質(zhì)心運(yùn)動定理有：運(yùn)動學(xué)補(bǔ)充方程：解得：第13章．動能定理1.質(zhì)點(diǎn)系動能的計算質(zhì)點(diǎn)的動能：質(zhì)點(diǎn)系的動能等于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動能的總和，即

（2）剛體動能的計算

平動剛體：定軸轉(zhuǎn)動剛體：平面運(yùn)動剛體：分離為剛體對固定軸，質(zhì)心軸和瞬心軸的轉(zhuǎn)動慣量。2.力的功的計算作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力通常為變力，變力的元功為

力在有限路程上的功為

或如（1）重力在有限路程上的功為

即決定于軌跡兩端的高度差，而與軌跡形狀無關(guān)。（2）彈性恢復(fù)力在有限路程上的功為

其中為彈簧剛度系數(shù)，彈性恢復(fù)力的功僅決定于質(zhì)點(diǎn)在軌跡兩端時彈簧的變形，而與軌跡形狀無關(guān)。3.動能定理微分形式的動能定理：積分形式的動能定