2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第一篇核心專題突破專題五解析幾何第2講圓錐曲線的方程和性質(zhì)

第一篇專題五第2講一、單項(xiàng)選擇題1.(2023·榆林四模)雙曲線eq\f(y2,8)－eq\f(x2,6)＝1的一條漸近線方程為(D)A．3x－4y＝0 B．4x－3y＝0C.eq\r(3)x＋2y＝0 D．2x－eq\r(3)y＝0【解析】由eq\f(y2,8)－eq\f(x2,6)＝0，得eq\f(y2,8)＝eq\f(x2,6)，得y＝±eq\r(\f(8,6))x＝±eq\f(2\r(3),3)x，即2eq\r(3)x±3y＝0，即2x±eq\r(3)y＝0.故選D.2.(2023·海淀區(qū)一模)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在該拋物線上，且P的橫坐標(biāo)為4，則|PF|＝(D)A．2 B．3C．4 D．5【解析】∵拋物線方程為y2＝4x，∴eq\f(p,2)＝1，又點(diǎn)P在該拋物線上，且P的橫坐標(biāo)為4，∴|PF|＝eq\f(p,2)＋4＝5.故選D.3.(2023·順義區(qū)二模)已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝(C)A．1 B．2C．4 D．8【解析】雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)(±2,0)，拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，所以eq\f(p,2)＝2，可得p＝4.故選C.4.(2023·臨泉縣校級(jí)三模)已知橢圓長(zhǎng)軸、短軸的一個(gè)端點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若△ABF為直角三角形，則該橢圓的離心率為(C)A.eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(5)－1,2) D．eq\f(\r(5)＋1,4)【解析】橢圓長(zhǎng)軸、短軸的一個(gè)端點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若△ABF為直角三角形，則只有AB⊥BF，∴kAB·kBF＝－1，不妨取A為右頂點(diǎn)(a,0)，B為上頂點(diǎn)(0，b)，則F為左焦點(diǎn)(－c,0)，則－eq\f(b,a)·eq\f(b,c)＝－1，即b2＝ac，∴a2－c2＝ac，兩邊同除以a2，得e2＋e－1＝0，∴e＝eq\f(－1±\r(5),2)(舍負(fù))．故選C.5.(2023·鎮(zhèn)江三模)點(diǎn)(0,4)到雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的距離為eq\f(16,5)，則雙曲線的離心率為(C)A.eq\f(5\r(6),12) B．eq\f(4,3)C．eq\f(5,3) D．5【解析】點(diǎn)(0,4)到雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線ax＋by＝0的距離為eq\f(16,5)，可得eq\f(4b,\r(a2＋b2))＝eq\f(16,5)，即25b2＝16a2＋16b2,9b2＝16a2，解得e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(5,3).故選C.6.(2023·山東模擬)已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(C)A．1 B．2C．4 D．8【解析】由于拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)在x軸正半軸上，x2＋y2＝4與x軸正半軸的交點(diǎn)為(2,0)，故拋物線的焦點(diǎn)為(2,0)，所以eq\f(p,2)＝2?p＝4，因此拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p＝4.故選C.7.(2023·淄博模擬)直線x－2y＋2＝0經(jīng)過(guò)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若＝3，則該橢圓的離心率為(C)A.eq\f(\r(17)＋\r(5),8) B．eq\f(\r(17)－\r(5),4)C.eq\f(\r(17)－\r(5),2) D．eq\f(\r(17)＋\r(5),9)【解析】由直線方程可得F(－2,0)，M(0,1)，則c＝2，又∵＝3，即|FM|＝3|MA|，根據(jù)相似三角形可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(2,3)))，則2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)－2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)＋2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2)＝eq\f(2(\r(17)＋\r(5)),3)，∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(4,\f(2(\r(17)＋\r(5)),3))＝eq\f(\r(17)－\r(5),2)，故選C.8.(2023·哈爾濱二模)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F1，直線y＝kx(k＞0)與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且∠PF1Q＝eq\f(2π,3)，·＝4，則當(dāng)eq\f(1,2)a2＋eq\f(b2,a2)取得最小值時(shí)，雙曲線C的離心率為(D)A．3 B．eq\r(3)C．2 D．eq\r(2)【解析】不妨設(shè)P位于第一象限，雙曲線C的右焦點(diǎn)為F2，連接PF2，F(xiàn)2Q，如圖所示：∵O為PQ，F(xiàn)1F2中點(diǎn)，∴四邊形PF1QF2為平行四邊形，∴＝，∠F1PF2＝eq\f(π,3)，設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n(m，n＞0)，則m－n＝2a，又·＝4，即·＝mncoseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)mn＝4，解得mn＝8，在△PF1F2中，|F1F2|2＝m2＋n2－2mncoseq\f(π,3)＝(m－n)2＋mn＝4a2＋8＝4c2，∴b2＝c2－a2＝2，∴eq\f(1,2)a2＋eq\f(b2,a2)＝eq\f(a2,2)＋eq\f(2,a2)≥2eq\r(\f(a2,2)·\f(2,a2))＝2(當(dāng)且僅當(dāng)a2＝2時(shí)取等號(hào))，∴當(dāng)eq\f(1,2)a2＋eq\f(b2,a2)取得最小值時(shí)，雙曲線C的離心率e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(2)，故選D.二、多項(xiàng)選擇題9.(2023·茂名二模)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P、Q都在C上，且＝，則下列說(shuō)法正確的是(ACD)A．△PQF2周長(zhǎng)的最小值為14B．四邊形PF1QF2可能是矩形C．直線PB，QB的斜率之積為定值－eq\f(9,16)D．△PQF2的面積最大值為3eq\r(7)【解析】由＝，可知P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于A，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PQ|＋|PF2|＋|PF1|＝|PQ|＋8，當(dāng)PQ為橢圓的短軸時(shí)，|PQ|有最小值6，所以△PQF2周長(zhǎng)的最小值為14，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閠an∠F1AO＝eq\f(c,b)＝eq\f(\r(7),3)，所以∠F1AO<eq\f(π,4)，則∠F1AF2<eq\f(π,2)，故橢圓上不存在點(diǎn)P，使得∠F1PF2＝eq\f(π,2)，又四邊形PF1QF2是平行四邊形，所以四邊形PF1QF2不可能是矩形，故B不正確；對(duì)于C，由題意得B(4,0)，設(shè)P(x，y)，則Q(－x，－y)，所以kPB·kQB＝eq\f(y,x－4)·eq\f(－y,(－x)－4)＝eq\f(y2,x2－16)＝eq\f(9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,16))),x2－16)＝－eq\f(9,16)，故C正確；對(duì)于D，設(shè)△PF2Q的面積為S＝eq\f(1,2)|OF||yP－yQ|，所以當(dāng)PQ為橢圓的短軸時(shí)，|yP－yQ|＝6最大，所以S＝eq\f(1,2)|OF||yP－yQ|≤eq\f(1,2)×eq\r(7)×6＝3eq\r(7)，故D正確．故選ACD.10.(2023·福田區(qū)校級(jí)模擬)已知點(diǎn)F1、F2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，若|PF1|＝3|PF2|，則(BCD)A．|PF1|與雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)相等B．△PF1F2的面積為eq\f(3,2)a2C．雙曲線的離心率為eq\f(\r(10),2)D．直線eq\r(3)x＋eq\r(2)y＝0是雙曲線的一條漸近線【解析】因?yàn)閨PF1|＝3|PF2|，又由題意及雙曲線的定義可得：|PF1|－|PF2|＝2a，則|PF2|＝a，|PF1|＝3a≠2a，所以A不正確；因?yàn)镻在以F1F2為直徑的圓上，所以PF1⊥PF2，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)·3a·a＝eq\f(3,2)a2，所以B正確；在Rt△PF1F2中，由勾股定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝10a2，即4c2＝10a2，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),2)，所以C正確；因?yàn)閎2＝c2－a2＝eq\f(3,2)a2，所以漸近線的方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(3),\r(2))x，即eq\r(3)x±eq\r(2)y＝0，所以D正確；故選BCD.11.(2023·德州三模)已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，直線l與x軸交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則(ACD)A．若x1＋x2＝8，則|AB|＝12B.·＝－27C.eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,2)D．△PAB面積的最小值為16【解析】拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F(2,0)，準(zhǔn)線l：x＝－2，P(－2,0)，設(shè)直線AB為x＝my＋2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,x＝my＋2，))即y2－8my－16＝0，Δ＝64m2＋64＞0，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝8m，,y1y2＝－16，))yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＝64x1x2＝162，故x1x2＝4，對(duì)選項(xiàng)A：|AB|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4＝12，正確；對(duì)選項(xiàng)B：·＝x1x2＋y1y2＝4－16＝－12，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,x1＋2)＋eq\f(1,x2＋2)＝eq\f((x1＋x2)＋4,x1x2＋2(x1＋x2)＋4)＝eq\f((x1＋x2)＋4,2(x1＋x2)＋8)＝eq\f(1,2)，正確；對(duì)選項(xiàng)D：S△PAB＝eq\f(1,2)×|PF|×|y2－y1|＝2eq\r((y1＋y2)2－4y1y2)＝2eq\r(64m2＋64)≥16，當(dāng)m＝0時(shí)等號(hào)成立，正確；故選ACD.12.(2023·菏澤二模)畫法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．已知橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1.F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線l的方程為x＋eq\r(2)y－3＝0，M為橢圓C的蒙日?qǐng)A上一動(dòng)點(diǎn)，MA，MB分別與橢圓相切于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是(ACD)A．橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為x2＋y2＝3B．記點(diǎn)A到直線l的距離為d，則d－|AF2|的最小值為eq\f(4\r(3),3)C．一矩形四條邊與橢圓C相切，則此矩形面積最大值為6D．△AOB的面積的最小值為eq\f(2,3)，最大值為eq\f(\r(2),2)【解析】對(duì)于A，當(dāng)直線MA，MB一條斜率為0，另一條斜率不存在時(shí)，則M(±eq\r(2)，±1)，由蒙日?qǐng)A的定義可得蒙日?qǐng)A方程為；x2＋y2＝2＋1＝3，故A正確；對(duì)于B，∵A為橢圓C上的點(diǎn)，|AF1|＋|AF2|＝2a＝2eq\r(2)，∴d－|AF2|＝d－(2eq\r(2)－|AF1|)＝d＋|AF1|－2eq\r(2)；∵d＋|AF1|的最小值為點(diǎn)F1到直線l的距離，又F1(－1,0)，∴(d＋|AF1|)min＝eq\f(4,\r(1＋2))＝eq\f(4\r(3),3)，∴(d－|AF2|)min＝eq\f(4\r(3),3)－2eq\r(2)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，矩形四條邊均與C相切，該矩形為蒙日?qǐng)A的內(nèi)接矩形，設(shè)矩形的長(zhǎng)為m，寬為n，蒙日?qǐng)A的半徑r＝eq\r(3)，∴m2＋n2＝(2eq\r(3))2＝12，∴mn≤eq\f(1,2)(m2＋n2)＝6(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝eq\r(6)時(shí)取等號(hào))，此矩形面積最大值為6，C正確；對(duì)于D，設(shè)A(x1，y1)位于橢圓上半部分，即y＝eq\r(1－\f(1,2)x2)，∴y′＝－eq\f(x,2\r(1－\f(1,2)x2))，在A處的切線斜率k＝－eq\f(x1,2\r(1－\f(1,2)x\o\al(2,1)))＝－eq\f(x1,2y1)，切線方程為：y－y1＝－eq\f(x1,2y1)(x－x1)，即x1x＋2y1y＝xeq\o\al(2,1)＋2yeq\o\al(2,1)＝2，∴在A處的切線方程為eq\f(1,2)x1x＋y1y＝1，同理可得：當(dāng)A(x1，y1)位于橢圓下半部分，即y＝－eq\r(1－\f(1,2)x2)，切線方程為eq\f(1,2)x1x＋y1y＝1，在點(diǎn)A處的切線方程為eq\f(1,2)x1x＋y1y＝1，同理可知：在點(diǎn)B處的切線方程為eq\f(1,2)x2x＋y2y＝1，設(shè)H(x0，y0)，則eq\f(1,2)x1x0＋y1y0＝1且eq\f(1,2)x2x0＋y2y0＝1，可知A，B坐標(biāo)滿足方程，eq\f(1,2)x0x＋y0y＝1，即切點(diǎn)弦AB所在直線方程為eq\f(1,2)x0x＋y0y＝1，當(dāng)y0＝0時(shí)，M(±eq\r(3)，0)，此時(shí)AB所在直線方程為：x＝±eq\f(2\r(3),3)，∴|AB|＝2eq\r(1－\f(\f(4,3),2))＝eq\f(2\r(3),3)，∴SAOB＝eq\f(1,2)×eq\f(2\r(3),3)×eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(2,3)；當(dāng)y0≠0時(shí)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x0x＋y0y＝1，,\f(1,2)x2＋y2＝1，))得：(2yeq\o\al(2,0))x2－4x0x＋4－4yeq\o\al(2,0)＝0，由A知：xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝3，∴(6－xeq\o\al(2,0))x2－4x0x＋4xeq\o\al(2,0)－8＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(4x0,6－x\o\al(2,0))，x1x2＝eq\f(4x\o\al(2,0)－8,6－x\o\al(2,0))，|AB|＝eq\r(1＋\f(x\o\al(2,0),4y\o\al(2,0)))·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4x\o\al(2,0),6－x\o\al(2,0))))2－4×\f(4x\o\al(2,0)－8,6－x\o\al(2,0)))＝eq\r(\f(x\o\al(2,0)＋4y\o\al(2,0),4y\o\al(2,0)))·eq\r(\f(16(x\o\al(2,0)－3)(x\o\al(2,0)－4),(6－x\o\al(2,0))2))，又原點(diǎn)O到直線AB的距離d＝eq\f(1,\r(\f(x\o\al(2,0),4)＋y\o\al(2,0)))＝eq\f(2,\r(x\o\al(2,0)＋4y\o\al(2,0)))，∴S△AOB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\r(\f(x\o\al(2,0)＋4y\o\al(2,0),4y\o\al(2,0)))·eq\r(\f(16(x\o\al(2,0)－3)(x\o\al(2,0)－4),(6－x\o\al(2,0))2))·eq\f(2,\r(x\o\al(2,0)＋4y\o\al(2,0)))＝eq\r(\f(4(4－x\o\al(2,0)),(6－x\o\al(2,0))2))＝2eq\r(\f(6－x\o\al(2,0)－2,(6－x\o\al(2,0))2))＝2eq\r(－\f(2,(6－x\o\al(2,0))2)＋\f(1,6－x\o\al(2,0)))，令eq\f(1,6－x\o\al(2,0))＝t，∵xeq\o\al(2,0)∈[0,3)，則t∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(1,3)))，∵y＝－2t2＋t為開(kāi)口方向向下，對(duì)稱軸為t＝eq\f(1,4)的拋物線，ymax＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,8)，ymin＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))2＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,9)，(S△AOB)max＝eq\f(\r(2),2)，(S△AOB)min＝eq\f(2,3)，綜上所述：面積的最小值為eq\f(2,3)，最大值為eq\f(\r(2),2)，故D正確．故選ACD.三、填空題13.(2023·桐鄉(xiāng)市校級(jí)模擬)已知橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,m)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)F1、F2，若橢圓上頂點(diǎn)為點(diǎn)B，且△F1BF2為等腰直角三角形，則m＝_8__.【解析】橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,m)＝1，故a2＝16，b2＝m，△F1BF2為等腰直角三角形，故b＝c，故a2＝2b2，即16＝2m，m＝8.14.(2023·撫松縣校級(jí)模擬)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn)，若|CD|＝eq\r(2)|AB|.則雙曲線的離心率為eq\r(2).【解析】由題意可得eq\f(p,2)＝c，即p＝2c，拋物線的準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)，聯(lián)立x＝－c代入雙曲線的方程可得y2＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－1))＝b2·eq\f(c2－a2,a2)＝eq\f(b4,a2)，可得|y|＝eq\f(b2,a)，可得|AB|＝2|y|＝eq\f(2b2,a)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－c，,y＝－\f(b,a)x，))可得y＝eq\f(bc,a)，即|CD|＝eq\f(2bc,a)，因?yàn)閨CD|＝eq\r(2)|AB|，所以eq\f(2bc,a)＝eq\r(2)·eq\f(2b2,a)，可得c＝eq\r(2)b，即a2＋b2＝2b2，可得a＝b，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2)b,b)＝eq\r(2).15.(2023·武功縣校級(jí)模擬)已知點(diǎn)F為拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若|FA|·|FB|＝3，則p＝eq\f(3,2).【解析】由題意知Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，AB的方程為y＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，代入C的方程，得3x2－5px＋eq\f(3p2,4)＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(5p,3)，x1x2＝eq\f(p2,4)；因?yàn)閨FA|＝eq\f(p,2)＋x1，|FB|＝eq\f(p,2)＋x2，且|FA|·|FB|＝3，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋x1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋x2))＝3，整理得eq\f(p2,4)＋eq\f(p,2)·(x1＋x2)＋x1x2＝3，所以eq\f(p2,4)＋eq\f(p,2)·eq\f(5p,3)＋eq\f(p2,4)＝3，結(jié)合p＞0，解得p＝eq\f(3,2).16.(2023·黃石模擬)設(shè)橢