高二數(shù)學(xué)寒假作業(yè)1

1.已知集合A={O,1},8={—1,0,。+3},且A=B,則。等于()

(A)1(B)0(C)-2(D)-3

2.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=i+2i?+3i3所對應(yīng)的點(diǎn)落在()

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

3.在AA3C中，"A匣BCSO”是“AABC為鈍角三角形”的()

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分又不必要條件

4.已知六棱錐P-ABCOEV的底面是正六邊形，

B4_L平面A8C.則下列結(jié)論不正佛的是()

(A)CO〃平面Q4F

(B)平面B4F

(C)CF〃平面Q鉆

(D)CT1平面PAD

22

5.雙曲線二一與=1的漸近線與圓V+(y—2尸=1相切，則雙曲線離心率為()

ab

(A)正(B)G(C)2(D)3

6.函數(shù)y=sin(7tx+°)(°>0)的部分圖象如右圖所示，設(shè)尸是

圖象的最高點(diǎn)，A,6是圖象與x軸的交點(diǎn)，則tanNAP3=()

(A)10(B)8

(C)i4

(D)-

77

7.數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為q,=|〃一13|,則滿足4+4+|+…+4+|9=1°2的整數(shù)女()

(A)有3個(gè)(B)有2個(gè)(C)有1個(gè)(D)不存在

8.設(shè)點(diǎn)4(1,0),8(2,1),若直線6+臥=1與線段AB有一個(gè)公共點(diǎn)，那么()

(A)最小值為‘(B)最小值為好(C)最大值為，(D)最大值為￡

555

9.在MB。中，若B=2A,a:b=T:也,則人=.

10.已知向量。=(1,百)，。+)=(0,百)，設(shè)。與人的夾角為。，則。=.

11.已知平面a的一個(gè)法向量是〃=(1,1,一1),且平面a經(jīng)過點(diǎn)A(l,2,0).若P(x,y,z)是

平面a上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足的方程是.

12.已知兩點(diǎn)A(l,0),8(b,0).如果拋物線>-2=4x上存在點(diǎn)C,使得△ABC為等邊三角

形，那么實(shí)數(shù)6=________.

13.定義某種運(yùn)算③，b的運(yùn)算原理如右圖所示.

設(shè)/(x)=(0②尤)尤一(2③x).

則/⑵=；

/(x)在區(qū)間［-2,2］上的最小值為.

n—2,

14.數(shù)列｛4｝滿足4=1,a〃+i=---a,其中XER,

n+1n

n=12????

①當(dāng)2=0時(shí)，生。=；

②若存在正整數(shù)〃Z,當(dāng)〃〉根時(shí)總有4<0,則；I的取值范圍是.

15.已知函數(shù)/(x)=cos2*

sin(x+J

4

(I)求函數(shù)/(x)的定義域;(II)若/(%)=§,求sin2x的值.

16.如圖，已知菱形ABC。的邊長為6,N84￡>=60,4。口3。=0.將菱形ABCD沿對

角線AC折起，使8。=3五，得到三棱錐6—AC。.

(I)若點(diǎn)M是棱6c的中點(diǎn)，求證：OM〃平面ABZ)；

(II)求二面角A-BD—O的余弦值；

(III)設(shè)點(diǎn)N是線段8。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定N點(diǎn)的位置，使得CN=4及，并證明

你的結(jié)論.

17.已知拋物線的焦點(diǎn)F在y軸上，拋物線上一點(diǎn)4a,4)到準(zhǔn)線的距離是5,過點(diǎn)尸的直

線與拋物線交于M,N兩點(diǎn)，過M,N兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點(diǎn)為

T.

(I)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)求麗?麗的值；丹?而7的值；

(Ill)求證：|司是麻網(wǎng)網(wǎng)的等比中項(xiàng).

18.已知橢圓夕+方=1（。＞匕＞0）的焦距為26，離心率為苧.

（I）求橢圓方程；

（II）設(shè)過橢圓頂點(diǎn)8（0,。），斜率為左的直線交橢圓于另一點(diǎn)。，交x軸于點(diǎn)E,且

忸口,忸耳|。目成等比數(shù)列，求％2的值.

22,

19.已知橢圓〃言+1=1(。＞人＞0)的離心率為三二，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦

點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長為6+4后.

(I)求橢圓M的方程；

(II)設(shè)直線/與橢圓M交于A,B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)C,求MBC

面積的最大值.

20.若函數(shù)/(x)對任意的xeR,均有/(x—l)+/(x+l)N2/(x),則稱函數(shù)/(x)具有

性質(zhì)P.

(I)判斷下面兩個(gè)函數(shù)是否具有性質(zhì)尸，并說明理由.

①y=a"(a>l)；②y=j?.

(II)若函數(shù)/(x)具有性質(zhì)P,且f(O)=/(〃)=O(n>2,neN*),

求證：對任意iw{l,2,3,…,〃-1}有/(i)4O；

(III)在(II)的條件下，是否對任意xe[O,〃]均有/(幻40.若成立給出證明，若

不成立給出反例.

【答案】

題號12345678

答案CCADCBBA

9.3010.120ll.x+y-z-3=0

12.5或-L13.-2；-614.—；(2J,2A),&eN'.

320

15.

TV

解：(I)由題意，sin(x+-)^0,■■■■???2分

所以x+]wkn{kGZ),,……3分

TT

所以xwk兀-I(&EZ),????,"4分

函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?九一；,左￡Z}?,"5分

‘、”、cos2xcos2x

(TIIT)f(x)=-------------=-------------------------------…，…7分

./TC、.7C.7C

sin(x+—)sinxcos—+cosxsin—

444

V2cos2x

…8分

sinx+cosx

(cos2x-sin2x)

=V2(cosx-sinx).?10分

sinx+cosx

42V2

因?yàn)?(》)=一,所以cosx-sinx=311分

所以，sin2x-l-(cosx-sinx)2-12分

81

----

99?13分

16.

(I)證明：因?yàn)辄c(diǎn)。是菱形ABC。的對角線的交點(diǎn),

所以。是4c的中點(diǎn).又點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，

所以O(shè)M是AABC的中位線，OM//AB.1分

因?yàn)閃平面ABD,ABu平面ABO,

所以〃平面A8D.‘3分

(11)解：由題意，OB=OD=3,

因?yàn)?。=3應(yīng)，

所以N3OO=90°,OBLOD............4分

又因?yàn)榱庑蜛BC。，所以06J_AC,OD±AC.

建立空間直角坐標(biāo)系。一七yz,如圖所示.

A(3百,0,0),D(0,3,0),5(0,0,3).

所以而=(-3A/3,O,3),AD=(—3石,3,0),

設(shè)平面A3。的法向量為〃=(x,y,z),

AB-n=0,[—3\/3x+3z=0,

則有(一即：｛廣

ADn^O[-3y/3x+3y=0

令x=l,則丁=百,z=百，所以〃=(1,省,6).............7分

因?yàn)锳C_L08,AC_L，所以AC_L平面

平面BOD的法向量與AC平行，

所以平面8。。的法向量為%=(1,0,0)............8分

nan1V7

cosg,〃〉~7==—，

I?o||?|lxj77

因?yàn)槎娼茿—BD—O是銳角，

所以二面角A—30—。的余弦值為..........9分

7

(HI)解：因?yàn)镹是線段3。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)N(%,yi，zJ,BN=ABI5,

則(Xi，y，4—3)=X(O,3,—3),

所以％=0,y}=3丸，Z]=3—3Z,.........10分

則N(0,32,3—34),OV=(3>/3,3/l,3-32),

由CN=4萬得)27+9V2+(3—3丸)2=40,即942—94+2=0,.......11分

12

解得4=—或2=—,.........12分

33

所以N點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2,1)或(0,1,2)..........13分

(也可以答是線段5。的三等分點(diǎn)，加=2加或2麗=聲方)

17.

(I)解：由題意可設(shè)拋物線的方程為f=2py(〃70).

因?yàn)辄c(diǎn)A(a,4)在拋物線上，所以p〉0.

又點(diǎn)4a,4)到拋物線準(zhǔn)線的距離是5,所以5+4=5,可得p=2.

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為r=4y..................................3分

(II)解：點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn),則尸(0,1).

依題意可知直線MN不與x軸垂直，所以設(shè)直線MN的方程為y=kx+\.

y^kx+l,.

由得4履一4=0.

x=4y.

因?yàn)镸N過焦點(diǎn)/，所以判別式大于零.

設(shè)M(Xi，y),N(x2,y2).

則%+彳2=4々，xtx2=-4.......................................6分

MN=(馬一西,X)=(/一%1，一%)).

切線MT的方程為y—乂=：%(%—西)，①

切線NT的方程為丁一為=3%2(%一%1②

由①，②，得T(^^,/).........................8分

24

則FT=牛_1)=(2N一2).

所以萬.麗=24(％-%)-24(電一%)=0.................10分

(III)證明：|萬『=(2A『+(-2)2=4公+4.

由拋物線的定義知|礪卜乂+1,|而卜當(dāng)+1.

2

則目=(y+1)(%+D=(區(qū)?+2)(區(qū)2+2)=kx1x2+2k(xt+x2)+4

=4二+4.

所以戶標(biāo)、兩.即網(wǎng)是|耐阿阿的等比中項(xiàng).........13分

c_V|

18、解：(I)由已知2c=26,2分

a2

解得。=2,c=6,.........4分

12

所以〃=a-c=1,

2

橢圓的方程為二+y2=1..........5分

4

(II)由(I)得過8點(diǎn)的直線為丁=丘+1,

X22_1

=1,

由《彳+)'得(4/+1)￡+8日=0,6分

y="+1,

8k,1-4公

所以巧,=-----7-所cri以如8分

1+4嚴(yán)加1+4/

依題意左。0,k豐土一.

2

因?yàn)殁睢?|,忸目目成等比數(shù)列，所以忸目2=忸。||。耳，..........9分

所以〃=(1—%)|%|,即(1—%)|%|=1，.........10分

當(dāng)了。＞0時(shí)，yl-yD+l=O,無解，..........11分

1一、六

當(dāng),。＜0時(shí)，y：_y°_i=o,解得力＞=—^-，.........12分

小，1-431-V52+V5

所以;~~K=T-,解得《=―/一,

1+4/24

所以，當(dāng)忸忸目目成等比數(shù)列時(shí)，產(chǎn)=馬詈...........14分

19.解：(I)因?yàn)闄E圓M上一點(diǎn)和它的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長為6+4后,

所以2a+2c=6+4后，..........1分

又橢圓的離心率為述，即$=述，所以c=2叵。，............2分

3a33

所以。=3,c=2加.............4分

所以8=1,橢圓M的方程為三+V=1............5分

9-

(H)方法一：不妨設(shè)的方程y=〃(x—3),(“>0),則4c的方程為丫=一!(尤一3).

n

>=心-3),

/得己+〃2優(yōu)一6〃2%+9〃2-1=0,

由?6分

—+V2=19

19?

設(shè)4再，必),B(x2,y2),

mAL.C8\n~—9.27n~—3

因?yàn)?%=——□---，所rr以￡=——i----7分

-9n2+l29?2+1

同理可得網(wǎng)=27-3：一,...........8分

9+z?

所以16cl=』+〃2一?一,|AC|='l+"-6"；,...........io分

9n~+1n9+n

i2(〃+一)

-...........12分

2(〃+4+處

n9

設(shè)E=幾+,N2,

則3=^2^t=^27〈:3，............13分

64648

t2+—/+——

99t

Q

當(dāng)且僅當(dāng)r=2時(shí)取等號，

3

3

所以AABC面積的最大值為三.............14分

8

方法二：不妨設(shè)直線A8的方程x=6+/〃.

x=ky+m,

由，消去X得*2+9)/+2kmy+m2-9=0,6分

-+y2=1,

9-

設(shè)4(當(dāng)，必)，B(x2,y2),

f2kmm2-9「八

則有x+%=__，=①............7分

因?yàn)橐訟B為直徑的圓過點(diǎn)C,所以CACB=O.

由CA=(xl-3,y1),CB=(x2一3,%)，

得(百一3)(々_3)+,%=0?......................8分

將玉=61+m,々=幻2+m代入上式，

得*2+l)y%+Mm-3)(乂+%)+(加一3)2=0.

1?

將①代入上式，解得加=上或機(jī)=3(舍).............10分

5

所以〃2=彳（此時(shí)直線AB經(jīng)過定點(diǎn)。（彳,0）,與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)），

所以5.%=；1℃1及「乂1

925(r+9)—144

+%）2_分跖12分

525(左2+9)2

設(shè)/=一一,0<fJ,

左2+99

9

則SMBC=g里i

25

所以當(dāng)，=總€(gè)（0」］時(shí)，S^BC取得最大值3-

14分

28898

20.

(I)證明：①函數(shù)/(幻=優(yōu)(。>1)具有性質(zhì)產(chǎn)...........1分

f{x-1)+/(x+1)-2/(x)=ax-'+ax+'-2a'=a\-+a-2),

a

因?yàn)閍>1,a'(—Fa—2)>0,..................3分

a

即/(x-l)+/(x+l)N2/(x),

此函數(shù)為具有性質(zhì)P.

②函數(shù)/(尤)=/不具有性質(zhì)p...................4分

例如，當(dāng)x=-l時(shí)，/(x—1)+/(x+1)=/(—2)+/(())=—8,