微積分函數(shù)-課件

微積分函數(shù)_課件2024-01-25微積分函數(shù)基本概念極限與連續(xù)導(dǎo)數(shù)與微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用不定積分與定積分多元函數(shù)微積分學(xué)無窮級數(shù)與微分方程初步contents目錄01微積分函數(shù)基本概念函數(shù)定義設(shè)$x$和$y$是兩個(gè)變量，$D$是實(shí)數(shù)集的某個(gè)子集，若對于$D$中的每一個(gè)$x$值，變量$y$按照一定的對應(yīng)法則總有一個(gè)確定的數(shù)值與之對應(yīng)，則稱$y$是$x$的函數(shù)，記作$y=f(x)$，其中$x$稱為自變量，$y$稱為因變量，$f$稱為對應(yīng)法則。函數(shù)的性質(zhì)包括有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性等。這些性質(zhì)反映了函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的變化趨勢和特征，是研究函數(shù)的重要基礎(chǔ)。函數(shù)定義與性質(zhì)微分學(xué)的起源微分學(xué)的思想萌芽可以追溯到古代，如中國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。微積分的產(chǎn)生一般認(rèn)為是由17世紀(jì)的科學(xué)家牛頓和萊布尼茲共同完成的，但是關(guān)于微積分的創(chuàng)立時(shí)間一直存在爭議。積分學(xué)的起源積分學(xué)的起源可以追溯到古代對面積和體積的計(jì)算。古希臘時(shí)期，阿基米德利用“窮竭法”計(jì)算出了拋物線弓形、螺線、圓的面積和橢球體、拋物面體等各種復(fù)雜幾何體的表面積和體積的公式。這些工作為積分學(xué)的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。微積分學(xué)的建立17世紀(jì)下半葉，牛頓和萊布尼茲在前人工作的基礎(chǔ)上，分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué)。他們通過創(chuàng)立新的數(shù)學(xué)符號和運(yùn)算規(guī)則，將微分和積分統(tǒng)一起來，建立了完整的微積分學(xué)體系。微積分學(xué)發(fā)展歷程物理學(xué)微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，如描述物體運(yùn)動(dòng)的加速度、速度和位移之間的關(guān)系，以及計(jì)算物體的動(dòng)能、勢能和機(jī)械能等。在工程學(xué)中，微積分被用于計(jì)算和優(yōu)化各種工程問題，如建筑設(shè)計(jì)、橋梁結(jié)構(gòu)分析、電路分析等。微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中也有著重要的應(yīng)用，如計(jì)算邊際效應(yīng)、彈性分析、最優(yōu)化問題等。微積分在生物學(xué)中的應(yīng)用包括描述生物種群數(shù)量的變化、分析生物化學(xué)反應(yīng)速率等。除了上述領(lǐng)域外，微積分還被廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)、化學(xué)、地理學(xué)等領(lǐng)域。工程學(xué)生物學(xué)其他領(lǐng)域經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域及意義02極限與連續(xù)

極限概念及性質(zhì)極限的定義描述函數(shù)在某一點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)處的變化趨勢。極限的性質(zhì)唯一性、局部有界性、保號性、四則運(yùn)算法則。左右極限函數(shù)在某一點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)極限的定義及性質(zhì)。函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)的定義及性質(zhì)。連續(xù)函數(shù)的定義局部性質(zhì)（局部有界性、局部保號性）、四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性、反函數(shù)的連續(xù)性。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第一類間斷點(diǎn)（可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)）和第二類間斷點(diǎn)（無窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)）的定義及性質(zhì)。間斷點(diǎn)及其分類連續(xù)函數(shù)定義與性質(zhì)03無窮小量與無窮大量無窮小量、無窮大量、同階無窮小、等價(jià)無窮小等概念及性質(zhì)。01極限存在準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則。02兩個(gè)重要極限lim(sinx/x)和lim(1+1/x)^x在x趨于無窮大或某一點(diǎn)時(shí)的極限值及推導(dǎo)過程。極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限03導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率，反映了函數(shù)值隨自變量變化的快慢程度。導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法高階導(dǎo)數(shù)通過求極限的方式計(jì)算導(dǎo)數(shù)，包括基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則。多次求導(dǎo)得到高階導(dǎo)數(shù)，描述了函數(shù)更高層次的變化特征。030201導(dǎo)數(shù)概念及計(jì)算方法微分是函數(shù)在某一點(diǎn)處的局部變化量的線性近似，即函數(shù)的微小增量。微分定義通過求導(dǎo)得到微分，微分的基本公式和運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)類似。微分計(jì)算方法微分在近似計(jì)算、誤差估計(jì)和微分方程等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。微分的應(yīng)用微分概念及計(jì)算方法導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率，而微分則是函數(shù)在該點(diǎn)處的微小增量，兩者之間存在密切聯(lián)系。導(dǎo)數(shù)等于微分的商，即函數(shù)在某一點(diǎn)處的變化率。導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系導(dǎo)數(shù)和微分在多個(gè)領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如物理學(xué)中的速度、加速度計(jì)算，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析，以及工程學(xué)中的優(yōu)化問題等。通過求導(dǎo)數(shù)和微分，可以揭示函數(shù)的變化規(guī)律，預(yù)測未來趨勢，為實(shí)際問題提供解決方案。導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與微分關(guān)系及應(yīng)用04中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用證明通過構(gòu)造輔助函數(shù)$g(x)=f(x)-f(a)$，應(yīng)用費(fèi)馬引理進(jìn)行證明。證明通過構(gòu)造輔助函數(shù)$g(x)=f(x)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$，應(yīng)用羅爾定理進(jìn)行證明。證明通過構(gòu)造輔助函數(shù)$F(x)=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x)$，應(yīng)用羅爾定理進(jìn)行證明。羅爾定理如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(a)=f(b)$，則至少存在一個(gè)$cin(a,b)$，使得$f'(c)=0$。拉格朗日中值定理如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一個(gè)$cin(a,b)$，使得$f'(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$?？挛髦兄刀ɡ砣绻瘮?shù)$f(x)$和$g(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$g'(x)neq0$，則至少存在一個(gè)$cin(a,b)$，使得$frac{f'(c)}{g'(c)}=frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。010203040506中值定理內(nèi)容及證明單調(diào)遞減如果函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$內(nèi)可導(dǎo)，且$f'(x)<0$對任意$xinI$成立，則函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$內(nèi)單調(diào)遞減。單調(diào)遞增如果函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$內(nèi)可導(dǎo)，且$f'(x)>0$對任意$xinI$成立，則函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$內(nèi)單調(diào)遞增。判斷方法首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，然后判斷導(dǎo)數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的符號。利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性極值點(diǎn)如果函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處取得局部最大值或最小值，且$f'(x_0)=0$，則稱點(diǎn)$x_0$為函數(shù)$f(x)$的極值點(diǎn)。最值點(diǎn)如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上的最大值或最小值在點(diǎn)$x_0in[a,b]$處取得，則稱點(diǎn)$x_0$為函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的最值點(diǎn)。求法首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，然后解方程$f'(x)=0$得到可能的極值點(diǎn)。接著判斷這些點(diǎn)的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號變化來確定是極大值還是極小值。對于最值點(diǎn)，除了考慮極值點(diǎn)外，還需要考慮區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值。利用導(dǎo)數(shù)求極值和最值05不定積分與定積分不定積分概念及性質(zhì)不定積分的定義設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上有定義，如果存在可導(dǎo)函數(shù)$F(x)$，使得$F'(x)=f(x)$對任意$xinI$都成立，則稱$F(x)$為$f(x)$在區(qū)間$I$上的一個(gè)原函數(shù)，或稱$F(x)$為$f(x)$的不定積分，記作$intf(x)dx=F(x)+C$，其中$C$為任意常數(shù)。線性性質(zhì)$int[af(x)+bg(x)]dx=aintf(x)dx+bintg(x)dx$積分區(qū)間可加性$int_a^bf(x)dx=int_a^cf(x)dx+int_c^bf(x)dx$常數(shù)因子可提取$intkf(x)dx=kintf(x)dx$定積分的定義：設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上有定義，如果對于任意分割$T:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，以及任意點(diǎn)集${\xii}\subset[a,b]$，只要$\lambda=\max{1\leqi\leqn}\Deltaxi$足夠小，就有$\lim{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Deltax_i$存在且唯一，則稱該極限值為函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的定積分，記作$\int_a^bf(x)dx$。定積分概念及性質(zhì)$int_a^b[af(x)+bg(x)]dx=aint_a^bf(x)dx+bint_a^bg(x)dx$線性性質(zhì)$int_a^bf(x)dx=int_a^cf(x)dx+int_c^bf(x)dx$積分區(qū)間可加性若在$[a,b]$上$f(x)geq0$，則$int_a^bf(x)dxgeq0$；若在$[a,b]$上$f(x)leqg(x)$，則$int_a^bf(x)dxleqint_a^bg(x)dx$保號性定積分概念及性質(zhì)牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算平面圖形的面積計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算變力做功牛頓-萊布尼茲公式及應(yīng)用如果函數(shù)$F(x)$是連續(xù)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的一個(gè)原函數(shù)，則$int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$。通過定積分可以計(jì)算由連續(xù)曲線繞某一直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積。通過定積分可以計(jì)算由連續(xù)曲線和直線所圍成的平面圖形的面積。通過定積分可以計(jì)算變力在直線位移上所做的功。06多元函數(shù)微積分學(xué)多元函數(shù)定義01設(shè)D為一個(gè)非空的n元有序數(shù)組的集合，f為某一確定的對應(yīng)規(guī)則。若對于每一個(gè)有序數(shù)組(x1,x2,…,xn)∈D，通過對應(yīng)規(guī)則f，都有唯一確定的實(shí)數(shù)y與之對應(yīng)，則稱對應(yīng)規(guī)則f為定義在D上的n元函數(shù)。多元函數(shù)的性質(zhì)02包括有界性、單調(diào)性、周期性、連續(xù)性等。多元函數(shù)的表示方法03可以用解析式、圖像、表格等方式表示多元函數(shù)。多元函數(shù)概念及性質(zhì)偏導(dǎo)數(shù)與全微分計(jì)算方法全微分定義如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全增量△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)可以表示為△z=A△x+B△y+o(ρ)，其中A、B不依賴于△x，△y而僅與x，y有關(guān)，ρ趨近于0(ρ=√[(△x)2+(△y)2])，此時(shí)稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微分，A△x+B△y稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全微分。偏導(dǎo)數(shù)定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量△x時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。如果△z與△x之比當(dāng)△x→0時(shí)的極限存在，那么此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù)。計(jì)算方法偏導(dǎo)數(shù)可以通過求導(dǎo)法則和鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行計(jì)算；全微分可以通過偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。極值定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于P0的點(diǎn)P(x,y)，如果都適合不等式f(x,y)<f(x0,y0)（或f(x,y)>f(x0,y0)），則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)有極大值（或極小值）。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在[a,b]上的最大值與最小值只能在區(qū)間端點(diǎn)或駐點(diǎn)上取得?？梢酝ㄟ^求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零來找到可能的極值點(diǎn)；然后通過比較這些點(diǎn)的函數(shù)值來確定極值；最后通過比較各極值點(diǎn)的函數(shù)值來確定最值。最值定義求解方法多元函數(shù)極值和最值求解方法07無窮級數(shù)與微分方程初步無窮級數(shù)定義無窮級數(shù)是由無窮多個(gè)數(shù)相加得到的數(shù)列，其和可能有限也可能無限。收斂與發(fā)散無窮級數(shù)根據(jù)其部分和數(shù)列的收斂性可分為收斂級數(shù)和發(fā)散級數(shù)。絕對收斂與條件收斂對于收斂級數(shù)，若其各項(xiàng)絕對值所構(gòu)成的級數(shù)也收斂，則稱原級數(shù)絕對收斂；否則稱為條件收斂。無窮級數(shù)概念及性質(zhì)常微分方程是含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（微分）的方程，且未知函數(shù)是一元函數(shù)。常微分方程定義常微分方程的階數(shù)是指方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)；若方程中未知函數(shù)及其