2023-2024學(xué)年綿陽(yáng)市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末質(zhì)量測(cè)試卷附答案解析

-2024學(xué)年綿陽(yáng)市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末質(zhì)量測(cè)試卷2024年1月試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名用0.5毫來(lái)果色簽字筆填寫(xiě)清楚，同時(shí)用2B鉛筆將考號(hào)準(zhǔn)確填涂在“準(zhǔn)考證號(hào)”欄目?jī)?nèi).2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用榢皮擦擦干凈后再選梌其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)在答題卡的對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.3.考試結(jié)束后將答題卡收回.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．直線的一個(gè)方向向量是（

）A． B． C． D．2．拋物線的準(zhǔn)線方程為(

)A． B． C． D．3．已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則（

）A． B． C． D．4．已知，兩點(diǎn)到直線：的距離相等，則（

）A． B．6 C．或4 D．4或65．科技博覽會(huì)需從5個(gè)女生（分別記為，，，，）中選2人參加志愿者服務(wù)，已知這5個(gè)人被選中的機(jī)會(huì)相等，則被選中的概率為（

）A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.756．在平行六面體中，，若，，，則（

）A． B．C． D．7．如圖，定圓的半徑為定長(zhǎng)，是圓外一個(gè)定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn).線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是（

）

A．射線 B．橢圓 C．雙曲線 D．圓8．如圖，已知菱形所在平面與矩形所在平面相互垂直，且，為線段的中點(diǎn).則直線與的所成的角為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（

）A．將空間所有的單位向量平移到一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面B．若非零向量，，滿(mǎn)足，，則有C．與一個(gè)平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量D．若，，為空間的一組基底，且，則，，，四點(diǎn)共面10．如果一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，則下面敘述正確的是（

）.A．這組數(shù)據(jù)是近似對(duì)稱(chēng)的 B．?dāng)?shù)據(jù)中可能有極端大的值C．?dāng)?shù)據(jù)中可能有異常值 D．?dāng)?shù)據(jù)中眾數(shù)可能和中位數(shù)相同11．某電商平臺(tái)對(duì)去年春節(jié)期間消費(fèi)的前1000名網(wǎng)購(gòu)者，按性別等比例分層抽樣100名，并對(duì)其性別（（男）、（女））及消費(fèi)金額（（消費(fèi)金額>400），B（200<消費(fèi)金額≤400），（0<消費(fèi)金額≤200）進(jìn)行調(diào)查分析，得到如人數(shù)統(tǒng)計(jì)表，則下列選項(xiàng)正確的是（

．這1000名網(wǎng)購(gòu)者中女性有490人 B．C． D．12．設(shè)橢圓：（）與雙曲線：（，）有相同的左右焦點(diǎn)且分別為，，離心率分別為，.設(shè)與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，且滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知直線：與直線：.若，則.14．利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，從個(gè)個(gè)體（）中抽取15個(gè)個(gè)體，若第二次抽取時(shí)，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為.則在整個(gè)抽樣過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為.15．已知、是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為，且的面積為（為雙曲線的半焦距），則的漸近線方程為.16．如圖①是直角梯形，，，是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，以為折痕將折起，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)的位置時(shí)，四棱錐的體積最大，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則面積的最小值為.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．從出游方式看，春節(jié)期間是家庭旅游好時(shí)機(jī).某地區(qū)消費(fèi)者協(xié)會(huì)調(diào)查了部分2023年春節(jié)以家庭為單位出游支出情況，統(tǒng)計(jì)得到家庭旅游總支出（單位：百元）頻率分布直方圖如圖所示.（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）(1)求的值；(2)估計(jì)家庭消費(fèi)總支出的平均值及第80百分位數(shù).（結(jié)果保留一位小數(shù)）18．已知直線：（），圓：.(1)試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并加以證明；(2)若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)直線的方程.19．已知空間四點(diǎn)，，，，滿(mǎn)足.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求以，為鄰邊的平行四邊形的面積.20．多項(xiàng)選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常見(jiàn)題型，從，，，四個(gè)選項(xiàng)中選出所有正確的答案（四個(gè)選項(xiàng)中至少有兩個(gè)選項(xiàng)是正確的），其評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.(1)甲同學(xué)有一道多項(xiàng)選擇題不會(huì)做，他隨機(jī)選擇至少兩個(gè)選項(xiàng)，求他猜對(duì)本題得5分的概率；(2)現(xiàn)有2道多項(xiàng)選擇題，根據(jù)訓(xùn)練經(jīng)驗(yàn)，每道題乙同學(xué)得5分的概率為，得2分的概率為；丙同學(xué)得5分的概率為，得2分的概率為.乙、丙二人答題互不影響，且兩題答對(duì)與否也互不影響，求這2道多項(xiàng)選擇題乙比丙總分剛好多得5分的概率.21．在三棱臺(tái)中，平面，，且，，為的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且（）.(1)求證：平面；(2)已知，且直線與平面的所成角的正弦值為時(shí)，求平面與平面所成夾角的余弦值.22．在直角坐標(biāo)系中，已知，，，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，記點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)給出如下定理：在一般情況下，若二次曲線的方程為：（，，不全為0），則經(jīng)過(guò)該曲線上一點(diǎn)的切線方程為：.若過(guò)（）作（1）問(wèn)曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，切線，分別交軸于，兩點(diǎn)，求的最大值.1．A【分析】求出給定直線的斜率即可得該直線的一個(gè)方向向量，再求與共線的向量即可.【詳解】直線的斜率為，則直線的一個(gè)方向向量，對(duì)于A，因，即向量與共線，A是；對(duì)于B，因，即向量與不共線，B不是；對(duì)于C，因，即向量與不共線，C不是；對(duì)于D，因，即向量與不共線，D不是.故選：A.2．C【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】由題知，拋物線方程為，則其準(zhǔn)線方程為.故選：C3．B【分析】求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量的模長(zhǎng)公式可求得的值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則，則，因此，.故選：B.4．D【分析】求出點(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到直線的距離，二者相等求解方程即可.【詳解】點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到直線的距離相等，所以，所以或.故選：D.5．B【分析】由組合數(shù)以及條件概率即可求解.【詳解】由題意若被選中，則只需從其余四個(gè)人中再選一個(gè)人即可，所以被選中的概率為.故選：B.6．A【分析】利用空間向量的基本定理可得出關(guān)于、、的表達(dá)式.【詳解】在平行六面體中，，若，，，則，則，所以，.故選：A.7．C【分析】連接、，由題意可得，所以，根據(jù)雙曲線的定義，即可得答案.【詳解】連接、，如圖所示：

因?yàn)闉榈拇怪逼椒志€，所以，所以為定值，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓外，所以，根據(jù)雙曲線定義，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線.故選：C.8．B【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，得出即可求解.【詳解】設(shè)菱形對(duì)角線相交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，，又為矩形的邊的中點(diǎn).所以，又面面，，面，所以面，所以面，又面，所以，所以?xún)蓛苫ハ啻怪?，所以以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：不妨設(shè)，，則，所以，所以，所以直線與的所成的角為.故選：B.9．AC【分析】對(duì)于ABC，由單位向量、法向量的定義即可判斷；對(duì)于D，由四點(diǎn)共面的充要條件判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由單位向量的定義：長(zhǎng)度為1的向量，可得將空間所有的單位向量平移到一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，故A正確；對(duì)于B，若非零向量，，不共面，則取為平面的一組基底向量，為平面的法向量滿(mǎn)足，，但不共線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由法向量的定義可知與一個(gè)平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，，，四點(diǎn)不共面，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．BCD【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)等數(shù)據(jù)特征判斷．【詳解】一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，說(shuō)明數(shù)據(jù)中有極端大的值，也即異常值，眾數(shù)只是比較多的數(shù)據(jù)，可以與中位數(shù)相同，這組數(shù)據(jù)顯然不可能近似對(duì)稱(chēng)，A錯(cuò)，BCD正確．故選：BCD．11．BC【分析】根據(jù)樣本表格來(lái)估計(jì)總體，計(jì)算各個(gè)不同積事件與和事件的概率即可.【詳解】對(duì)于，由表格可知，在樣本中女性占比是，所以估計(jì)這名網(wǎng)購(gòu)者中有480名女性，故錯(cuò)誤；對(duì)于，表格中可知共有35名，所以，故正確；對(duì)于，包含的樣本有17個(gè)，所以，故正確；對(duì)于，包含個(gè)，故，故錯(cuò)誤.故選：BC12．BD【分析】設(shè)，根據(jù)橢圓、雙曲線的定義求得，進(jìn)而判斷AB；由，結(jié)合向量相關(guān)知識(shí)可得，進(jìn)而判斷CD.【詳解】設(shè)，，則，解得，即，故B正確；顯然，可得，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋瑒t，且，即，整理得，則，即，故D正確；因?yàn)椴缓銥?，所以不一定垂直，故C錯(cuò)誤；故選：BD.13．2【分析】根據(jù)兩直線垂直列方程，由此求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故答案為：2.14．【分析】根據(jù)第二次抽取時(shí)余下的每個(gè)個(gè)體被抽取到的概率為求得，可得答案.【詳解】第二次抽取時(shí)，余下的每個(gè)個(gè)體被抽取到的概率為，則，解得，所以在整個(gè)抽樣過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為.故答案為：.15．【分析】計(jì)算出的面積，可得出，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于、、的齊次等式，求出、的等量關(guān)系式，即可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】如下圖所示：雙曲線的漸近線方程為，即，過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為，則，由勾股定理可得，易知為的中點(diǎn)，則，即，可得，即，故雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.16．##【分析】由題意得面面，結(jié)合菱形性質(zhì)，得兩兩互相垂直，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，只需點(diǎn)到直線的距離最小即可，由空間向量法求點(diǎn)到直線的距離即可得解.【詳解】折起前，連接菱形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，所以，所以折起后有，因?yàn)榱庑蔚倪呴L(zhǎng)為2，所以，又因?yàn)?，，且所以在中，有，所以，所以折起前后四邊形的面積固定，若以為折痕將折起，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)的位置時(shí)，四棱錐的體積最大，則此時(shí)點(diǎn)到平面的距離最大，則此時(shí)有面面，又面面，，面，所以面，又面，所以，又，所以?xún)蓛苫ハ啻怪?，所以以為原點(diǎn)，所在直線分別為所在直線建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：若要面積最小，則只需點(diǎn)到直線的距離最小即可，由題意，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，又因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以不妨設(shè)，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以當(dāng)時(shí)，，又，所以面積的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是得到面面，結(jié)合菱形性質(zhì)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，由此即可順利得解.17．(1)(2)，【分析】（1）由頻率分布直方圖中所有矩形的面積和為1列方程即可求解.（2）由平均數(shù)的計(jì)算方法及百分位數(shù)的定義列方程即可求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖，得，∴.（2）平均值為.第80百分位數(shù)為，則，解得.18．(1)直線與圓相交，證明見(jiàn)解析(2)最小值為4，方程為【分析】（1）由直線恒過(guò)定點(diǎn)，并且定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，即可得出直線與圓相交.（2）由題意得直線與直線垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最小，由直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式即可求得答案.【詳解】（1）∵（），∴，令解得∴直線恒過(guò)定點(diǎn).又，∴點(diǎn)在圓內(nèi)部，∴直線與圓相交.（2）∵圓：的圓心為，半徑為3，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最小，此時(shí)，∴直線的斜率為，∴直線的方程為，即.圓心到直線的距離為，∴，∴弦長(zhǎng)的最小值為4，此時(shí)直線的方程為.19．(1)(2)12【分析】（1）由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，求實(shí)數(shù)的值；（2）利用向量數(shù)量積求向量和的模和夾角，面積公式求平行四邊形的面積.【詳解】（1）由題意得，.∵，則，解得（2）由，得，∵，，，∴，.∴.∴以，為鄰邊的平行四邊形的面積為12.20．(1)(2)【分析】（1）求出樣本空間基本事件總數(shù)，由古典概型概率計(jì)算公式即可求解.（2）由互斥加法以及獨(dú)立乘法公式即可求解.【詳解】（1）甲同學(xué)所有可能的選擇答案有11種：，其中正確選項(xiàng)只有一個(gè)，樣本空間,共11個(gè)基本事件，所以他猜對(duì)本題得5分的概率為.（2）由題意得乙得0分的概率為，丙得0分的概率為，乙比丙剛好多得5分的情況包含：事件：乙得10分，丙得5分，則；事件：乙得7分，丙得2分，則；事件：乙得5分，丙得0分，則；所以乙比丙總分剛好多得5分的概率.21．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由題意首先證明平面，即，進(jìn)一步由平面幾何知識(shí)證明即可得證.（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，首先由確定參數(shù)的值，進(jìn)一步求出兩平面的法向量，由夾角余弦公式即可得解.【詳解】（1）∵，且是的中點(diǎn)，則.∵平面，平面，∴.又平面，∴平面，因?yàn)槠矫?，?①∵，∴，則.∵，∴，∴在平面中.②∵平面，∴由①②知平面.（2）由題意得，平面，∴平面.由（1）可知，故為坐標(biāo)原點(diǎn).如圖，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.∵，∴，.∴，，，∵，∴由棱臺(tái)的性質(zhì)得，.由（1）可知平面的一個(gè)法向量為，且.直線與平面的所成角的正弦值為，∴（），即，解得.∴平面的一個(gè)法向量為，且.平面的法向量為.∵，，，即，當(dāng)時(shí)，，.∴平面的一個(gè)法向量為..∴平面與平面所成夾角的余弦值.22．(1)(2)【分析】（1）結(jié)合圓的定義，設(shè)的中點(diǎn)為，利用，化簡(jiǎn)