山西省太原市高三下學期高考三模數(shù)學（文科）試卷

2021年山西省太原市高考數(shù)學三模試卷（文科）一、選擇題：共12小題，每題5分，共60分.1．已知復數(shù)z滿足，則在復平面內(nèi)與復數(shù)z對應(yīng)的點的坐標為（）A．（1，﹣1） B．（1，1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）2．已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，則圖中陰影部分表示的集合是（）A．{﹣1} B．{0，1} C．{2，3} D．{﹣1，2，3}3．設(shè)m∈R，則“m＞1”是“m2＞1”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．2020年初，新型冠狀病毒（COVID﹣19）引起的肺炎疫情爆發(fā)以來，各地醫(yī)療機構(gòu)采取了各種針對性的治療方法，取得了不錯的成效，某醫(yī)療機構(gòu)開始使用中西醫(yī)結(jié)合方法后，每周治愈的患者人數(shù)如表所示：第x周12345治愈人數(shù)y（單位：十人）38101415由上表可得y關(guān)于x的線性回歸方程為，則此回歸模型第5周的殘差（實際值減去預報值）為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．25．已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列正確的結(jié)論是（）A．若m∥n，m∥α，n∥β，則α∥β B．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n C．若m⊥n，m⊥α，則n∥α D．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β6．古代中國的太極八卦圖是以圓內(nèi)的圓心為界，畫出相同的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有陰眼，陰魚的頭部有陽眼，表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊含現(xiàn)代哲學中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律．圖2（正八邊形ABCDEFGH）是由圖1（八卦模型圖）抽象而得到，并建立如圖2的平面直角坐標系，設(shè)OA＝1．則下列錯誤的結(jié)論是（）A． B．以射線OF為終邊的角的集合可以表示為 C．在以點O為圓心、OA為半徑的圓中，弦AB所對的劣弧弧長為 D．正八邊形ABCDEFGH的面積為7．已知實數(shù)a，b滿足3×2a﹣2b+1＝0，，則下列正確的結(jié)論是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．c＞b＞a8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若N＝2021，則輸出的p＝（）A． B． C． D．9．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C．3 D．210．已知銳角α，β滿足，則的最小值為（）A．4 B． C．8 D．11．已知三棱臺ABC﹣A1B1C1中，三棱錐A﹣A1B1C1的體積為4，三棱錐A1﹣ABC的體積為8，則該三棱臺的體積為（）A． B． C． D．12．已知點F是雙曲線的左焦點，過原點的直線l與該雙曲線的左、右兩支分別相交于點A，B，則的取值范圍是（）A．[﹣1，0） B． C． D．[﹣1，+∞）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊擊中目標的概率．先由計算器給出0到9之間取整數(shù)的隨機數(shù)，規(guī)定0，1，2表示沒有擊中目標，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標，以4個隨機數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：60113661959769471417469803716233261680457424761042817527029371409857034743738636根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該運動員射擊4次至少擊中3次目標的概率為．14．若命題“任意的x∈R，x2+ax+1≥0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是．15．已知實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是．16．已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣x，g（x）＝ex﹣x，若存在實數(shù)m，n，使得f（m）﹣g（n）≥﹣2成立，則實數(shù)m﹣n＝．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．如圖，A，B，C為山腳兩側(cè)共線的三點，在山頂P處測得這三點的俯角分別為α＝30°，β＝60°，γ＝45°，現(xiàn)計劃沿直線AC開通一條穿山隧道DE，經(jīng)測量AD＝100m，BE＝34m，BC＝85m．（Ⅰ）求PB的長；（Ⅱ）求隧道DE的長（精確到1m）．附：；．18．為進一步保護環(huán)境，加強治理空氣污染，某市環(huán)保監(jiān)測部門對市區(qū)空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了市區(qū)100天的空氣質(zhì)量等級與當天空氣中SO2的濃度（單位：μg/m3），整理數(shù)據(jù)得到如表：SO2的濃度空氣質(zhì)量等級[0，50]（50，150]（150，475]1（優(yōu)）28622（良）5783（輕度污染）3894（中度污染）11211若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，回答以下問題．（Ⅰ）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；（Ⅱ）完成下面的2×2列聯(lián)表，SO2的濃度空氣質(zhì)量[0，150]（150，475]空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為該市一天的空氣質(zhì)量與當天SO2的濃度有關(guān)？附：．P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.82819．如圖，O1，O2分別是圓臺上、下底面的圓心，AB是下底面圓的直徑，AB＝2O1O2，點P是下底面內(nèi)以AO2為直徑的圓上的一個動點（點P不在AO2上）．（Ⅰ）求證：平面APO1⊥平面PO1O2；（Ⅱ）若AB＝2，當三棱錐O1﹣APO2體積最大時，求點B到平面APO1的距離．20．已知面積為16的等腰直角△AOB（O為坐標原點）內(nèi)接于拋物線y2＝2px（p＞0），OA⊥OB，過拋物線的焦點F且斜率為2的直線l與該拋物線相交于P，Q兩點，點M是PQ的中點．（Ⅰ）求此拋物線的方程和焦點F的坐標；（Ⅱ）若焦點在y軸上的橢圓C經(jīng)過點M，其離心率，求橢圓C的標準方程．21．已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣+1﹣ln2在點（2，f（2））處的切線方程為y＝﹣x+1．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)x1，x2（x1＜x2）是函數(shù)g（x）＝f（x）﹣m的兩個零點，求證：x2﹣x1＜﹣4m．（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.[選修44：坐標系與參數(shù)方程]22．在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．（Ⅰ）求曲線C的極坐標方程；（Ⅱ）設(shè)點A的極坐標為，點B（異于點O和點A）在曲線C上，求△AOB面積的最大值．[選修45：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）＝|2x+1|﹣|mx﹣1|（m＞0）．（1）當m＝2時，解不等式f（x）＜2；（2）若f（x）有最小值，且關(guān)于x的方程f（x）＝有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知復數(shù)z滿足，則在復平面內(nèi)與復數(shù)z對應(yīng)的點的坐標為（）A．（1，﹣1） B．（1，1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）解：∵＝，∴在復平面內(nèi)與復數(shù)z對應(yīng)的點的坐標為（1，1），故選：B．2．已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，則圖中陰影部分表示的集合是（）A．{﹣1} B．{0，1} C．{2，3} D．{﹣1，2，3}解：由題意可得：A∩B＝{0，1}，∴陰影部分表示的集合為：{2，3}，故選：C．3．設(shè)m∈R，則“m＞1”是“m2＞1”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解：解二次不等式m2＞1，得m＜﹣1或m＞1，∴“m＞1”是“m2＞1”的充分不必要條件，故選：A．4．2020年初，新型冠狀病毒（COVID﹣19）引起的肺炎疫情爆發(fā)以來，各地醫(yī)療機構(gòu)采取了各種針對性的治療方法，取得了不錯的成效，某醫(yī)療機構(gòu)開始使用中西醫(yī)結(jié)合方法后，每周治愈的患者人數(shù)如表所示：第x周12345治愈人數(shù)y（單位：十人）38101415由上表可得y關(guān)于x的線性回歸方程為，則此回歸模型第5周的殘差（實際值減去預報值）為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2解：，，即樣本點的中心坐標為（3，10），代入，可得10＝，解得，∴線性回歸方程為，取x＝5，得，∴此回歸模型第5周的殘差為15﹣16＝﹣1．故選：A．5．已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列正確的結(jié)論是（）A．若m∥n，m∥α，n∥β，則α∥β B．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n C．若m⊥n，m⊥α，則n∥α D．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β解：若m∥n，m∥α，n∥β，則α∥β或α與β相交，故A錯誤；若α∥β，m?α，n?β，則m∥n或m與n異面，故B錯誤；若m⊥n，m⊥α，則n∥α或n?α，故C錯誤；若m⊥n，m⊥α，則n∥α或n?α，又n⊥β，所以α⊥β，故D正確．故選：D．6．古代中國的太極八卦圖是以圓內(nèi)的圓心為界，畫出相同的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有陰眼，陰魚的頭部有陽眼，表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊含現(xiàn)代哲學中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律．圖2（正八邊形ABCDEFGH）是由圖1（八卦模型圖）抽象而得到，并建立如圖2的平面直角坐標系，設(shè)OA＝1．則下列錯誤的結(jié)論是（）A． B．以射線OF為終邊的角的集合可以表示為 C．在以點O為圓心、OA為半徑的圓中，弦AB所對的劣弧弧長為 D．正八邊形ABCDEFGH的面積為解：如圖所示：對于A：，故A正確；對于B：以射線OF為終邊的角的集合可以表示，故B正確；對于C：在以點O為圓心、OA為半徑的圓中，弦AB所對的劣弧弧長為，故C正確；對于D：正八邊形ABCDEFGH的面積為，故D錯誤．故選：D．7．已知實數(shù)a，b滿足3×2a﹣2b+1＝0，，則下列正確的結(jié)論是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．c＞b＞a解：∵3×2a﹣2b+1＝0，∴3×2a＝2b+1，∵3×2a＞2×2a＝2a+1，∴2b+1＞2a+1，∴b＞a，又∵≥c+1，∴a＞c，故選：B．8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若N＝2021，則輸出的p＝（）A． B． C． D．解：模擬程序的運行，可得程序框圖的功能是計算并輸出p＝1+（）1+（）2+....+（）2021的值，由于p＝1+（）1+（）2+....+（）2021＝1+＝2﹣．故選：C．9．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C．3 D．2解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為底面為等腰直角三角形，高為3的直棱柱ABC﹣DEF，切去一個四棱錐體C﹣ABGH；如圖所示：所以＝．故選：A．10．已知銳角α，β滿足，則的最小值為（）A．4 B． C．8 D．解：因為銳角α，β滿足，所以cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝，令x＝cosαcosβ，y＝sinαsinβ，則x+y＝，由題意得x＞0，y＞0，則＝＝2（x+y）（）＝2（2+）＝8，當且僅當x＝y(tǒng)時取等號，此時的最小值8．故選：C．11．已知三棱臺ABC﹣A1B1C1中，三棱錐A﹣A1B1C1的體積為4，三棱錐A1﹣ABC的體積為8，則該三棱臺的體積為（）A． B． C． D．解：設(shè)S△ABC＝S1，，棱臺的高為h，由已知，得，得，，則，∴三棱臺ABC﹣A1B1C1的體積V＝＝＝．故選：B．12．已知點F是雙曲線的左焦點，過原點的直線l與該雙曲線的左、右兩支分別相交于點A，B，則的取值范圍是（）A．[﹣1，0） B． C． D．[﹣1，+∞）解：∵雙曲線，∴a2＝4，b2＝5，c2＝a2+b2＝5+4＝9，即a＝2，b＝，c＝3，∵雙曲線與過原點的直線l都關(guān)于原點對稱，∴|FA|＝|F2B|，∵由雙曲線的定義，可知|FB|﹣|F2B|＝2a＝4，∴|FA|＝|FB|﹣4，設(shè)|FB|＝d，d≥a+c＝5，∴＝，設(shè)f（d）＝，d≥5，求導可得f'（d）＝，∴f（d）在[5，6）單調(diào)遞減，在（6，+∞）單調(diào)遞增，，又∵當d趨近于正無窮時，f（d）趨近于0，∴f（d）的取值范圍為[﹣1，0），則的取值是[﹣1，0）．故選：A．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊擊中目標的概率．先由計算器給出0到9之間取整數(shù)的隨機數(shù)，規(guī)定0，1，2表示沒有擊中目標，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標，以4個隨機數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：60113661959769471417469803716233261680457424761042817527029371409857034743738636根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該運動員射擊4次至少擊中3次目標的概率為0.6．解：根據(jù)題意，在20組隨機數(shù)中，表示至少擊中3次目標的3661、9597、6947、4698、6233、8045、7424、7527、9857、0347、4373、8636；共12個，則該運動員射擊4次至少擊中3次目標的概率P＝＝0.6；故答案為：0.6．14．若命題“任意的x∈R，x2+ax+1≥0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．解：∵命題“任意的x∈R，x2+ax+1≥0”是假命題，∴△＝a2﹣4＞0，∴a＞2或a＜﹣2．故答案為：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．15．已知實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是[﹣1，3]．解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立方程組解得A（2，1），B（1，3），則t＝∈[，3]，∴＝，可知當t＝1時，有最小值﹣1；當t＝3時，有最大值3．∴的取值范圍是[﹣1，3]．故答案為：[﹣1，3]．16．已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣x，g（x）＝ex﹣x，若存在實數(shù)m，n，使得f（m）﹣g（n）≥﹣2成立，則實數(shù)m﹣n＝1．解：∵f（x）＝lnx﹣x，∴f'（x）＝（x＞0），令f'（x）＝0，則x＝1，當0＜x＜1時，f'（x）＞0，當x＞1時，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴f（x）在x＝1上取得極大值點，也為最大值點，即f（x）max＝f（1）＝﹣1，∵g（x）＝ex﹣x，∴g'（x）＝ex﹣1，令g'（x）＝0，則x＝0，當x＜0時，g'（x）＜0，當x＞0時，g'（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（x）在x＝0上取得極小值點，也為最大值點，即g（x）min＝g（0）＝1，∴任取m，n都有f（m）﹣g（n）≤f（1）﹣g（0）＝﹣2，∴若要使f（m）﹣g（n）≥﹣2成立，則必有m＝1，n＝0，∴m﹣n＝1．故答案為：1．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．如圖，A，B，C為山腳兩側(cè)共線的三點，在山頂P處測得這三點的俯角分別為α＝30°，β＝60°，γ＝45°，現(xiàn)計劃沿直線AC開通一條穿山隧道DE，經(jīng)測量AD＝100m，BE＝34m，BC＝85m．（Ⅰ）求PB的長；（Ⅱ）求隧道DE的長（精確到1m）．附：；．【解答】（Ⅰ）由題意知：∠BPC＝β﹣γ＝600﹣450＝150，∠PBC＝180°﹣β＝1200，所以∠PCB＝180°﹣150﹣1200＝450．在△PCB中，由正弦定理得：，＝，即PB＝m．（Ⅱ）在△PAB中，∠PAB＝α＝300，∠ABP＝β＝600，所以∠APB＝90°，所以AB＝2PB＝464，所以DE＝AB﹣AD﹣BE＝464﹣100﹣34＝330m．18．為進一步保護環(huán)境，加強治理空氣污染，某市環(huán)保監(jiān)測部門對市區(qū)空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了市區(qū)100天的空氣質(zhì)量等級與當天空氣中SO2的濃度（單位：μg/m3），整理數(shù)據(jù)得到如表：SO2的濃度空氣質(zhì)量等級[0，50]（50，150]（150，475]1（優(yōu)）28622（良）5783（輕度污染）3894（中度污染）11211若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，回答以下問題．（Ⅰ）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；（Ⅱ）完成下面的2×2列聯(lián)表，SO2的濃度空氣質(zhì)量[0，150]（150，475]空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為該市一天的空氣質(zhì)量與當天SO2的濃度有關(guān)？附：．P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解：（1）由表格可得，該市100天中空氣質(zhì)量為1的有28+6+2＝36天，空氣質(zhì)量為2的有5+7+8＝20天，空氣質(zhì)量為3的有3+8+9＝20天，空氣質(zhì)量為4的有1+12+11＝24，則該市一天的空氣質(zhì)量等級為1的概率為，該市一天的空氣質(zhì)量等級為2的概率為，該市一天的空氣質(zhì)量等級為3的概率為該市一天的空氣質(zhì)量等級為4的概率為．（2）由表格數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表如下：SO2的濃度空氣質(zhì)量[0，150]（150，475]空氣質(zhì)量好4610空氣質(zhì)量不好2420（3）由（2）可得，∴有99%的把握認為該市一天的空氣質(zhì)量與當天SO2的濃度有關(guān)．19．如圖，O1，O2分別是圓臺上、下底面的圓心，AB是下底面圓的直徑，AB＝2O1O2，點P是下底面內(nèi)以AO2為直徑的圓上的一個動點（點P不在AO2上）．（Ⅰ）求證：平面APO1⊥平面PO1O2；（Ⅱ）若AB＝2，當三棱錐O1﹣APO2體積最大時，求點B到平面APO1的距離．解：（Ⅰ）證明：由題意可得O1O2⊥平面PAB，所以O(shè)1O2⊥PA，因為AO2為直徑，所以AP⊥PO2，因為PO2∩O1O2＝O2，所以AP⊥平面PO1O2，又AP?平面APO1，所以平面APO1⊥平面PO1O2；（Ⅱ）由題意可得，當AP＝PO2時，三棱錐O1﹣APO2的體積最大，設(shè)點O2到平面APO1的距離為d，由（Ⅰ）可得AP⊥PO2，AP⊥平面PO1O2，因為AB＝2，所以AO2＝O1O2＝1，AP＝PO2＝，V＝V，即S?O1O2＝S?d，所以d＝＝＝＝＝，所以B到平面APO1的距離為．20．已知面積為16的等腰直角△AOB（O為坐標原點）內(nèi)接于拋物線y2＝2px（p＞0），OA⊥OB，過拋物線的焦點F且斜率為2的直線l與該拋物線相交于P，Q兩點，點M是PQ的中點．（Ⅰ）求此拋物線的方程和焦點F的坐標；（Ⅱ）若焦點在y軸上的橢圓C經(jīng)過點M，其離心率，求橢圓C的標準方程．解：（Ⅰ）由題意可知點A與點B分別在直線y＝x和y＝﹣x上，不妨設(shè)A（m，m）（m＞0），則S△AOB＝m2＝16，所以m＝4，所以A（4，4），因為點A在拋物線y2＝2px上，所以p＝2，所以此拋物線的方程為y2＝4x，焦點F的坐標為（1，0）．（Ⅱ）由（Ⅰ），得F（1，0），直線l的方程為x＝y(tǒng)+1，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0），由，得y2﹣2y﹣4＝0，所以y1+y2＝2，所以y0＝1，x0＝，所以M（，1），由題意可設(shè)橢圓C的方程為+＝1（a＞b＞0），由，解得，所以橢圓C的標準方程為+＝1．21．已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣+1﹣ln2在點（2，f（2））處的切線方程為y＝﹣x+1．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)x1，x2（x1＜x2）是函數(shù)g（x）＝f（x）﹣m的兩個零點，求證：x2﹣x1＜﹣4m．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）＝alnx﹣+1﹣ln2，∴f′（x）＝﹣（x＞0），∵f′（2）＝，∴a＝1，∴f′（x）＝﹣＝，令f′（x）＞0，得0＜x＜，令f′（x）＜0，得x＞，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，），單調(diào)減區(qū)間為（，+∞）；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得，f（x）＝lnx﹣+1﹣ln2，