高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與策略 第1部分 專題4 立體幾何 第13講 空間幾何體教師用書 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題4立體幾何第13講空間幾何體題型一|空間幾何體的表面積與體積(1)(2014·江蘇高考)設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，則eq\f(V1,V2)的值是________．(2)(2016·南京鹽城二模)如圖13－1，正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F(xiàn)分別是棱BB1，CC1上的點，則三棱錐A－A1EF圖13－1(1)eq\f(3,2)(2)8eq\r(3)[(1)設(shè)兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，得eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，則eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).由圓柱的側(cè)面積相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，則eq\f(h1,h2)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(3,2)，(2)極限法，取E，F(xiàn)分別與B1，C1重合，則S三棱錐A－A1EF＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·AA1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB2sin60°·AA1＝eq\f(1,6)×16×eq\f(\r(3),2)×6＝8eq\r(3).]【名師點評】求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在．求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上．1．已知一個圓錐的底面圓的半徑為1，體積為eq\f(2\r(2),3)π，則該圓錐的側(cè)面積為________．【導(dǎo)學(xué)號：19592040】3π[設(shè)圓錐的母線長為l，高為h，則由V＝eq\f(1,3)πr2·h，得h＝eq\f(3V,πr2)＝eq\f(2\r(2)π,π)＝2eq\r(2).∴母線l＝eq\r(h2＋r2)＝3，故圓錐的側(cè)面積為S＝eq\f(1,2)(2πr)l＝πrl＝π×1×3＝3π.]2．(2016·泰州期末)如圖13－2，長方體ABCD－A1B1C1D1中，O為BD1的中點，三棱錐O－ABD的體積為V1，四棱錐O－ADD1A1的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值為________．圖13－2eq\f(1,2)[設(shè)AB＝a，AD＝b，A1A＝c，則V1＝eq\f(1,3)S△ABD·eq\f(1,2)A1A＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)ab×eq\f(1,2)c＝eq\f(abc,12).V2＝eq\f(1,3)S矩形ADD1A1·eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,3)×bc×eq\f(1,2)a＝eq\f(abc,6).∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,2).]3．如圖13－3，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E為AB的中點，則四面體P－BCE的體積為________．圖13－3eq\f(\r(3),3)[顯然PA⊥平面BCE，底面BCE的面積為eq\f(1,2)×1×2×sin120°＝eq\f(\r(3),2)，所以VP－BCE＝eq\f(1,3)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3).]題型二|線、面位置關(guān)系的判斷(1)若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是________(填序號)．①l1⊥l4；②l1∥l4；③l1與l4既不垂直也不平行；④l1與l4的位置關(guān)系不確定．(2)已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，有下面四個命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.其中正確命題的序號是________．(1)④(2)①③[(1)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，記l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此時l1∥l4，可以排除①和③.若l4＝DC1，也滿足條件，可以排除②，故填④(2)直線l⊥平面α，α∥β?l⊥β?l⊥m，①對；α⊥β，l⊥α?xí)r，直線l與平面β可能平行，也可能在β內(nèi)，直線l與直線m關(guān)系不確定，②錯；l∥m，l⊥α?m⊥α?α⊥β，③對；由l⊥m，不能得出l⊥β，故也不能有α∥β，④錯．]【名師點評】空間線面位置關(guān)系的判斷方法1．公理法：借助空間線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項判斷來解決問題；2．模型法：借助空間幾何模型，如在長方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理作出選擇．1．給出下列命題：①若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；②若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；③若兩條平行直線中的一條垂直于直線m，那么另一條直線也與直線m垂直；④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中，所有真命題的序號為________．①③④[根據(jù)定理和一些常用結(jié)論知①③④正確．②中沒有強(qiáng)調(diào)兩條直線一定相交，否則就不一定平行．]2．已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面．下列說法正確的是________(填序號)．【導(dǎo)學(xué)號：19592041】①若m∥α，n∥α，則m∥n；②若m⊥α，n?α，則m⊥n；③若m⊥α，m⊥n，則n∥α；④若m∥α，m⊥n，則n⊥α.②[若m∥α，n∥α，則m，n可能平行、相交或異面，①錯；若m⊥α，n?α，則m⊥n，因為直線與平面垂直時，它垂直于平面內(nèi)任一直線，②正確；若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，③錯；若m∥α，m⊥n，則n與α可能相交，可能平行，也可能n?α，④錯．]題型三|多面體與球(1)如圖13－4，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器厚度，則球的體積為________cm3.圖13－4(2)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O(1)eq\f(500π,3)(2)eq\f(13,2)[(1)如圖，作出球的一個截面，則MC＝8－6＝2(cm)，BM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4(cm)．設(shè)球的半徑為Rcm，則R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，所以R＝5，所以V球＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500,3)π(cm3)．(2)因為直三棱柱中AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑．取BC中點D，則OD⊥底面ABC，則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，矩形BCC1B1的對角線長即為球直徑，所以2R＝eq\r(122＋52)＝13，即R＝eq\f(13,2).]【名師點評】多面體與球切、接問題的求解策略1．涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解；2．若球面上四點P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個球內(nèi)接長方體，得4R2＝a2＋b2＋c2求解．已知底面邊長為1，側(cè)棱長為eq\r(2)的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為_______