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文檔簡介
第14講正弦定理【題型歸納目錄】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、正弦定理正弦定理:在一個(gè)三角形中各邊和它所對(duì)角的正弦比相等,即:知識(shí)點(diǎn)詮釋:(1)正弦定理適合于任何三角形;(2)可以證明(為的外接圓半徑);(3)每個(gè)等式可視為一個(gè)方程:知三求一.(4)利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題:=1\*GB3①已知兩個(gè)角及任意—邊,求其他兩邊和另一角;=2\*GB3②已知兩邊和其中—邊的對(duì)角,求其他兩個(gè)角及另一邊.知識(shí)點(diǎn)二、正弦定理在解三角形中的應(yīng)用利用正弦定理,可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題:(1)已知兩角和任一邊,求其他兩邊和一角;(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求另一邊的對(duì)角;知識(shí)點(diǎn)三:三角形的形狀的判定特殊三角形的判定:(1)直角三角形勾股定理:,互余關(guān)系:,,;(2)等腰三角形,;用余弦定理判定三角形的形狀(最大角的余弦值的符號(hào))(1)在中,;(2)在中,;(3)在中,;知識(shí)點(diǎn)四、三角形面積公式在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,則的面積.知識(shí)點(diǎn)五、仰角與俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角.目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角,如圖所示.【典型例題】題型一:已知兩角及任意一邊解三角形【例1】(2024·全國·高一假期作業(yè))在中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若,,,則(
)A.8 B.5 C.4 D.3【變式11】(2024·全國·高一隨堂練習(xí))在中,已知,,,則邊的長為(
)A. B. C. D.【變式12】(2024·浙江嘉興·高一校聯(lián)考期中)在△ABC中,,,,則邊長(
)A. B. C. D.題型二:已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形【例2】(2024·吉林·高一??茧A段練習(xí))在中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且,(1)若,求b;(2)若,求b.【變式21】(2024·全國·高一專題練習(xí))不解三角形,判斷下列三角形解的個(gè)數(shù).(1),,;(2),,;(3),,.【變式22】(2024·四川成都·高一統(tǒng)考期中)在銳角中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,其中,,.(1)求c的值.(2)求的值.題型三:三角形形狀的判斷【例3】(2024·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)桂華中學(xué)??茧A段練習(xí))已知的三內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別是、、,設(shè)向量,,若,且滿足,則的形狀是(
)A.等腰直角三角形 B.等邊三角形C.鈍角三角形 D.直角非等腰三角形【變式31】(2024·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中)在中,三個(gè)內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別為,,,若,則的形狀為(
)A.等腰三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【變式32】(2024·高一校考單元測試)在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、,且,則的形狀為(
)A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形【變式33】(2024·廣東佛山·高一羅定邦中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))在中,角的對(duì)邊分別為,若,則的形狀為(
)A.等邊三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形題型四:三角形面積公式及其應(yīng)用【例4】(2024·上海寶山·高一上海交大附中校考期末)在中,角A,B,C所對(duì)邊的邊長分別為a,b,c,且.(1)求;(2)若,的周長為3,求的面積S.【變式41】(2024·全國·高一隨堂練習(xí))記的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,且.(1)求;(2)若的面積為,求的周長.【變式42】(2024·河南平頂山·高一校考階段練習(xí))的內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別為,,,向量與平行.(1)求;(2)若,,求的面積.【變式43】(2024·全國·高一隨堂練習(xí))在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,向量,,且.(1)求的值;(2)若,,求的面積.題型五:判斷三角形解的個(gè)數(shù)【例5】(2024·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學(xué)??计谥校┰O(shè)的角,,所對(duì)的邊分別為,,,且,,當(dāng)有兩個(gè)解時(shí),的取值范圍是.【變式51】(2024·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末)已知a,b,c分別是的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,寫出“使?jié)M足,的唯一”的a的一個(gè)取值為.【變式52】(2024·浙江臺(tái)州·高一統(tǒng)考期末)在中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,已知,,,若有兩解,則的取值范圍是.【變式53】(2024·河北張家口·高一統(tǒng)考期中)在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且,,符合條件的三角形有兩個(gè),則b的取值范圍是.題型六:用正弦定理解決簡單的實(shí)際問題【例6】(2024·遼寧沈陽·高一沈陽二中校考期中)我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”公式.設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,面積為S,“三斜求積”公式表示為.在△ABC中,若,,則用“三斜求積”公式求得△ABC的面積為.【變式61】(2024·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中)如圖,為了測量河對(duì)岸的塔高,選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測點(diǎn)和,測得,,,并在處測得塔頂?shù)难鼋菫?,則塔高.【變式62】(2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期中)海島上有一座高塔,高塔頂端是觀察臺(tái),觀察臺(tái)海拔.在觀察臺(tái)上觀察到有一輪船該輪船航行的速度和方向保持不變.上午11時(shí),測得該輪船在海島北偏東,俯角為處,11時(shí)20分測得該輪船在海島北偏西,俯角為處,則該輪船的速度為m/h,再經(jīng)過分鐘后,該輪船到達(dá)海島的正西方向.【過關(guān)測試】一、單選題1.(2024·內(nèi)蒙古赤峰·高一??茧A段練習(xí))在銳角中,角,,所對(duì)應(yīng)的邊分別為,,,若,則角等于(
)A. B. C. D.或2.(2024·青?!ばB?lián)考模擬預(yù)測)在中,角所對(duì)的邊分別為.若,則(
)A. B. C. D.3.(2024·全國·高三專題練習(xí))在中,角,,所對(duì)的邊分別為,,.,,則()A. B. C. D.4.(2024·陜西商洛·統(tǒng)考一模)在△中,角的對(duì)邊分別是,則=(
)A. B. C. D.5.(2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高二河南省濟(jì)源第一中學(xué)校考期末)在中,,,分別為,,的對(duì)邊,且,,的面積為,那么等于(
)A. B. C. D.6.(2024·云南大理·高二??茧A段練習(xí))已知角是的內(nèi)角,則“”是“”的(
)A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.(2024·新疆·校聯(lián)考一模)在中,角的對(duì)應(yīng)邊是,且,則(
)A. B. C. D.8.(2024·陜西安康·校聯(lián)考模擬預(yù)測)記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,分別以為邊長的正三角形的面積依次為,且,則(
)A. B. C. D.二、多選題9.(2024·遼寧鐵嶺·高三校聯(lián)考期末)在中,,,,則可能為(
)A. B. C. D.10.(2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高一??茧A段練習(xí))在中角,,所對(duì)的邊分別為,,,以下敘述或變形中正確的有(
)A. B.C. D.11.(2024·江蘇淮安·高三馬壩高中??计谥校┰谥校撬鶎?duì)的邊為,有如下判斷,其中正確的判斷是(
)A.若,則為等腰直角三角形B.若,則C.若,則符合條件的有兩個(gè)D.在銳角三角形中,不等式恒成立12.(2024·安徽合肥·高三合肥一六八中學(xué)??茧A段練習(xí))已知中,其內(nèi)角的對(duì)邊分別為,下列命題正確的有(
)A.若,則B.若,則C.若,則為等腰三角形D.若,則為等腰三角形三、填空題13.(2024·貴州貴陽·高三貴陽一中??茧A段練習(xí))在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,則的面積為.14.(2024·上海嘉定·統(tǒng)考一模)在中,內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、,的面積為,,,則.15.(2024·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學(xué)??计谥校┰谥校?,那么的值為.16.(2024·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí))在中,D為BC邊上一點(diǎn),滿足,,則的面積為.四、解答題17.(2024·云南德宏·高三校考階段練習(xí))已知,,是三邊長且,的面積,.(1)求角;(2)求,的值.18.(2024·云南玉溪·高二統(tǒng)考期末)在中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知.(1)求;(2)若,求外接圓的半徑.19.(2024·江蘇南通·高三江蘇省如東高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試)在三角形中,角所對(duì)的邊分別為.(1)求的值;(2)若,的面積為,求的值.20.(
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