高二數(shù)學(xué)選修2數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例

數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法.主要有兩個步驟一個結(jié)論:【歸納奠基】〔1〕證明當(dāng)n取第一個值n0〔如n0=1或2等〕時(shí)結(jié)論正確〔2〕假設(shè)n=k(k≥n0,n∈N*)時(shí)結(jié)論正確，證明n=k+1時(shí)結(jié)論也正確〔3〕由〔1〕、〔2〕得出結(jié)論【歸納遞推】注意：1、一定要用到歸納假設(shè)；2、看清從k到k＋1中間的變化。(1)在第一步中的初始值不一定從1取起，證明時(shí)應(yīng)根據(jù)具體情況而定.例1:欲用數(shù)學(xué)歸納法證明2n>n2,試問n的第一個取值應(yīng)是多少?答:對n=1,2,3,…,逐一嘗試,可知初始值為n=5.一、證明中需要注意的問題例2:用數(shù)學(xué)歸納法證明3n>n2.此題在第二步的證明過程中在假設(shè)n=k時(shí),3k>k2成立的基礎(chǔ)上,當(dāng)n=k+1時(shí),要說明此式大于零,則必須k≥2.故在證明的第一步中,初始值應(yīng)取1和2兩個值.更多資源

例2.下面是某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題

的過程.你認(rèn)為他的證法正確嗎?為什么

(1).當(dāng)n=1時(shí),左邊=,右邊=(2).假設(shè)n=k時(shí)命題成立即那么n=k+1時(shí),左邊

=右邊,即n=k+1時(shí),命題也成立.由(1)(2)知,對一切自然數(shù),命題均正確.

(2)在第二步中,證明n=k+1命題成立時(shí),必須用到n=k命題成立這一歸納假設(shè),否那么就打破數(shù)學(xué)歸納法步驟之間的邏輯遞推關(guān)系,造成推理無效.(3)在證明n=k+1命題成立用到n=k命題成立時(shí),要分析命題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),分析“n=k+1時(shí)”命題是什么，并找出與“n=k”時(shí)命題形式的差異.弄清應(yīng)增加的項(xiàng).1.已知:,則等于()

A:B:

C:D:C練習(xí)：分析:找到“遞推關(guān)系”就等于把握住解決問題的“靈魂”。有幾項(xiàng)？

是什么,它比多出了多少，是首要問題。例3．對于n∈N*用數(shù)學(xué)歸納法證明：事實(shí)上f(k+1)不但比f〔k〕多一項(xiàng)，而且前k項(xiàng)中每一項(xiàng)分別比f〔k〕中多了1,2,3,4……kf(k+1)=f(k)+1+2+3+……+k證明：設(shè)f(n)=(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，等式成立(2)設(shè)當(dāng)n＝k,時(shí)等式成立，即則n=k+1時(shí)，f(k+1)=1·(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+……+[(k+1)-2]·3+[(k+1)-1]·2+(k+1)=f(k)+1+2+3+……+k+(k+1)∴由〔1〕〔2〕可知當(dāng)n∈N*時(shí)等式都成立。練習(xí):用數(shù)學(xué)歸納法證明:(n+1)?(n+2)?…?(n+n)=2n?1?3?…?(2n-1)數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題.例4:平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點(diǎn),證明交點(diǎn)的個數(shù)f(n)等于n(n-1)/2.n圖形f(n)1234…kK+1f(1)=0f(2)=1=f(1)+1f(3)=3=f(2)+2f(4)=6=f(3)+3f(k)f(k+1)=f(k)+k……證:(1)當(dāng)n=2時(shí),兩條直線的交點(diǎn)只有1個,又f(2)=2?(2-1)/2=1,因此,當(dāng)n=2時(shí)命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)命題成立,就是說,平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個數(shù)f(k)等于k(k-1)/2.以下來考慮平面內(nèi)有k+1條直線的情況.任取其中的1條直線,記作l.由歸納假設(shè),除l以外的其他k條直線的交點(diǎn)個數(shù)f(k)等于k(k-1)/2.另外,因?yàn)槿魏蝺蓷l直線不平行,所以直線l必與平面內(nèi)其他k條直線都相交,有k個交點(diǎn).又因?yàn)槿魏稳龡l直線不過同一點(diǎn),所以上面的k個交點(diǎn)兩兩不相同,且與平面內(nèi)其他的k(k-1)/2個交點(diǎn)也兩兩不相同.從而平面內(nèi)交點(diǎn)的個數(shù)是k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2=[(k+1)-1](k+1)/2.這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí),k+1條直線的交點(diǎn)個數(shù)為:f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2.根據(jù)(1)、(2)可知,命題對一切大于1的正整數(shù)都成立.說明:用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題,難點(diǎn)是處理好當(dāng)n=k+1時(shí)利用假設(shè)結(jié)合幾何知識證明命題成立.練習(xí)：平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點(diǎn),證明這n條直線把平面分成(n2+n+2)/2個區(qū)域.小結(jié):1.與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明,但注意不要濫用.并非任何與正整數(shù)有關(guān)的命題都可以用它來證明。如果命題沒有“遞推”關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法將會失去其效力。2.掌握數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)與步驟3.數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用通常與數(shù)學(xué)的其他方法聯(lián)系在一起的,如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等.歸納小結(jié)，自我整合,激升思維

思考：數(shù)列{an}中前n項(xiàng)和Sn與an滿足Sn＝1－nan，試求{an}的通項(xiàng)更多資源

由于數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題，數(shù)列是以正整數(shù)為定義域的特殊函數(shù)，而導(dǎo)數(shù)又是研究函數(shù)的重要工具，正是這一條知識鏈注定了數(shù)學(xué)歸納法必然以數(shù)列為背景。深入細(xì)致的研究近年來的高考試題，就會印證以上事實(shí)?？v觀近幾年與數(shù)學(xué)歸納法相關(guān)的高考試題，不難得出其命題特點(diǎn)：①很少單獨(dú)命制大題，往往作為解答題中某一小問的形式出現(xiàn)，重在表達(dá)它的工具性作用。且常與數(shù)列結(jié)合去考查，有時(shí)還與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等內(nèi)容相關(guān)聯(lián)，以表達(dá)“在知識交匯處設(shè)計(jì)試題”的命題原那么。②試題特別注重加強(qiáng)對不完全歸納法的考查