2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測(cè)第43講利用空間向量求空間角和距離（講）（原卷版）

第43講利用空間向量求空間角和距離思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1．異面直線所成角設(shè)異面直線a，b所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)，其中a，b分別是直線a，b的方向向量．2．直線與平面所成角如圖所示，設(shè)l為平面α的斜線，l∩α＝A，a為l的方向向量，n為平面α的法向量，φ為l與α所成的角，則sinφ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|)3．二面角(1)若AB，CD分別是二面角α-l-β的兩個(gè)平面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角(或其補(bǔ)角)的大小就是向量eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(CD,\s\up7(→))的夾角，如圖(1)．(2)平面α與β相交于直線l，平面α的法向量為n1，平面β的法向量為n2，〈n1，n2〉＝θ，則二面角α-l-β為θ或π－θ.設(shè)二面角大小為φ，則|cosφ|＝|cosθ|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)，如圖(2)(3)．4．利用空間向量求距離(1)兩點(diǎn)間的距離設(shè)點(diǎn)A(x1，y1，z1)，點(diǎn)B(x2，y2，z2)，則|AB|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22＋z1－z22).(2)點(diǎn)到平面的距離如圖所示，已知AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離為|eq\o(BO,\s\up7(→))|＝eq\f(|\o(AB,\s\up7(→))·n|,|n|).題型歸納題型1異面直線所成的角【例11】（2020?濟(jì)南模擬）已知直角梯形中，，，，將直角梯形（及其內(nèi)部）以所在直線為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，形成如圖所示的幾何體，其中為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求異面直線與所成角的大小．【例12】（2020?北京模擬）在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，，，，為中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求異面直線與所成角的余弦值．【跟蹤訓(xùn)練11】（2020?運(yùn)城三模）如圖，四邊形為平行四邊形，且，點(diǎn)，為平面外兩點(diǎn)，且，．（1）證明：；（2）若，求異面直線與所成角的余弦值．【名師指導(dǎo)】用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系；(2)確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線所成角的余弦等于兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值．題型2直線與平面所成的角【例21】（2020?海南）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面．設(shè)平面與平面的交線為．（1）證明：平面；（2）已知，為上的點(diǎn)，，求與平面所成角的正弦值．【例22】（2020?北京）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【跟蹤訓(xùn)練21】（2020?山東）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面．設(shè)平面與平面的交線為．（1）證明：平面；（2）已知，為上的點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值的最大值．【名師指導(dǎo)】利用向量求線面角的2種方法(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)．(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線與平面所成的角．題型3二面角【例31】（2020?江蘇）在三棱錐中，已知，，為的中點(diǎn)，平面，，為中點(diǎn)．（1）求直線與所成角的余弦值；（2）若點(diǎn)在上，滿足，設(shè)二面角的大小為，求的值．【例32】（2020?新課標(biāo)Ⅰ）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【跟蹤訓(xùn)練31】（2020?新課標(biāo)Ⅲ）如圖，在長方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）若，，，求二面角的正弦值．【跟蹤訓(xùn)練32】（2019?天津）如圖，平面，，，，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長．【跟蹤訓(xùn)練33】（2019?新課標(biāo)Ⅰ）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分別是，，的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．【名師指導(dǎo)】利用空間向量計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大?。?2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小．題型4求空間距離【例41】（2019?新課標(biāo)Ⅰ）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分別是，，的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．【跟蹤訓(xùn)練41】（2020?梅州二模）如圖，中，，，，分別是，的中點(diǎn)