預(yù)習(xí)篇第8講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算2024年高二寒假數(shù)學(xué)專題化復(fù)習(xí)與重點(diǎn)化預(yù)習(xí)（人教A版2019）

第8講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算本講義整體上難度中等偏上，題目有一定的分層，題量略大！1平均變化率若某個(gè)問題中的函數(shù)關(guān)系用f(x)表示，可用式子ΔyΔx=f(x0+?x)-f(2瞬時(shí)變化率我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.3導(dǎo)數(shù)概念函數(shù)f(x)在x=x0lim則稱它為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(f'(4導(dǎo)函數(shù)若當(dāng)x變化時(shí)，f'(x)是x的函數(shù)，則稱它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))，記作f'(x)或yf5基礎(chǔ)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)fff(n∈ffffffffff(a>0fff6導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則(1)fx(2)fx(3)fx7簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=f(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系是y即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積。8導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0切線l的方程為y-f(x【題型1】導(dǎo)數(shù)概念的理解【知識(shí)點(diǎn)解讀】1平均變化率若某個(gè)問題中的函數(shù)關(guān)系用f(x)表示，可用式子ΔyΔx=f(x0+?x)-f(【例】函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[-1,2]上的平均速度為它與斜率kAB相等2瞬時(shí)變化率我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.3導(dǎo)數(shù)概念函數(shù)f(x)在x=x0lim則稱它為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(f'(【例1】已知f'(x)是fA．f'(1)B．f(1)C．f(?x)答案A【例2】一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s(t)=t2，則質(zhì)點(diǎn)在t解質(zhì)點(diǎn)在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度s【典題1】（多選）一球沿某一斜面自由滾下，測(cè)得滾下的垂直距離h(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)之間的函數(shù)表達(dá)式為h(t)=2tA.前3s內(nèi)球滾下的垂直距離的增量ΔhB.在時(shí)間[2，3]內(nèi)球滾下的垂直距離的增量C.前3s內(nèi)球的平均速度為8D.在時(shí)間[2，3]解析對(duì)于選項(xiàng)A，由已知可得：h(3)=24，則前3s內(nèi)球滾下的垂直距離的增量Δh=h(3)-h(0)=24m，即選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，由已知可得：h(2)=12，h(3)=24，在時(shí)間[2，3]內(nèi)球滾下的垂直距離的增量Δh=12m，即選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C，由已知可得：h(3)=24，則前3s內(nèi)球的平均速度為h(3)-【典題2】一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s=8-3t2．

(1)求質(zhì)點(diǎn)在[1，1+△t]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；

(2)求質(zhì)點(diǎn)在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度．

解析由題意可知：

(1)∵s=8-3t2

∴Δs=8-3(1+Δt)2【鞏固練習(xí)】1.(★)某物體做自由落體運(yùn)動(dòng)的位移ss(t)=12gt2，A.從1s到(1+ΔtB.從0s到1sC.在t=1sD.在t=答案A2.(★)函數(shù)f(x)=x,gA．m1=m2=m3 B．答案A解析m1m2故m1故選：A．3.(★)某物體做自由落體運(yùn)動(dòng)的位移st=12gt2，g=9.8mA．從0s到1s這段時(shí)間的平均速度 BC．在t=1s這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度 D．在答案C解析根據(jù)題意，lim?t→0即物體在t=1s這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為故選：C．4.(★★)已知函數(shù)y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，且f'(1)=2A．12 B．2 C．1 D．答案B解析根據(jù)題意，lim?x→05.(★★)一物體做直線運(yùn)動(dòng)，其位移s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系是s=4t+2tA.30msB.16ms答案B解析∵s=4t+2t2，

6.(★★)航天飛機(jī)升空后一段時(shí)間內(nèi)，第ts時(shí)的高度h(t)=5t3+30t2+45t+4，，其中h的單位為m，t的單位為s.

(1)h答案(1)答：h(0)表示航天飛機(jī)發(fā)射前的高度；h(1)表示航天飛機(jī)升空后1s的高度；

h(2)表示航天飛機(jī)升空后2s的高度；(2)125米/秒；(3)解析(1)答：h(0)表示航天飛機(jī)發(fā)射前的高度；

h(1)表示航天飛機(jī)升空后1s的高度；

h(2)表示航天飛機(jī)升空后2s的高度；

(2)航天飛機(jī)升空后第2秒內(nèi)的平均速度為v=h(2)-h(0)2-0=5×v==5(Δ當(dāng)△t趨向于0時(shí)，v趨向于225，因此，第2s末的瞬時(shí)速度為225m/s.

答：航天飛機(jī)升空后第2【題型2】基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)解讀】1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)fff(n∈ffffffffff(a>0fff根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)，就是求出當(dāng)下面求幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù).【例1】函數(shù)y=x2解因?yàn)棣所以y'【例2】函數(shù)y=1x解因?yàn)棣所以y'2導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則(1)fx拓展：fx記憶：函數(shù)的和差的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和差；(2)fx記憶：兩函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)等于“前導(dǎo)后不導(dǎo)+后導(dǎo)前不導(dǎo)”；特別：C?fx'=C?證明[cf(x)](3)fx記憶：兩函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)等于“分母平分，子導(dǎo)母不導(dǎo)減母導(dǎo)子不導(dǎo)”.【例】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)fx=2x3解(1)f'(2)f'x(3)f'【典題1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=(x-2)(3x+4)；(2)解析(1)y(2)y'=(3)y=x2+【鞏固練習(xí)】1.(★★)設(shè)y=-2exsinxA．-2excosx C．2exsinx 答案B解析∵y∴y故選：D．2.(★★)已知函數(shù)f(x)=ex-eA．0 B．-1 C．2 D．0答案D解析因?yàn)閒'(x)=ex-ex3.(★★★)已知函數(shù)f(x)=2x+3A．32e B．3-2e C．2-3答案C解析f'∴f'(0)=2+3f∴f故選：C．4.(★★)在一次高臺(tái)跳水比賽中，某運(yùn)動(dòng)員在t時(shí)的重心相對(duì)于水面的高度(單位:m)是h(t)=-4.9t2+4.8t+11，則該運(yùn)動(dòng)員在t=1s答案-5解析h'所以該運(yùn)動(dòng)員在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度為-55.(★★)現(xiàn)有一個(gè)圓柱形空杯子，盛液體部分的底面半徑為2cm，高為8cm，用一個(gè)注液器向杯中注入溶液，已知注液器向杯中注入的溶液的容積V(單位:ml)關(guān)于時(shí)間(單位:s)的函數(shù)解析式為V=πt3+3πt答案6cm/s解析由題設(shè)，杯子底面積為S=4π，則溶液上升高度h=V所以h'=36.(★★★)通過某導(dǎo)體橫截面的電量q(單位:C)關(guān)于時(shí)間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系式為qt=2(1)求當(dāng)t從1s變到5s時(shí)，電量q關(guān)于時(shí)間(2)求q'(5)，并解釋它的實(shí)際意義.答案(1)65(C/s),它表示從1s到(2)153(C/s)，它表示在t=5s解析(1)當(dāng)t從1s變到5s時(shí)，電量q從5C變到265C，此時(shí)電量q關(guān)于時(shí)間t的平均變化率為q(5)-q(1)5-1它表示從1s到5s這段時(shí)間內(nèi)，平均每秒通過該導(dǎo)體橫截面的電量為65C(2)∵q'它表示在t=5s時(shí)，每秒通過該導(dǎo)體橫截面的電量為153C，即電流強(qiáng)度為153C/【題型3】復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)解讀】1復(fù)合函數(shù)對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=g(x)，若通過變量u,y可以表示成x的函數(shù)，則稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=f(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y=f(g(x))．【例】函數(shù)y=e2x2函數(shù)y=cos(2x-π2簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=f(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系是y即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積?！纠咳鬴x=ln?(x則f'【典題1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=(2x2+3)(3x-1)；(2)解析(1)∵y=(2∴=4x(2)∵y=(∴y(3)∵y∴y【鞏固練習(xí)】1.(★★)函數(shù)y=sin?A．y'=cos?2C．y'=(4x+1)cos?答案C解析設(shè)y=sin?u，u=2x∴y故選：C．2.(★★)已知f(x)=cos2A．-2sin2x+2C．2sin2x答案A解析∵f(x3.(★★)若函數(shù)f(x)=12sin?2A.僅有最小值的奇函數(shù)B.僅有最大值的偶函數(shù)C.既有最大值又有最小值的偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)答案C解析∵函數(shù)fx=12當(dāng)cos?x=-14時(shí)，f'(x)取得最小值-98；當(dāng)cosx=1時(shí)，f'(4.(★★)某鐵球在0°C時(shí)，半徑為1dm.當(dāng)溫度在很小的范圍內(nèi)變化時(shí)，由于熱脹冷縮，鐵球的半徑會(huì)發(fā)生變化，且當(dāng)溫度為t°C時(shí)鐵球的半徑為(1+at)dm，其中a為常數(shù)，則在t=0時(shí)，鐵球體積對(duì)溫度的瞬時(shí)變化率為答案4πa.解析V球=則V球即在t=0時(shí)，鐵球體積對(duì)溫度的瞬時(shí)變化率為4πa.5.(★★★)1696年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定末定式值的方法.如：limx→0?sinx答案2解析由題意可得:limx→06.(★★★)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=(2x3-x+1x)4；(2)答案(1)4(2x3-x+1x)3解析(1)y(2)y(3)y'=2(4)y'=【題型4】導(dǎo)數(shù)的幾何意義【知識(shí)點(diǎn)解讀】導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0切線l的方程為y-f(x解析"過點(diǎn)x=x0”與"在點(diǎn)x=曲線C：y=f(x)在點(diǎn)P(x過點(diǎn)P(x0,y0)【典題1】函數(shù)y=f(xA.f'(2)>0B.f'6解析由f(x)的圖象可知f(x)在[1，5]上單調(diào)遞減，

所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，f'(3)<0，f【典題2】已知曲線y=2x3(1)求曲線在點(diǎn)P(-1,2)處的切線方程；(2)求曲線過點(diǎn)P(-1,2)的切線方程；(3)求斜率為24的切線方程．解析(1)y=2x3+4的導(dǎo)數(shù)y'=6則切線方程為：y-2=6(x+1)，即為y=6x+8；(2)令切點(diǎn)(m,n)，則切線的斜率為6m2，由兩點(diǎn)的斜率公式得n-2又n=2m3+4②，由①②解得，m=-1則切線的斜率為6或32，即切線方程為y=6x+8或y故所求的切線方程為：y=6x+8或y=3(3)y=2x3+4的導(dǎo)數(shù)y'=6x2將x=2代入曲線方程，得y=20；將x=-2代入曲線方程，得y=-12．即切點(diǎn)為(2,20)，或(-2,-12)．則切線方程為：y-20=24(x-2)或y+12=24(x+2)，即有y=24x-28或y=24x+36．【鞏固練習(xí)】1.(★★)已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示，設(shè)k=f(x1)-f(xA．k<f'(x1)<f'(C．f'(x2)<f'(答案B解析函數(shù)的增長越來越快，所以函數(shù)在該點(diǎn)的斜率越來越大，f'(x1)<k<f'(2.(★★)(多選)小明從家里到學(xué)校行走的路程S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系表示如圖，記t時(shí)的瞬時(shí)速度為V(t)，區(qū)間[0,t1]，[0,t2]，[tA.V1B.V1C.對(duì)于Vi(i=1，D.整個(gè)過程小明行走的速度一直在加快答案ABC解析由題意可知；V1由圖像可知t1<t2且2t1>t2，因此V1=S02t1<故V1+V32>V2故存在mt∈(0，t2)，使得Vmi=Vi，即當(dāng)mi=t1時(shí)，V(mt)=3.(★)曲線y=x3+lnx+1在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為(A．3x-y-1=0 B．4x-y-2=0 C．4x+y-6=0 D．3x+y-5=0答案B解析由y=x3+lnx+1∴曲線在(1,2)處的斜率k=y∴曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為y－即4x-y-2=0．故選：B．4.(★★)過函數(shù)f(x)=13x3-x2圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)作函數(shù)的切線，則切線傾斜角的范圍為A．[0,3π4]B．[0,π2)∪[答案B解析由函數(shù)f(x)=13x設(shè)函數(shù)f(x)=13x3-則f'∴tanα≥-1，∴0≤α<π2或∴過函數(shù)f(x)=1切線傾斜角的范圍為0,π故選：B．5.(★★)已知曲線y=x2+54在點(diǎn)12,32處的切線為l，數(shù)列an的首項(xiàng)為1，點(diǎn)aA． B． C． D．答案B解析由y=x2+54∴切線1:y-32=1×∵點(diǎn)an,a∴an+1=an+1，則數(shù)列∴數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S故選：B．6.(★★)已知直線y=kx是曲線y=ex的切線，則實(shí)數(shù)k的值為(A．1e B．-1e C．-e答案D解析曲線y=ex的導(dǎo)數(shù)為y'=e則過P的切線方程為y-代入(0,0)點(diǎn)得x0=1，故選：D．7.(★★★)若過點(diǎn)P(1,0)作曲線y=x3的切線，則這樣的切線共有()A．0條 B．1條 C．2條 D．3條答案C解析設(shè)切點(diǎn)為x0,x03，由y=所以切線方程為y-x03因?yàn)榍芯€過點(diǎn)P(1,0)，所以0=3x02-2x所以過點(diǎn)P(1,0)作曲線y=x3的切線可以作故選：C．8.(★★★)已知a,b為正實(shí)數(shù)，直線y=x-a與曲線y=ln?(x+b)相切，則1aA．2 B．4 C．8 D．16答案D解析設(shè)切點(diǎn)為x0,x所以1a當(dāng)且僅當(dāng)ba=9ab?b=故選：D．9.(★★★)設(shè)曲線y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y=1x(x>0)上點(diǎn)P的切線垂直，則P答案(1,1)解析∵f'(x)=ex，∵y=ex在(0,1)處的切線與y=1∴點(diǎn)P處的切線斜率為-1．又y'=-1x2，設(shè)點(diǎn)P∴x0=±1，∵x>0∴y0=110.(★★★)若直線y=kx+b是曲線y=ex-2的切線，也是曲線y=ex-1的切線，則b=答案1解析設(shè)直線y=kx+b與y=ex-2和y=ex-1的切點(diǎn)分別為(x1則切線分別為y-ex1化簡得：y=ex1依題意有：ex∴x則b=e故答案為：12ln2-11.(★)已知物體做直線運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)為S=S(t)，其中S表示路程，t表示時(shí)間．則SA.經(jīng)過4s后物體向前走了10B.物體在前4秒內(nèi)的平均速度為10mC.物體在第4秒內(nèi)向前走了10mD.物體在第4秒時(shí)的瞬時(shí)速度為10答案D解析∵物體做直線運(yùn)動(dòng)的方程為S=S(t)，

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，S(t)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是t時(shí)刻的瞬時(shí)速度，

∴S2.(★★)設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f'(x)，若f(A．-12 B．32 C．1答案A解析f(x)=∴f故選：A．3.(★)函數(shù)f(x)=x+2A．2(x2-1) B．2(x2+1)答案C解析f'故選：C．4.(★★)某堆雪在融化過程中，其體積V(單位：m3)與融化時(shí)間t(單位：h)近似滿足函數(shù)關(guān)系：V(t)=H10-110t3(H為常數(shù))A.v1>vB.v2>vC.v解析根據(jù)題意，V=V(100)-V(0)100-0，反映的是v(t)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)連線的斜率，

瞬時(shí)融化速度分別為v1，5.(★★★)已知曲線C1:y=x3，曲線C2A．l與C1，C2均相切 B．l與C1，C．l與C1相切，l與C2不相切 D．l與C1不相切，l答案A解析設(shè)曲線C1:y=x3在點(diǎn)則3x02=0,y0=設(shè)曲線C2:y=cos?x-1在點(diǎn)則-sin?x所以x