第3章-立體投影

第三章立體的投影

常見的基本幾何體平面基本體曲面基本體3.1平面立體的投影一平面立體

平面立體：各表面均為平面的幾何體，如棱柱、棱錐等。一、棱柱1、棱柱的組成由兩個底面和幾個側棱面組成。側棱面與側棱面的交線叫側棱線，側棱線相互平行。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影平面立體側表面的交線稱為棱線。若平面立體所有棱線互相平行，稱為棱柱。若平面立體所有棱線交于一點，稱為棱錐。平面立體：所有表面均是平面的幾何體,

如棱柱、棱錐等。棱柱棱錐

——是平面立體各表面投影的集合,

——是由直線段組成的封閉圖形。平面立體的投影1、三棱柱的視圖三棱柱由兩個底面和三個側棱面組成。

(1)度量關系：

長對正，

高平齊，

寬相等。

(2)位置關系：

俯視圖—前后、左右；

主視圖—上下、左右；

左視圖—上下、前后。左右左右上下上下后前后前三視圖之間的投影規(guī)律：

三棱柱的兩底面為水平面，在俯視圖中反映實形。其余三個側棱面都是鉛垂面，俯視圖中積聚，與三角形的邊重合。三棱柱的視圖分析

由于物體三視圖的形狀和大小，與物體對投影面距離的大小無關，所以，在畫圖時為了合理布置圖幅，可以去掉投影軸。

但三視圖之間的投影關系，應嚴格遵守。物體放置位置不一樣得到的投影圖也不一樣在底面平行的投影面上的投影反映底面實形；另兩個投影面上的投影分別為一個或多個矩形

點的可見性規(guī)定：

若點所在平面的投影可見，點的投影可見；若平面的投影積聚成直線，點的投影也可見。2、三棱柱表面的點

由于三棱柱的表面都是平面，所以在三棱柱的表面上取點與在平面上取點的方法相同。mm

k

k

k

m

3、平面立體投影可見性的判別規(guī)律

1)在平面立體的每一投影中，其外形輪廓線都是可見的。

2)在平面立體的每一投影中，外形輪廓線內的直線的可見性，相交時可利用交叉兩直線的重影點來判別。

3)在平面立體的每一投影中，外形輪廓線內，若多條棱線交于一點，且交點可見，則這些棱線均可見，否則均不可見。

4)在平面立體的每一投影中，外形輪廓線內，兩可見表面相交，其交線為可見。兩不可見表面的交線為不可見。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影棱柱有六個側棱面，前后棱面為正平面，它們的正面投影反映實形，水平投影及側面投影積聚為一條直線。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影棱柱的其它四個側棱面均為鉛垂面，其水平投影均積聚為直線。正面投影和側面投影均為類似形。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影圖a(b)d(c)ea’b’d’c’e’a”b”d”c”XZYHYW2、棱柱的三視圖作投影圖時，先畫出正六棱柱的水平投影正六邊形，再根據(jù)其它投影規(guī)律畫出其它的兩個投影。如圖3-2所示。棱柱具有這樣的投影特點：一個投影反映底面實形，而其余兩投影則為矩形或復合矩形。a

aa

(b')b

b"C

C'

C"注意：從現(xiàn)在開始，投影圖中將不畫出投影軸。取點方法：首先判斷點在哪個棱面內。取點方法同在平面表面取點，但要注意可見性的判別。3、棱柱表面上取點1、棱錐的組成由一個底面和幾個側棱面組成。側棱線交于有限遠的一點——錐頂。SABCWVa's'b's"abcb"a"c"sXYZ正三棱錐的投影左圖所示為一正三棱錐，錐頂為S，其底面為△ABC，是水平面，水平投影△abc反映實形。棱面△SAB、△SBC是一般位置平面，它們的各個投影均為類似形。棱面△SAC為側垂面，其側面投影s”a”c”

為一直線。2、棱錐的三視圖投影作三視圖時，先畫出底面△ABC的各個投影，再作出錐頂S的各個投影，然后連接各棱線，即得正三棱錐的三面投影。s’sabca’c’b’a”(b”)c”s”正三棱錐的三面投影圖XYHZYWOSABCWVa's'b's"abcb"a"c"sXYZ方法一：連接s’m’并延長，與a’c’交于2’，2’m2在投影ac上求出Ⅱ點的水平投影2。連接s2，即求出直線SⅡ的水平投影。根據(jù)在直線上的點的投影規(guī)律，求出M點的水平投影m。再根據(jù)知二求三的方法，求出m”。m”a’sbc正三棱錐的三面投影圖s’ac’b’a”(b”)c”s”m’XYHZYW3、三棱錐表面上取點M方法二：1’1m過m’作m’1’∥a’c’，交s’a’于1’。求出Ⅰ點的水平投影1。過1作1m∥ac，再根據(jù)點在直線上的幾何條件，求出m。再根據(jù)知二求三的方法，求出m”。（具體步驟略)sc’b’正三棱錐的三面投影圖s’abca’a”(b”)c”s”m’棱臺棱臺棱臺的H面投影中，外輪廓線大的矩形是棱臺下底面的投影，不可見，反映實形；小的矩形是棱臺上底面的投影，可見也反映實形；四個梯形分別是棱臺四個棱面的投影，可見但不反映實形小結1.平面立體投影的作圖可歸結為繪制平面（立體表面）和直線（棱）投影的作圖?！绻c或直線在特殊位置平面內，則作圖時，可充分利用平面投影有積聚性的特點，由一個投影求出其另外兩個投影；

2.在立體表面上取點、取線的方法與在平面上取點、取線的方法相同?！绻c或直線在一般位置平面內，則需過已知點的一個投影作輔助線，求出其它投影。常用的回轉曲面立體,簡稱回轉體。

——由直線生成的回轉曲面稱為直線回轉面，如：圓柱面、圓錐面等。

回轉曲面是由母線(直線或曲線)繞定軸線作回轉運動生成的。

——曲曲線生成的回轉曲面稱為曲線回轉面，如：圓球面、圓環(huán)面等。母線：形成回轉面的直線或曲線；素線：回轉面上的任一位置的母線。3.2曲面立體的投影1、圓柱的形成圓柱表面由圓柱面和頂面、底面所組成。圓柱面是由一直母線繞與之平行的軸線回轉而成。一、圓柱XZY圓柱的三面投影圖HVWa’a’b’c’d’c’d’acdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”2、圓柱的投影如圖所示，圓柱的軸線垂直于H面，其上下底圓為水平面，水平投影反映實形，其正面和側面投影重影為一直線。而圓柱面則用曲面投影的轉向輪廓線表示。

一個投影為圓，其余二投影均為矩形。規(guī)定：回轉體對某投影面的轉向輪廓線，只能在該投影面上畫出，而在其它投影面上則不再畫出。XZYHWa’a’b’c’d’c’d’acdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”Vaba’a’b’b’a”(b”)a”(b”)c’(d’)c’(d’)cdd’d’c’c’圓柱的投影3、圓柱投影圖的繪制（1）先繪出圓柱的對稱線、回轉軸線。（2）繪出圓柱的頂面和底面。（3）畫出正面轉向輪廓線和側面轉向輪廓線。正面轉向輪廓線側面轉向輪廓線在圓柱表面上取點已知圓柱表面上的點A、B、M及N正面投影a’、b’、m′和n′，求它們的其余兩投影。4、圓柱表面上取點

a’

a”

a

b’

(b”)

b1、圓錐的形成圓錐表面由圓錐面和底圓組成。它是一母線繞與它相交的軸線回轉而成。XZY圖3-11圓錐的三面投影圖HVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)2、圓錐的投影如圖所示，圓錐軸線垂直H面，底面為水平面，它的水平投影反映實形，正面和側面投影重影為一直線。對于圓錐面，要分別畫出正面和側面投影的轉向輪廓線。正面轉向輪廓線側面轉向輪廓線圓錐投影圖的繪制s’a’b’sabcdc”d”c’(d’)s”a’(b’)（1）先繪出圓錐的對稱線、回轉軸線。（2）在水平投影面上繪出圓錐底圓，正面投影和側面投影積聚為直線。

(3)作出錐頂?shù)恼嫱队昂蛡让嫱队安嫵稣孓D向輪廓線和側面轉向輪廓線。圓錐的投影3、圓錐表面上取點在圓錐表面上求點，有兩種方法：即素線法和緯圓法。方法一：素線法過M點及錐頂S作一條素線SⅠ,先求出素線SⅠ的投影,再求出素線上的M點。XZY圓錐的三面投影圖HVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)mm’m”M已知圓錐表面的點M的正面投影m’,求出M點的其它投影。過m’s’作圓錐表面上的素線，延長交底圓為1’。1’11”mm”a’(b’)圖3-14圓錐的投影及表面上的點ss”abcdc”d”s’a’b’c’(d’)m’求出素線的水平投影s1及側面投影s”1”。求出M點的水平投影和側面投影。XZY圓錐的三面投影圖HVWacdba’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)ACBS方法二：緯圓法過M點作一平行于底面的水平輔助圓，該圓的正面投影為過m’且平行于a’b’的直線2’3’，它們的水平投影為一直徑等于2’3’的圓，m在圓周上，由此求出m及m”。mMm’m”mmmnn()n()已知圓錐表面上點M及N的正面投影m′和n′，求它們的其余兩投影。在圓錐表面上取點

a’

a

(a”)球的表面是球面。球面是一條圓母線繞過圓心且在同一平面上的軸線回轉而形成的。1、圓球的形成球的三個投影均為圓，其直徑與球直徑相等，但三個投影面上的圓是不同的轉向輪廓線。2、球的投影(1)圓球的投影

3.圓球主子午線赤道圓側子午線(2)圓球表面上的點和線如圖所示,已知球面上點A的正面投影a`,求它的水平及側面投影a`和a``.R1a`a``a3.4組合體投影圖的作法

由基本幾何體組成的形體稱為組合體。一、基本形體的分類

基本形體：平面體:表面由平面圍成的形體曲面體:表面由曲面或曲面與平面的組合體二、組合體的分類

組合體（根據(jù)構成方式的不同）疊加型組合體：是由若干個基本幾何體疊加而成切割型組合體：是由基本幾何體切割去某些形體而成混合型組合體：是既有疊加又有切割或相交的組合體疊加型組合體：是由若干個基本幾何體疊加而成正六棱柱正圓柱正圓柱正圓錐組合體的組合形式之一疊加式組合體的組合形式之二切割式重慶大學B區(qū)制圖教研室袁曉制作組合體的組合形式之三綜合式組合體的三面正投影圖

基本幾何體在H、V及W投影面上的投影統(tǒng)稱為三面投影。三面投影

在建筑工程制圖中，通常把建筑形體或組合體在投影面上的投影稱為視圖；既把建筑形體或組合體的三面投影圖稱為三面視圖（簡稱三視圖）。三視圖

形體的水平投影稱為平面圖

形體的正面投影稱為正立面圖

形體的側面投影稱為左側立面圖

H面投影又稱為水平投影

V面投影又稱為正面投影

W面投影又稱為側面投影三面投影

把一個復雜形體分解成若干基本形體或簡單形體的方法，稱為形體分析法。它是畫圖、讀圖和標注尺寸的基本方法。三、組合體視圖的畫法1、形體分析2、確定安放位置、投影方向和視圖數(shù)量3、畫投影圖建筑形體的畫法1．形體分析

如下圖a所示為一室外臺階，把它可以看成是由邊墻、臺階、邊墻三大部分組成。四棱柱四棱柱六塊梯形塊楔形塊再如下圖所示是一肋式杯形基礎，可以把它看成由底板、中間挖去一楔形塊的四棱柱和六塊梯形肋板組成。

畫組合體的投影圖時，必須正確表示各基本形體之間的表面連接。形體之間的表面連接可歸納為以下四種情況：（1）兩形體表面相交時，兩表面投影之間應畫出交線的投影；（2）兩形體的表面共面時，兩表面投影之間不應畫線；（3）兩形體的表面相切時，由于光滑過渡，兩表面投影之間不應畫線；（4）兩形體的表面不共面時，兩表面投影之間應該有線分開。共面不畫線不共面要畫線共面共面不共面不共面

⒉兩形體表面相切時，相切處無線相切不畫線不相切要畫線有線有線⒊兩形體相交時，在相交處應畫出交線。2．選擇投射方向

投影圖選擇包括確定物體的安放位置、選擇正面投影及確定投影圖數(shù)量等。（1）確定安放位置

一要使形體處于穩(wěn)定狀態(tài)，二要考慮形體的工作狀況。為了作圖方便，應盡量使形體的表面平行或垂直于投影面。1）應使正面投影盡量反映出物體各組成部分的形狀特征及其相對位置；（2）選擇正面投影

正立面圖是表達形體的一組視圖中最主要的視圖，所以在視圖分析的過程中應重點考慮。其選擇的原則為：2）應使視圖上的虛線盡可能少一些；3）應合理利用圖紙的幅面；正面投影方向建筑立面圖臺階立面圖①.用一個投影表達的物體②.用二個投影表達的物體③.用三個投影表達的物體④.用多面投影表達的物體（3）確定投影圖數(shù)量：用較少的投影圖把物體的形狀完整、清楚、準確的表達出來。①.用一個投影表達的物體②.用二個投影表達的物體門軸鐵腳門軸鐵腳③.用三個投影表達的物體踏面踢面臺階④.用多面投影表達的物體右側立面圖背立面圖3．畫圖步驟（1）選取畫圖比例、確定圖幅（2）布圖、畫基準線

正面投影方向（3）繪制視圖的底稿根據(jù)物體投影規(guī)律，逐個畫出各基本形體的三視圖。

畫圖的順序是：一般先畫實形體，后畫虛形體（挖去的形體）；先畫大形體后畫小形體；先畫整體形狀，后畫細節(jié)形狀。（4）檢查、描深：檢查無誤后，可按規(guī)定的線型進行加深。組合體投影圖畫法1.畫基準線、底板2.畫中間棱柱3.畫肋板4.畫楔形杯口5.整理加深圖線完成柱基礎投影圖例:

畫圖示組合體的投影圖。1）畫出各視圖的主要中心線或定位線，再畫出底板和立板。2）畫底板上孔，畫立板圓孔例：畫支架組合體的三視圖3)畫肋板4)檢查，擦去多余圖線，描深,完成全圖同坡屋面投影練習題（a）確定視圖范圍（b）繪右側欄板

（c）繪臺階（d）繪左后欄板長方體1461061214814108六棱柱四棱臺3.5基本形體、組合體的尺寸標注1.任何基本幾何體都有長、寬、高三個方向上的大小，在視圖上，通常要把反映這三個方向的大小尺寸都標注出來。

一、基本幾何體的尺寸標注

φ1416φ8φ1416sφ44圓柱圓臺圓球3.球的尺寸標注要在直徑數(shù)字前加注“S

”。

4.尺寸一般標注在反映實形的投影上，并盡可能集中注寫在一兩個投影的下方或右方，必要時才注寫在上方或左方。

5.一個尺寸只需標注一次，盡量避免重復。

6.正多邊形的大小，可標注其外接圓的直徑尺寸。

2.對于回轉體，可在其非圓視圖上注出直徑方向尺寸“

”。

不必再標注三、組合體的尺寸標注組合體尺寸標注的基本要求是完整、清晰、合理。

1、尺寸的分類

標注組合體的尺寸時，應先對物體進行形體分析，然后順序標注出其定形尺寸、定位尺寸和總尺寸。

定形尺寸——確定物體各組成部分的形狀、大小的尺寸。

定位尺寸——確定物體各組成部分之間的相對位置的尺寸。

總尺寸——確定物體的總長、總寬和總高的尺寸。

定位尺寸總體尺寸定形尺寸尺寸的種類2、標注尺寸的步驟先定型尺寸后定位尺寸再總尺寸定形尺寸標注尺寸的步驟定位尺寸標注尺寸的步驟總體尺寸標注尺寸的步驟標注尺寸的步驟3、尺寸標注的方法

1）尺寸一般宜注寫在反映形體特征的投影圖上

2）尺寸應盡可能標注在圖形輪廓線外面，不宜與圖線、文字及符號相交；但某些細部尺寸允許標注在圖形內。

3）表達同一幾何形體的定形、定位尺寸，應盡量集中標注。

4）尺寸線的排列要整齊。對同方向上的尺寸線，組合起來排成幾道尺寸，從被注圖形的輪廓線由近至遠整齊排列，小尺寸線離輪廓線近，大尺寸線應離輪廓線遠些，且尺寸線間的距離應相等。

5）盡量避免在虛線上標注尺寸。

3.6軸測投影圖

工程上應用最廣的圖是多面正投影圖。但是在制圖的學習中，大量應用了軸測圖（立體圖），其目的是為了幫助大家理解缺乏立體感的投影圖。軸測圖常作為輔助性圖樣出現(xiàn)在正投影圖中，如右圖所示。盡管畫出的圖有些變形的感覺，但正是這一變形的效果才使得圖形富有立體感。掌握了軸測圖的畫法，將有助于對三視圖的理解。三視圖和軸測圖1軸測投影的相關概念及分類一、軸測圖的概念二、軸測圖的軸間角與軸向變化率三、軸測圖的分類四、軸測圖的基本性質一、軸測圖的概念

概念：將物體和確定物體位置的直角坐標系按一定的投影方向（不平行于任何一條坐標軸）用平行投影法投射到某一選定的投影面（P）上得到的投影圖稱為軸測投影圖，簡稱為軸測圖。

軸測投影是單面投影，單靠物體的一個投影就能反映物體的長、寬、高的整體形狀。該投影面稱為軸測投影面，如圖4-2所示的投影面PSP圖4-2軸測投影二、軸測圖的軸間角與軸向變化率SP圖4-2軸測投影

1.軸測軸與軸間角：如圖4-2所示，空間直角坐標軸X、Y、Z在軸測投影面上的投影X1、Y1、Z1稱為軸測投影軸，簡稱軸測軸，它們相互之間的夾角∠X1O1Y1、∠X1O1Z1、∠Y1O1Z1，稱為軸間角。分別用α、β、γ表示。X1O1AA1

2.軸向伸縮系數(shù)：軸測圖中沿軸測軸方向的線段長度與空間立體上沿坐標軸方向的對應線段長度之比稱為軸向伸縮系數(shù)，各軸的軸向伸縮系數(shù)分別用p、q、r表示。SP圖4-2軸測投影X1O1AA1O1A1OA

=pX軸軸向伸縮系數(shù)O1B1

OB=qY軸軸向伸縮系數(shù)O1C1OC

=rZ軸軸向伸縮系數(shù)B1C1CB三、軸測圖的分類由于投射方向與軸測投影面所成的角度不同，軸測圖可以分為兩類：

1.正軸測圖－－投射方向S與軸測投影面垂直2.斜軸測圖－－投射方向S與軸測投影面傾斜根據(jù)軸向伸縮系數(shù)的不同，這兩類軸測圖又分為三種：

1.正（斜）等軸測圖（簡稱正等測或斜等測）2.正（斜）二軸測圖（簡稱正二測或斜二測）3.正（斜）三軸測圖（簡稱正三測或斜三測）在工程中常用的是正等軸測圖、正二軸測和斜二軸測圖。本章主要介紹正等軸測。軸測圖正軸測圖正等軸測圖

p=q=r正二軸測圖p=rq正三軸測圖pqr斜軸測圖斜等軸測圖p=q=r斜二軸測圖

p=rq斜三軸測圖pqr常見的軸測投影

(1）物體上相互平行的線段的軸測投影仍相互平行。（2）物體上平行于坐標軸的直線段的軸測投影仍與相應的軸測軸平行；（3）物體上兩平行線段或同一直線上的兩線段長度之比，其軸測投影保持不變。四、軸測投影的基本性質（滿足平行投影性質）用平行投影法所獲得的軸測圖，具有下列投影特性：

凡是與坐標軸平行的直線，就可以在軸測圖上沿軸向進行度量和作圖。

物體上平行于軸測投影面的直線和平面，在軸測圖上反映實長和實形。

一、正等測圖2正等測圖的畫法二、平面體正等測圖的繪制三、曲面體正等測圖的繪制一、正等測圖：當投射方向S垂直于軸測投影面P，且使確定物體空間位置的三個坐標軸對P面的傾角都相等的條件下，所得到的軸測投影圖，稱為正等軸測圖。圖4-3正軸測投影圖的形成PO1X1Y1Z1OZXY正軸測投影圖S┴PLLL正等軸測圖的軸間角和軸向伸縮系數(shù)按實際軸向伸縮系數(shù)繪制按簡化軸向伸縮系數(shù)繪制邊長為L的正方形的軸測圖軸間角特性投影線與軸測投影面垂直簡化軸向伸縮系數(shù)投影線方向軸向伸縮系數(shù)p1=q1=r1=0.82p=q=r=1LLL0.82L0.82L0.82L120°120°120°Z1O1X1Y1練習1繪制長寬高分別為30、20、10的長方體的正等測圖。二、平面體正等測圖的繪制－－坐標法圖4-4用坐標法繪制正六邊形的正等測圖ghg(f)g1h1圖4-5用切割法繪制正六邊形的正等測圖二、平面體正等測圖的繪制－－切割法圖4-6用疊加法繪制正六邊形的正等測圖二、平面體正等測圖的繪制－－疊加法75685786XYXY12341432三、曲面體正等測圖的繪制一般情況下，平行于坐標面的圓通過正投影后仍是圓，但通過軸測投影后就是橢圓。這種橢圓有兩種畫法：一種是坐標法；另一種是四心圓法。圖4-7用坐標法畫圓的正等測圖1.圓的正等測圖畫法－－坐標法☆畫圓的外切菱形☆確定四個圓心和半徑☆分別畫出四段彼此相切的圓弧●●●●abefdddF1E1●●B1A1●●圖4-8用四心法畫圓的正等測圖1.圓的正等測圖畫法－－四心法2.曲面立體正等測圖畫法圖4-9圓錐臺的正等軸測圖求作下圖所示圓錐臺的正等測圖下圖（a）所示平面圖形上有四個圓角，每一段圓弧相當于整圓的四分之一。其正等測參見圖（b）。每段圓弧的圓心是過外接菱形各邊中點（切點）所作垂線的交點。

（c）圖是平面圖形的正等測。其中圓弧D1B1是以O2為圓心，R2為半徑畫出；圓弧B1C1是以O3為圓心，R3為半徑畫出。D1、B1、C1等各切點，均利用已知的r來確定。【例5-7】作出帶圓角矩形板的正等測，如下圖a所示【例5-4】試根據(jù)擋土墻的投影圖，作正面斜軸測圖（圖5-6a）解：1）根據(jù)擋土墻形狀的特點，選定O1Y1方向。如果采用與O1X1

方向成45°的軸，即投影方向是從右向左，這時三角形的扶壁將豎墻遮擋而表示不清。所以軸間角應改用135°，即投影方向是從左向右。2）先畫出豎墻和底板的正面斜軸測圖（圖5-6b）3)扶到豎墻邊的距離是y1。從豎墻邊往后量y1/2畫出扶壁的三角形底面的實形（圖5-6c）4）完成扶壁（圖5-6d）二、水平斜軸測

如果形體仍保持正投影的位置，而用傾斜于H面的軸測投影方向S，向平行于H面的軸測投影面P進行投影，如下圖a所示，則所得斜軸測圖稱為水平斜軸測圖。

水平斜軸測的軸間角和軸向伸縮系數(shù)：坐標面XOY平行于水平面，軸間角∠X1O1Y1