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新課標(biāo)背景下的數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng):以“雞兔同籠”為例“雞兔同籠”問題是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中典型的古代趣題,出自數(shù)學(xué)家孫子所著的《孫子算經(jīng)》,原文是這樣敘述的:“今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雉兔各幾何?”用現(xiàn)代語言可描述為:在同一個(gè)籠子里,有若干只雞和兔,從上面數(shù)有35個(gè)頭,從下面數(shù)有94只腳,問籠中有幾只雞?幾只兔?“雞兔同籠”問題與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系密切,但與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題又有不同,這類題目蘊(yùn)含著古人豐富的數(shù)學(xué)智慧,是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和發(fā)散性思維的重要素材,教師在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí),可以應(yīng)用豐富的教學(xué)策略,引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索解決問題的方法,降低學(xué)習(xí)難度,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,使其體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂。一、巧妙創(chuàng)設(shè)情境,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維(一)假設(shè)另類情境,突破常規(guī)思維充滿趣味的教學(xué)情境能激發(fā)學(xué)生的探究興趣,引導(dǎo)學(xué)生快速進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài),幫助他們降低理解數(shù)學(xué)知識(shí)的難度,從而有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。在解決“在同一個(gè)籠子里,有若干只雞和兔,從上面數(shù)有35個(gè)頭,從下面數(shù)有94只腳,問籠中有幾只雞?幾只兔?”時(shí),教師可以打破常規(guī)思維,假設(shè)另類情境,激發(fā)學(xué)生的探究興趣:假設(shè)對(duì)雞和兔進(jìn)行隊(duì)列培訓(xùn),給雞和兔統(tǒng)一下口令,每只雞和兔都抬起一只腳,則剩下的腳的數(shù)量是94-35=59(只)。再統(tǒng)一下一次口令,每只雞和兔又抬起一只腳,則剩下的腳的數(shù)量就是59-35=24(只),這種情境下,剩下的腳只有兔子的,而且每只兔子剩下兩只腳。所以,用剩下腳的數(shù)量除以2,就是兔子的數(shù)量。因此兔子的只數(shù)為24÷2=12(只),則雞的只數(shù)就是35-12=23(只)。教學(xué)情境另類活潑,而且淺顯易懂,學(xué)生很容易想象相應(yīng)的場(chǎng)景。打破常規(guī)思考問題的切入點(diǎn),可以有效鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)。傳統(tǒng)觀念下教師講授“雞兔同籠”問題,學(xué)生被動(dòng)接受知識(shí),思維容易陷入僵化,缺乏自主思考的空間,而創(chuàng)設(shè)鮮活的情境,有助于激發(fā)學(xué)生思維的靈活性,引導(dǎo)他們拓展想象空間,使他們更容易理解題意,掌握解題方法,發(fā)展數(shù)學(xué)思維。除了上面的“抬腳法”,還有另外一種方法,稱為“土豪法”,“土豪法”創(chuàng)設(shè)的情境與“抬腳法”相比更合乎常理,先讓每只兔和雞抬起兩只腳,這時(shí)雞沒有支撐點(diǎn),就蹲在地上,只剩下兔子有兩只腳支撐。這種方法與“抬腳法”基本相同,但是更接近于現(xiàn)實(shí)生活,使學(xué)生更容易接受,理解起來更簡(jiǎn)單?!半u蹲在地上”的情境生動(dòng)形象,并且充滿童趣,能將學(xué)生很快帶入情境中,讓他們準(zhǔn)確找到解決問題的方向。學(xué)生只有愿意學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),才能主動(dòng)參與解決問題的過程,從根本上發(fā)展數(shù)學(xué)思維。(二)轉(zhuǎn)換問題角度,拓展數(shù)學(xué)思維在學(xué)生掌握“抬腳法”的基礎(chǔ)上,教師也可以從其他角度入手,創(chuàng)設(shè)不同的情境:“抬腳法”是雞抬起了兩只腳,這一次雞不動(dòng),讓每只兔子抬起兩只腳,兔子用剩下的兩只腳支撐站立,這樣兔子就和雞一樣變成兩條腿。從上面的情境不難發(fā)現(xiàn),總頭數(shù)不變,但是每只兔子抬起兩只腳,這種情境下怎樣著手解決問題?解題思路如下:每只兔子抬起兩只腳后,雞和兔都是由兩只腳支撐,從下面看到腳的只數(shù)就是35×2=70(只),則兔子抬起腳的只數(shù)就是94-70=24(只),教師繼續(xù)提出問題:兔子抬起腳的總數(shù)量是24只,那么多少只兔子才能抬起24只腳?學(xué)生回答:用兔子抬起腳的總數(shù)量除以2,即24÷2=12(只),因此有12只兔子,雞的數(shù)量就是35-12=23(只)。最后師生在這種情境下總結(jié)解決問題的公式:兔子只數(shù)=(腳的總只數(shù)-雞兔總數(shù)量×2)÷2;雞的只數(shù)=雞兔總數(shù)量-兔子只數(shù)。數(shù)學(xué)教育緊密貼近生活,陶行知先生也曾指出:“我們深信生活是教育的中心?!鄙钍菙?shù)學(xué)知識(shí)的源泉,同時(shí),數(shù)學(xué)知識(shí)又能為生活服務(wù),教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)當(dāng)避免單純的說教,這樣的課堂教學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活嚴(yán)重脫節(jié),而且抹殺了學(xué)生豐富的想象力,不利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生緊密聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活,展開大膽想象,他們會(huì)聯(lián)想出豐富多樣的情境,從廣度和深度上發(fā)展數(shù)學(xué)思維。因此,在解決“雞兔同籠”問題過程中,不能僅局限于教師創(chuàng)設(shè)的情境。比如,有學(xué)生別出心裁,就想出了如下情境:每只雞有兩只腳,每只兔子有四只腳,雞和兔的腳數(shù)不同,為了讓它們的腳數(shù)相同,假設(shè)將每只雞的兩個(gè)翅膀變成兩只腳,那么雞和兔腳的數(shù)量就相等了,這種情境下腳的總數(shù)就是35×4=140(只),比實(shí)際腳的數(shù)量94只要多,這是因?yàn)閷㈦u的翅膀當(dāng)成了腳,多出的雞的翅膀數(shù)量就是140-94=46(個(gè)),每只雞有兩個(gè)翅膀,所以雞的數(shù)量就是46÷2=23(只),兔子數(shù)量就是35-23=12(只)。教師從學(xué)生感興趣的內(nèi)容出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生巧妙創(chuàng)設(shè)各種充滿童趣的情境,既能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,又能為他們營造輕松、愉悅的探究氛圍。教師通過恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)可以幫助學(xué)生拓展思路,讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。二、挖掘數(shù)學(xué)思想方法,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維“雞兔同籠”問題是我國古代經(jīng)典的數(shù)學(xué)趣題,凝聚著古人的數(shù)學(xué)智慧,將“雞兔同籠”問題引入小學(xué)數(shù)學(xué)教材,既能讓學(xué)生感受到我國博大精深的數(shù)學(xué)文化,又能體驗(yàn)問題中蘊(yùn)含的多種數(shù)學(xué)思想方法,從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。筆者結(jié)合自身工作實(shí)踐,深入分析解決“雞兔同籠”問題的過程,發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含著化繁為簡(jiǎn)思想、猜測(cè)與窮舉思想、優(yōu)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)學(xué)思想方法,教師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想,進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。(一)化繁為簡(jiǎn)思想化繁為簡(jiǎn)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常運(yùn)用的一類數(shù)學(xué)思想方法,尤其是原題數(shù)據(jù)比較大的情況下,學(xué)生探究過程中會(huì)存在較大困難,可以先從較簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)著手。因此,在解決“雞兔同籠”問題時(shí),可以先研究數(shù)據(jù)比較簡(jiǎn)單的問題:“若干只雞和兔在同一籠子中。從上面數(shù),有8個(gè)頭,從下面數(shù),有26只腳。有幾只兔?幾只雞?”運(yùn)用化繁為簡(jiǎn)的思想,引導(dǎo)學(xué)生先從簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)著手,學(xué)會(huì)解決問題的基本思路之后,再回到原題,按照總結(jié)出的解題策略解決問題。(二)猜測(cè)和窮舉思想在解決“雞兔同籠”問題時(shí),因?yàn)橥ㄟ^簡(jiǎn)單觀察總結(jié)不出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系,所以可以先猜測(cè),再列舉數(shù)據(jù),驗(yàn)證猜測(cè)結(jié)果。在列舉數(shù)據(jù)計(jì)算數(shù)量關(guān)系的過程中,并不需要大量重復(fù)計(jì)算,可以將所有合適的數(shù)據(jù)列舉出來,這種數(shù)學(xué)思想方法叫作窮舉法。出示要解決的問題:“若干只雞和兔在同一籠子中。從上面數(shù),有10個(gè)頭,從下面數(shù),有28只腳。有幾只兔?幾只雞?”引導(dǎo)學(xué)生猜想:“請(qǐng)大家猜測(cè)一下雞有幾只,兔有幾只?”學(xué)生回答猜測(cè)的結(jié)果……根據(jù)學(xué)生說出的數(shù)據(jù),按順序列表驗(yàn)證(如表1)。(三)優(yōu)化思想優(yōu)化思想是對(duì)比各類解題策略,選擇最優(yōu)方案的一類數(shù)學(xué)思想方法。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試多種解題方法和策略,再共同交流、對(duì)比,體會(huì)各種解題策略的優(yōu)缺點(diǎn)。用窮舉法解決“雞兔同籠”問題,需要將每種可能性一一列舉,步驟較為煩瑣,可以運(yùn)用優(yōu)化思想精簡(jiǎn)步驟。當(dāng)列舉出第一次猜測(cè)結(jié)果后,腳的只數(shù)與實(shí)際只數(shù)相差較多,則可以通過增加雞的只數(shù)、減少兔的只數(shù)來調(diào)整。如有學(xué)生直接猜測(cè)雞有5只,兔有5只:5×2+5×4=30只腳,比實(shí)際腳的數(shù)量多出2只,只需再增加一只雞減少一只兔就符合腳的實(shí)際數(shù)量要求:6×2+4×4=28。還有學(xué)生猜測(cè)雞的數(shù)量有10只,兔有0只,則共有20只腳,比實(shí)際數(shù)量少8只,每次減少1只雞增加1只兔就會(huì)增加2只腳,8只腳只需要減少4只雞增加4只兔即可,即6只雞和4只兔共28只腳。優(yōu)化思想是在窮舉思想的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律,不斷調(diào)整結(jié)論,逐步找到正確答案的思想方法,幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考問題、解決問題。(四)數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想是用數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系以可視化方式解決問題的思想方法。通常情況下是用畫圖來幫助學(xué)生理解抽象問題,利用圖形直觀呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系,以加深學(xué)生對(duì)題意的理解。在解決“雞兔同籠”問題時(shí),教師可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。首先:畫10個(gè)圓表示從上面看到的10個(gè)頭,如圖1:其次:在每個(gè)頭下面畫2只腳,10個(gè)頭就有:10×2=20只腳,如圖2:最后:觀察余下的腳怎樣畫,與實(shí)際腳數(shù)相比,還有28-20=8只腳沒有畫,因?yàn)橥糜?只腳,因此多出來的8只腳是兔子的;每只動(dòng)物已經(jīng)畫了2只腳,要將現(xiàn)有動(dòng)物變成兔子,需要每只動(dòng)物再畫上2只腳,8里面有4個(gè)2,8÷2=4只,這四只動(dòng)物就是兔子;如圖3所示,有4只兔,6只雞。三、借助拓展題型訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在學(xué)生掌握“雞兔同籠”問題的解決策略基礎(chǔ)上,對(duì)題目進(jìn)行變型,借助拓展題型訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生靈活解決問題的能力,鞏固學(xué)習(xí)成果,促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展,使其感受數(shù)學(xué)的魅力。比如,將教材中的經(jīng)典例題改編成自行車和電動(dòng)三輪車問題,每輛自行車有2個(gè)輪子,每輛電動(dòng)三輪車有3個(gè)輪子,與“雞兔同籠”問題的內(nèi)涵是相同的。學(xué)生在讀完題后感覺比較熟悉,教師可以引導(dǎo)學(xué)生與經(jīng)典題型相對(duì)比,學(xué)生基本上都能跟原題建立聯(lián)系,自行車輪子相當(dāng)于雞的腳,電動(dòng)車輪子相當(dāng)于兔的腳,自行車和電動(dòng)三輪車的總輛數(shù)相當(dāng)于雞和兔的總頭數(shù),輪子的總數(shù)量相當(dāng)于腳的總數(shù),再按照解決“雞兔同籠”問題的解題思路解答。為了幫助學(xué)有余力的學(xué)生拓展思維深度,教師可以為學(xué)生安排有一定難度的題型,使他們“跳一跳,摘桃子”。比如:10張乒乓球桌子,有32名學(xué)生在進(jìn)行單打和雙打比賽,舉行雙打比賽的乒乓球桌有()張。與“雞兔同籠”問題的經(jīng)典例題相比,題目中有兩個(gè)條件是隱含的,每張乒乓球桌上進(jìn)行單打和雙打的人數(shù),單打由2人比賽,雙打由4人比賽,每張桌子上單打人數(shù)相當(dāng)于每只雞的腳數(shù),雙打人數(shù)相當(dāng)于兔的腳數(shù),明確隱含的條件,再按照例題的解題思路解決問題即可。學(xué)生經(jīng)過不同拓展題型訓(xùn)練,能夠進(jìn)一步體會(huì)“雞兔同籠”問題解題思路的巧妙之處,主動(dòng)建立與“雞兔同籠”問題的聯(lián)系

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