2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第一篇核心專題突破專題六概率與統(tǒng)計第3講統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的分析

第一篇專題六第3講一、單項選擇題1.(2023·石家莊二模)為實現(xiàn)鄉(xiāng)村生態(tài)振興，走鄉(xiāng)村綠色發(fā)展之路，鄉(xiāng)政府采用按比例分層抽樣的方式從甲村和乙村抽取部分村民參與環(huán)保調(diào)研，已知甲村和乙村人數(shù)之比是3∶1，被抽到的參與環(huán)保調(diào)研的村民中，甲村的人數(shù)比乙村多8人，則參加調(diào)研的總?cè)藬?shù)是(A)A．16 B．24C．32 D．40【解析】設(shè)被抽取參與調(diào)研的乙村村民有x人，則甲村被抽取參與調(diào)研的有3x人，所以3x－x＝8，即x＝4，所以參加調(diào)研的總?cè)藬?shù)為x＋3x＝16.故選A.2.(2023·廣西模擬)已知某地A、B、C三個村的人口戶數(shù)及貧困情況分別如圖(1)和圖(2)所示，為了解該地三個村的貧困原因，當(dāng)?shù)卣疀Q定采用分層隨機抽樣的方法抽取15%的戶數(shù)進行調(diào)查，則樣本容量和抽取C村貧困戶的戶數(shù)分別是(A)A．150,15 B．150,20C．200,15 D．200,20【解析】由圖1得樣本容量為(350＋200＋450)×15%＝1000×15%＝150，抽取貧困戶的戶數(shù)為200×15%＝30戶，則抽取C村貧困戶的戶數(shù)為30×0.5＝15戶．故選A.3.(2023·佛山模擬)對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是(A)A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r3【解析】由散點圖可知圖1與圖3是正相關(guān)，故r1＞0，r3＞0，圖2與圖4是負(fù)相關(guān)，故r2＜0，r4＜0，且圖1與圖2的樣本點集中在一條直線附近，因此r2＜r4＜0＜r3＜r1.故選A.4.某冷飲店日盈利y(單位：百元)與當(dāng)天氣溫x(單位：℃)之間有如下數(shù)據(jù)x/℃1520253035y/百元12245已知y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，則y與x的經(jīng)驗回歸方程是(B)A.eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x－2 B．eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x－2.2C.eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x＋2 D．eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x＋2.2【解析】經(jīng)驗回歸直線必過樣本中心點，由題意得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(15＋20＋25＋30＋35,5)＝25，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1＋2＋2＋4＋5,5)＝2.8，結(jié)合選項可知，2.8＝0.2×25－2.2，即y與x的經(jīng)驗回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x－2.2.故選B.5.(2023·青島模擬)通過隨機詢問某中學(xué)110名中學(xué)生是否愛好跳繩，得到如下列聯(lián)表：跳繩性別合計男女愛好402060不愛好203050合計6050110已知χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(χ2≥10.828)＝0.001，根據(jù)小概率值α＝0.001的χ2獨立性檢驗，以下結(jié)論正確的為(C)A．愛好跳繩與性別有關(guān)B．愛好跳繩與性別有關(guān)，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.001C．愛好跳繩與性別無關(guān)D．愛好跳繩與性別無關(guān)，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.001【解析】a＋b＝40＋20＝60，c＋d＝20＋30＝50，a＋c＝40＋20＝60，b＋d＝20＋30＝50，ad－bc＝40×30－20×20＝800，n＝110，χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(110×8002,60×50×60×50)≈7.822<10.828，故愛好跳繩與性別無關(guān)，但不能推出這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.001，故選C.6.(2023·和平區(qū)一模)某城市在創(chuàng)建文明城市的活動中，為了解居民對“創(chuàng)建文明城市”的滿意程度，組織居民給活動打分(分?jǐn)?shù)為整數(shù)，滿分100分)，從中隨機抽取一個容量為100的樣本，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)均在[40,100]內(nèi)．現(xiàn)將這些分?jǐn)?shù)分成6組并畫出樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損，使部分圖形缺失，如圖，部分圖形缺失的頻率分布直方圖中，下列說法錯誤的是(D)A．第三組的頻數(shù)為15人B．估計樣本的眾數(shù)為75分C．估計樣本的中位數(shù)75分D．估計樣本的平均數(shù)為75分【解析】分?jǐn)?shù)在[60,70)內(nèi)的頻率為1－10×(0.005＋0.015＋0.030＋0.025＋0.010)＝0.15，所以第三組[60,70)的頻數(shù)為100×0.15＝15(人)，故A正確；因為眾數(shù)的估計值是頻率分布直方圖中最高矩形的中點，從圖中可看出眾數(shù)的估計值為75分，故B正確；因為(0.005＋0.015＋0.015)×10＝0.35＜0.5，(0.005＋0.015＋0.015＋0.03)×10＝0.65＞0.5，所以中位數(shù)位于[70,80)，設(shè)中位數(shù)為x，則0.35＋(x－70)×0.03＝0.5，解得x＝75，即中位數(shù)的估計值為75，故C正確；樣本平均數(shù)的估計值為：45×(10×0.005)＋55×(10×0.015)＋65×(10×0.015)＋75×(10×0.03)＋85×(10×0.025)＋95×(10×0.01)＝73.5(分)，故D錯誤．故選D.7.(2023·市中區(qū)校級一模)在高三某次模擬考試中，甲、乙兩個班級的數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計如下表：班級人數(shù)平均分?jǐn)?shù)方差甲40705乙60808則兩個班所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的方差為(C)A．6.5 B．13C．30.8 D．31.8【解析】兩個班級總的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(40×70＋60×80,40＋60)＝76，則兩個班所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的方差為eq\f(40×[5＋76－702]＋60×[8＋76－802],40＋60)＝30.8.故選C.8.(2023·九江二模)已知變量的關(guān)系可以用模型y＝kemx擬合，設(shè)z＝lny，其變換后得到一組數(shù)據(jù)如下．由表可得線性回歸方程z＝3x＋a，則k＝(B)x12345z2451014A.e－3 B．e－2C．e2 D．e3【解析】由表格數(shù)據(jù)知eq\o(x,\s\up6(－))＝3，eq\o(z,\s\up6(－))＝7.即樣本中心點為(3,7)，由z＝3x＋a，得a＝7－3×3＝－2，即z＝3x－2，所以z＝lny＝lnk＋mx＝3x－2，即lnk＝－2，可得k＝e－2，故選B.二、多項選擇題9.(2023·遼寧一模)給定數(shù)5,4,3,5,3,2,2,3,1,2，則這組數(shù)據(jù)的(AB)A．中位數(shù)為3 B．方差為eq\f(8,5)C．眾數(shù)為3 D．85%分位數(shù)為4.5【解析】將數(shù)5,4,3,5,3,2,2,3,1,2，按小到大的順序排列為：1,2,2,2,3,3,3,4,5,5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為eq\f(3＋3,2)＝3，故A正確；數(shù)據(jù)中2,3，出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)為2和3，故C錯誤；平均數(shù)為：eq\f(1＋2×3＋3×3＋4＋5×2,10)＝3，則方差為eq\f(1,10)[(1－3)2＋(2－3)2×3＋(3－3)2×3＋(4－3)2＋(5－3)2×2]＝eq\f(8,5)，故B正確；第85%分位數(shù)是數(shù)據(jù)中至少有85%的數(shù)據(jù)小于或等于該數(shù)，因此，從小到大第9個數(shù)字為5，故D錯誤，故選AB.10.(2023·香坊區(qū)校級模擬)在一次黨建活動中，甲、乙、丙、丁四個興趣小組舉行黨史知識競賽，每個小組各派10名同學(xué)參賽，記錄每名同學(xué)失分(均為整數(shù))情況，若該組每名同學(xué)失分都不超過7分，則該組為“優(yōu)秀小組”，已知甲、乙、丙、丁四個小組成員失分?jǐn)?shù)據(jù)信息如下，則一定為“優(yōu)秀小組”的是(AD)A．甲組中位數(shù)為2，極差為5B．乙組平均數(shù)為2，眾數(shù)為2C．丙組平均數(shù)為1，方差大于0D．丁組平均數(shù)為2，方差為3【解析】因為中位數(shù)為2，極差為5，故最大值小于等于7，故A正確；如失分?jǐn)?shù)據(jù)分別為0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，則滿足平均數(shù)為2，眾數(shù)為2，但不滿足每名同學(xué)失分都不超過7分，故B錯誤；如失分?jǐn)?shù)據(jù)分別為0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，則滿足平均數(shù)為1，方差大于0，但不滿足每名同學(xué)失分都不超過7分，故C錯誤；利用反證法，假設(shè)有一同學(xué)失分超過7分，則方差大于eq\f(1,10)×(8－2)2＝3.6＞3，與題設(shè)矛盾，故每名同學(xué)失分都不超過7分．故D正確．故選AD.11.(2023·思明區(qū)校級二模)下列命題中，正確的命題(BD)A．回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))恒過樣本點的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，且至少過一個樣本點B．將一組數(shù)據(jù)的每個數(shù)據(jù)都加一個相同的常數(shù)后，方差不變C．用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越接近0，說明模型的擬合效果越好D．若隨機變量ξ～N(3，σ2)，且P(ξ＜6)＝0.84，則P(3＜ξ＜6)＝0.34【解析】回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))恒過樣本點的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，不一定過樣本點，故A錯誤；將一組數(shù)據(jù)的每個數(shù)據(jù)都加一個相同的常數(shù)后，數(shù)據(jù)的波動性不變，故方差不變，故B正確；用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越接近1，說明模型的擬合效果越好，故C錯誤；因為隨機變量ξ～N(3，σ2)，且P(ξ＜6)＝0.84，所以P(3＜ξ＜6)＝P(ξ＜6)－0.5＝0.84－0.5＝0.34，故D正確．故選BD.12.(2023·萬州區(qū)校級模擬)2022世界乒乓球團體錦標(biāo)賽在成都舉辦，中國女隊、男隊分別于10月8日和10月9日奪得團體賽冠軍，國球運動又一次掀起熱潮．為了解性別與觀眾是否喜歡觀看乒乓球比賽的關(guān)聯(lián)性，某體育臺隨機抽取了200名觀眾進行統(tǒng)計．得到如圖所示的列聯(lián)表．性別觀看乒乓球比賽喜歡不喜歡男6040女2080則下列說法正確的是(AD)參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.附表：α0.100.050.010.0050.001x02.7063.8416.6357.87910.828A.喜歡觀看乒乓球比賽的觀眾中，女生的頻率為eq\f(1,4)B．男生中喜歡觀看乒乓球比賽的頻率為eq\f(2,3)C．依據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，認(rèn)為性別與觀眾是否喜歡觀看乒乓球比賽無關(guān)D．在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為性別與觀眾是否喜歡觀看乒乓球比賽有關(guān)【解析】由表中數(shù)據(jù)知，喜歡觀看乒乓球比賽的觀眾中，女生的頻率為P＝eq\f(20,60＋20)＝eq\f(1,4)，選項A正確；男生中喜歡觀看乒乓球比賽的頻率為P′＝eq\f(60,100)＝eq\f(3,5)，選項B錯誤；由題意進行數(shù)據(jù)分析，得到2×2列聯(lián)表如下：性別觀看乒乓球比賽喜歡不喜歡男6040女2080合計80120計算X2＝eq\f(200×60×80－20×402,100×100×80×120)＝eq\f(100,3)≈33.333＞10.828，所以依據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，認(rèn)為性別與觀眾是否喜歡觀看乒乓球比賽有關(guān)，選項C錯誤；所以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為性別與觀眾是否喜歡觀看乒乓球比賽有關(guān)，選項D正確．故選AD.三、填空題13.(2023·興義市校級一模)若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為3，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差為_12__.【解析】∵樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為3，∴數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差為：22×3＝12.14.(2023·畢節(jié)市模擬)某學(xué)校為了解教師身體健康情況，從高考學(xué)科和非高考學(xué)科教師中采用分層抽樣的方法抽取部分教師體檢．已知該學(xué)校高考學(xué)科和非高考學(xué)科教師的比例是5∶1，且被抽到參加體檢的教師中，高考學(xué)科教師比非高考學(xué)科教師多64人，則參加體檢的人數(shù)是_96__.【解析】設(shè)參加體檢的人數(shù)為n，則eq\f(5n,6)－eq\f(n,6)＝64，解得n＝96，所以參加體檢的人數(shù)是96人．15.(2023·黃浦區(qū)校級三模)從高三某班抽取10名同學(xué)，他們的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦拢?02,110,117,120,122,122,122,126,134,145(單位：分)，則這10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的第70百分位數(shù)是_124__.【解析】因為10×70%＝7，所以這10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的第70百分位數(shù)是eq\f(122＋126,2)＝124.16.(2023·涪城區(qū)校級模擬)針對“中學(xué)生追星問題”，某校團委對“學(xué)生性別和中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，調(diào)查樣本中女生人數(shù)是男生人數(shù)的eq\f(1,2)，男生追星的人數(shù)占男生人數(shù)的eq\f(1,6)，女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的eq\f(2,3)，若有95%的把握認(rèn)為是否追星和性別有關(guān)，則調(diào)查樣本中男生至少有_12__人．參考數(shù)據(jù)及公式如下：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋db＋d)P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828【解析】設(shè)男生人數(shù)為x，依題意可得列聯(lián)表如下：喜歡追星不喜歡追星總計男生eq\f(x,6)eq\f(5x,6)x女生eq\f(x,3)eq\f(x,6)eq\f(x,2)總計eq\f(x,2)xeq\f(3x,2)若在犯錯誤的概率不超過95%的前提下認(rèn)為是否喜歡追星和性別有關(guān)，則K2＞3.841，由K2＝eq\f(\f(3x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)－\f(5x2,18)))2,\f(x,2)·x·x·\f(x,2))＝eq\f(3,8)x＞3.841，解得x＞10.24，因為eq\f(x,2)，eq\f(x,6)為整數(shù)，所以若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡追星和性別有關(guān)，則男生至少有12人．四、解答題17.(2023·柳南區(qū)二模)今年神舟十五號載人飛船與中國空間站成功完成對接，為了普及航天航空科技知識，某校組織全體學(xué)生進行了航天航空科技知識答題比賽，從全校眾多學(xué)生中隨機選取了10名學(xué)生，得到他們的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計如下表：分?jǐn)?shù)段[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)1112221規(guī)定60分以下為不及格：60分及以上至70分以下為及格；70分及以上至80分以下為良好；80分及以上為優(yōu)秀，將頻率視為概率．(1)請估計此次比賽中該校學(xué)生成績的優(yōu)秀率；(2)從全校學(xué)生成績?yōu)榱己煤蛢?yōu)秀的學(xué)生中利用分層抽樣的方法隨機抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人進行航天航空科技知識演講，求抽取的兩人中良好和優(yōu)秀各有1人的概率．【解析】(1)∵80分及以上為優(yōu)秀，∴eq\f(2＋1,10)＝0.3，故此次比賽中該校學(xué)生成績的優(yōu)秀率是0.3.(2)∵成績良好的學(xué)生人數(shù)與成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)之比為2∶(2＋1)＝2∶3，∴在成績良好的學(xué)生中抽取2人，記為a，b，在成績優(yōu)秀的學(xué)生中抽取3人，記為C，D，E.從a，b，C，D，E中隨機抽取2人的所有基本事件為：(a，b)，(a，C)，(a，D)，(a，E)，(b，C)，(b，D)，(b，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10種，其中良好和優(yōu)秀各1人的有：(a，C)，(a，D)，(a，E)，(b，C)，(b，D)，(b，E)，共6種．根據(jù)古典概型概率公式可知，良好和優(yōu)秀各1人的概率為eq\f(6,10)＝0.6.18.(2023·畢節(jié)市模擬)某新能源汽車公司對其產(chǎn)品研發(fā)投資額x(單位：百萬元)與其月銷售量y(單位：千輛)的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，得到如下統(tǒng)計表和散點圖．x12345y0.691.611.792.082.20(1)通過分析散點圖的特征后，計劃用y＝ln(bx＋a)作為月銷售量y關(guān)于產(chǎn)品研發(fā)投資額x的回歸分析模型，根據(jù)統(tǒng)計表和參考數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程；(2)公司決策層預(yù)測當(dāng)投資額為11百萬元時，決定停止產(chǎn)品研發(fā)，轉(zhuǎn)為投資產(chǎn)品促銷．根據(jù)以往的經(jīng)驗，當(dāng)投資11百萬元進行產(chǎn)品促銷后，月銷售量ξ的分布列為：ξ345Peq\f(3,2)p2pp＋eq\f(1,6)結(jié)合回歸方程和ξ的分布列，試問公司的決策是否合理．參考公式及參考數(shù)據(jù)：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，ln7≈1.95.y0.691.611.792.082.20ey(保留整數(shù))25689【解析】(1)因為y＝ln(bx＋a)，令z＝bx＋a，所以z＝ey.由題可得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(1＋2＋3＋4＋5)＝3，eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(2＋5＋6＋8＋9)＝6，則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)izi－5\o(x,\s\up6(－))·\o(z,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(107－5×3×6,55－5×9)＝eq\f(17,10)＝1.7，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(z,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝6－1.7×3＝0.9，所以eq\o(z,\s\up6(^))＝1.7x＋0.9，所以回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝ln(1.7x＋0.9)．(2)當(dāng)x＝11時，eq\o(y,\s\up6(^))＝ln(1.7×11＋0.9)＝ln19.6＝lneq\f(2×49,5)＝ln2＋2ln7－ln5＝2.98.因為eq\f(3,2)p2＋p＋p＋eq\f(1,6)＝1且0＜p＜1，所以p＝eq\f(1,3)，所以E(ξ)＝3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,3)＋5×eq\f(1,2)＝eq\f(13,3)＞2.98，所以公司的決策合理．19.為落實“十三五”規(guī)劃節(jié)能減排的國家政策，某職能部門對市場上兩種設(shè)備的使用壽命進行調(diào)查統(tǒng)計，隨機抽取A型和B型設(shè)備各100臺，得到如下頻率分布直方圖：(1)將使用壽命超過2500小時和不超過2500小時的臺數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過2500小時不超過2500小時合計A型B型合計根據(jù)上面的列聯(lián)表，依據(jù)α＝0.01的獨立性檢驗，能否認(rèn)為使用壽命是否超過2500小時與型號有關(guān)？(2)用分層抽樣的方法從不超過2500小時A型和B型設(shè)備中抽取8臺，再從這8臺設(shè)備中隨機抽取3臺，其中A型設(shè)備為X臺，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)已知用頻率估計概率，現(xiàn)有一項工作需要10臺同型號設(shè)備同時工作2500小時才能完成，工作期間設(shè)備損壞立即更換同型號設(shè)備(更換設(shè)備時間忽略不計)，A型和B型設(shè)備每臺的價格分別為1萬元和0.6萬元，A型和B型設(shè)備每臺每小時耗電分別為2度和6度，電價為0.75元/度．只考慮設(shè)備的成本和電費，你認(rèn)為應(yīng)選擇哪種型號的設(shè)備，請說明理由．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828【解析】(1)由頻率分布直方圖可知，A型超過2500小時的有100×(0.0