第3章 控制系統(tǒng)的時域分析

第3章控制系統(tǒng)的時域分析內(nèi)容提要

控制系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的動態(tài)過程的品質(zhì)及穩(wěn)態(tài)性能直接表征系統(tǒng)的優(yōu)劣。系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)正常工作的首要條件，系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全由系統(tǒng)自身的結構和參數(shù)決定，而與系統(tǒng)的輸入無關；系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標，它標志著系統(tǒng)的控制精度；系統(tǒng)的時域響應可定性或定量分析系統(tǒng)的動態(tài)性能。目錄§3.1線性定常系統(tǒng)的時域響應

§3.2控制系統(tǒng)時域響應的性能指標§3.3線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性§3.4系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差§3.5一階系統(tǒng)的時域響應§3.6二階系統(tǒng)的時域響應§3.7高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應§3.8用MATLAB和SIMULINK進行瞬態(tài)響應分析

§3.1線性定常系統(tǒng)的時域響應

對于一個單輸入單輸出n階線性定常系統(tǒng)，可用一個n階常系數(shù)線性微分方程來描述。

系統(tǒng)在輸入信號r(t)作用下，輸出c(t)隨時間變化的規(guī)律，即式(3-1)微分方程的解，就是系統(tǒng)的時域響應。由線性微分方程理論知，方程式的解由兩部分組成，即

c(t)=c1(t)+c2(t)

(3-2)c1(t)——對應齊次微分方程的通解c2(t)——非齊次微分方程的一個特解齊次微分方程的通解c1(t)由相應的特征方程的特征根決定。特征方程為：齊次微分方程的通解c1(t)與系統(tǒng)結構、參數(shù)及初始條件有關，而與輸入信號無關，是系統(tǒng)響應的過渡過程分量，稱為暫態(tài)響應。而非齊次微分方程的特解通常是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解，它是在輸入信號下系統(tǒng)的強迫分量，取決于系統(tǒng)結構、參數(shù)及輸入信號的形式，稱為穩(wěn)態(tài)分量。

從系統(tǒng)時域響應的兩部分看，穩(wěn)態(tài)分量(特解)是系統(tǒng)在時間t→∞時系統(tǒng)的輸出，衡量其好壞是穩(wěn)態(tài)性能指標：穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)響應的暫態(tài)分量是指從t=0開始到進入穩(wěn)態(tài)之前的這一段過程，采用動態(tài)性能指標(瞬態(tài)響應指標)，如穩(wěn)定性、快速性、平穩(wěn)性等來衡量。返回§3.2控制系統(tǒng)時域響應的性能指標3.2.1穩(wěn)態(tài)性能指標

穩(wěn)態(tài)響應過程是時間t趨于無窮時系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。采用穩(wěn)態(tài)誤差ess來衡量，其定義為：當時間t趨于無窮時，系統(tǒng)輸出響應的期望值與實際值之差。即

穩(wěn)態(tài)誤差ess反映控制系統(tǒng)復現(xiàn)或跟蹤輸入信號的能力或抗干擾能力。3.2.2動態(tài)性能指標系統(tǒng)的動態(tài)性能指標,是在系統(tǒng)的輸入為單位階躍信號時,對系統(tǒng)的輸出進行定義的.系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的輸出隨時間的變化,叫系統(tǒng)的單位階躍響應,常用c(t)表示.穩(wěn)定的系統(tǒng),其c(t)的變化曲線見下圖:其動態(tài)性能指標有如下幾項:(1)延遲時間:響應曲線第一次達到其穩(wěn)態(tài)值一半所需的時間.如下圖所示.(2)上升時間:響應曲線無振蕩時定義為響應從其穩(wěn)態(tài)值的10%上升到其穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間.如上圖所示.響應曲線有振蕩時定義為響應從0第一次上升到其穩(wěn)態(tài)值所需的時間.如上圖所示.(3)峰值時間:響應超過其穩(wěn)態(tài)值到達第一個峰值所需的時間.如下圖所示.(4)調(diào)節(jié)時間(過渡過程時間):響應到達并保持在穩(wěn)態(tài)值的±5%或±2%誤差范圍內(nèi)所需的最短時間.如上圖所示.(5)最大超調(diào)量:響應的最大值與穩(wěn)態(tài)值之差,與穩(wěn)態(tài)值的比如下圖所示.

（6）振蕩次數(shù)：

在調(diào)整時間ts內(nèi)響應曲線振蕩的次數(shù)。

返回其中，延遲時間、上升時間、峰值時間和調(diào)整時間反映系統(tǒng)的快速性；而最大超調(diào)量和振蕩次數(shù)則反映系統(tǒng)的平穩(wěn)性。3.3線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性

3.3.1穩(wěn)定性的概念

若控制系統(tǒng)在足夠小的初始偏差的作用下，其過渡過程隨時間的推移，逐漸衰減并趨于零，即具有恢復原平衡狀態(tài)的能力，則稱這個系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，稱這個系統(tǒng)不穩(wěn)定。我們研究的穩(wěn)定性的前提條件：1.我們討論的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，但是當考慮其所對應的實際系統(tǒng)時，則要求初始偏差所引起的系統(tǒng)中所有信號的變化均不超過其線性化范圍。2.控制理論中所討論的穩(wěn)定性都是指自由振蕩下的穩(wěn)定性，即討論系統(tǒng)輸入為零，初始偏差不為零時的穩(wěn)定性，也就是討論自由振蕩是收斂的還是發(fā)散的。3.3.2線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

設n階線性定常系統(tǒng)的微分方程為

對式(3-7)作拉氏變換，得式中，為與初始狀態(tài)條件有關的多項式。在式(3-8)中取R(s)=0，得到在初始狀態(tài)影響下系統(tǒng)的時間響應(即零輸入響應)為若pi為系統(tǒng)特征方程D(s)=0的根，則系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換為：式中，q+2r=n，將上式展開成部分分式，并設

。對（3-9）式進行拉普拉斯反變換，得系統(tǒng)的零輸入響應為：上式中，Aj是C(s)在閉環(huán)實數(shù)極點pj處的留數(shù)，可按下式計算：Bk和Ck是與C(s)在閉環(huán)復數(shù)極點處的留數(shù)有關的常系數(shù)。由上式可見，若系統(tǒng)所有特征根pj的實部均為負值，即Re［pj］<0，則零輸入響應(暫態(tài)響應)最終將衰減到零，即

這樣的系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。反之，若特征根中有一個或多個根具有正實部時，則暫態(tài)響應將隨時間的推移而發(fā)散，即這樣的系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。若特征根中有一個或一個以上零實部根，而其余特征根具有負實部，則暫態(tài)響應趨于常數(shù)或趨于等幅振蕩，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。綜上所述，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)特征根的實部均小于零，或系統(tǒng)的特征根均在根平面的左半平面。根據(jù)穩(wěn)定的充分必要條件判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要求出系統(tǒng)的全部特征根，但當系統(tǒng)階數(shù)比較高時，求解特征方程將會比較困難，于是出現(xiàn)的一系列間接判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性判據(jù)。3.3.3勞斯判據(jù)

勞斯判據(jù)是基于系統(tǒng)特征方程的根與系數(shù)的關系建立的。判定線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性時直接引用。設n階系統(tǒng)的特征方程為

D(s)=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an

=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0

式中，pi為系統(tǒng)的特征根。

根據(jù)代數(shù)方程的基本理論有下式：

要使全部特征根pi均具有負實部，必須滿足以下兩個條件：

（1）特征方程的各項系數(shù)均不為零。（2）特征方程的各項系數(shù)的符號都相同。

sna0a2

a4a6……sn-1a1a3a5a7

……sn-2b1b2b3b4……sn-3c1c2c3c4……………s2f1f2s1g1s0h1利用線性系統(tǒng)特征方程列勞斯陣列（勞斯表）：

其中

系數(shù)b的計算，一直進行到其余的b值都等于零為止，用同樣的方法計算c、d、…g、h。

勞斯穩(wěn)定判據(jù)：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是勞斯表中第一列所有元素均大于零。若勞斯表中第一列元素有正有負，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且特征方程中實部為正的特征根個數(shù)等于勞斯表中第一列的元素符號改變的次數(shù)。

例3-1已知三階系統(tǒng)特征方程如下，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件？故得出三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為各系數(shù)大于零，且a1a2>a0a3解：勞斯陣列為例3-2已知系統(tǒng)特征方程，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性勞斯表中第一列元素大于零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即所有特征根均在s平面的左半平面。解：方程無缺項，且系數(shù)大于零。列勞斯表：例3-3系統(tǒng)特征方程為勞斯表中第一列各元素符號不完全一致，系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列元素符號改變兩次，因此系統(tǒng)有兩個右半平面的根。解：各項系數(shù)均大于零。列勞斯表：例3-4系統(tǒng)特征方程

它有一個系數(shù)為負的，由勞斯判據(jù)的系統(tǒng)不穩(wěn)定。但究竟有幾個右根，仍需列勞斯表：勞斯表中第一列元素符號改變兩次，系統(tǒng)有2個右半平面的根有兩種特殊情況需要說明：＊1.勞斯表中某一行的第一個元素為零，而該行其它元素并不為零，則在計算下一行第一個元素時，該元素必將趨于無窮大，以至勞斯表的計算無法進行。為了解決這個問題，可用一個無窮小的正數(shù)ε來代替第一列的零元素，使勞斯表可以繼續(xù)下去，當ε→0時，判定第一列的正負即可。＊2.勞斯表中某一行的元素全為零。則表示在s平面內(nèi)存在一些大小相等符號相反的實根或共軛虛根，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。為了將勞斯表繼續(xù)下去，可用該零行的上一行的各元素構成輔助多項式P(s)，并用這個多項式的導數(shù)的各項系數(shù)來代替全零行的各元素，使勞斯表繼續(xù)下去。

例3-5系統(tǒng)特征方程

列勞斯表

勞斯表中第一列元素，ε→0時，出現(xiàn)負數(shù)，因此第一列元素的符號改變了兩次，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個右半平面的根例3-6系統(tǒng)特征方程

列勞斯表

勞斯表中第一列元素符號沒有改變，系統(tǒng)沒有右半平面的根，但由P(s)=0求得即系統(tǒng)有一對共軛虛根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定，從工程角度來看，臨界穩(wěn)定屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。例3-7系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表：勞斯表中第一列元素符號改變一次，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有一個右半平面的根，由P(s)=0得3.3.4赫爾維茨判據(jù)

設系統(tǒng)的特征方程式為以特征方程式的各項系數(shù)組成如下行列式

赫爾維茨判據(jù)指出，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是在a0>0的情況下，上述行列式的各階主子式Δi均大于零，即

例3-8系統(tǒng)的特征方程為列出行列式Δ由赫爾維茨判據(jù)，該系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：或?qū)懗上到y(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為a0>0a1>0a2>0a3>0a1a2-a0a3>0例3-9二階系統(tǒng)的特征方程為列出行列式Δ由Hurwitz判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為a0>0a1>0a1a2>0即二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是特征方程式的所有系數(shù)均大于零。

3.3.5系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響

應用代數(shù)判據(jù)不僅可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還可以用來分析系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。例3-10系統(tǒng)結構圖如圖所示，試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)其特征方程式為列勞斯表

按勞斯判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，應有K>0，且30-K>0，故K的取值范圍為0<K<30例3-11系統(tǒng)結構圖如圖3-3所示，試分析參數(shù)K1

，K2

，K3和T對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程為

由于特征方程缺項，由勞斯判據(jù)知，不論K1

，K2

，K3和T取何值系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的，稱為結構不穩(wěn)定系統(tǒng)。欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須改變系統(tǒng)的結構。如在原系統(tǒng)的前向通道中引入一比例微分環(huán)節(jié)，如圖3-4所示。變結構后系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程為列勞斯陣列：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為即對于結構不穩(wěn)定系統(tǒng)，改變系統(tǒng)結構后，只要適當選配參數(shù)就可使系統(tǒng)穩(wěn)定。3.3.6相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕量

相對穩(wěn)定性即系統(tǒng)的特征根在s平面的左半平面且與虛軸有一定的距離，在這一定的距離的前提下的系統(tǒng)穩(wěn)定性。而這段距離稱之為穩(wěn)定裕量。為了能應用上述的代數(shù)判據(jù)，通常將s平面的虛軸左移一個距離δ，得新的復平面s1，即令s1=s+δ或s=s1-δ得到以s1為變量的新特征方程式D(s1)=0，再利用代數(shù)判據(jù)判別新特征方程式的穩(wěn)定性，若新特征方程式的所有根均在s1平面的左半平面，則說明原系統(tǒng)不但穩(wěn)定，而且所有特征根均位于-δ的左側，δ稱為系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量

例3-12

檢驗特征方程式

是否有根在s右半平面，以及有幾個根在s=-1直線的右邊。解列勞斯表：由勞斯判據(jù)知，系統(tǒng)穩(wěn)定，所有特征根均在s的左半平面。令s=s1-1代入D(s)得s1的特征方程式返回列勞斯表：勞斯表中第一列元素符號改變一次，表示系統(tǒng)有一個根在s1右半平面，也就是有一個根在s=-1直線的右邊(虛軸的左邊)，系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量不到1?！?.4系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差3.4.1誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的定義

系統(tǒng)的誤差e(t)一般定義為被控量的希望值與實際值之差。即

e(t)=被控量的希望值—被控量的實際值對于圖3-5所示的反饋控制系統(tǒng)，常用的誤差定義有兩種

1.輸入端定義2.輸出端定義當圖中反饋為單位反饋時，即H(s)=1時，上述兩種定義可統(tǒng)一為誤差響應e(t)與系統(tǒng)輸出響應c(t)一樣，也包含暫態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量兩部分，對于一個穩(wěn)定系統(tǒng)，暫態(tài)分量隨著時間的推移逐漸消失，而我們主要關心的是控制系統(tǒng)平穩(wěn)以后的誤差，即系統(tǒng)誤差響應的穩(wěn)態(tài)分量——穩(wěn)態(tài)誤差記為ess。定義穩(wěn)態(tài)誤差為穩(wěn)定系統(tǒng)誤差響應e(t)的終值。當時間t趨于無窮時，e(t)的極限存在，則穩(wěn)態(tài)誤差為3.4.2穩(wěn)態(tài)誤差分析根據(jù)誤差和穩(wěn)態(tài)誤差的定義，系統(tǒng)誤差e(t)的像函數(shù)

定義為系統(tǒng)對輸入信號的誤差傳遞函數(shù)。由拉普拉斯變換的終值定理計算穩(wěn)態(tài)誤差，則代入E(s)表達式得從上式得出兩點結論：1.穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)輸入信號r(t)的形式有關；2.穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)有關。3.4.3穩(wěn)態(tài)誤差的計算

對于線性系統(tǒng)，響應具有疊加性，不同輸入信號作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的誤差等于每一個輸入信號單獨作用時產(chǎn)生的誤差的疊加。對于右圖所示系統(tǒng)，控制信號r(t)和擾動信號n(t)同時作用于系統(tǒng)。1.控制信號r(t)單獨作用下，

誤差

穩(wěn)態(tài)誤差為2.擾動信號單獨作用下，誤差

穩(wěn)態(tài)誤差定義

為系統(tǒng)對擾動的誤差傳遞函數(shù)。

控制系統(tǒng)在給定信號r(t)和擾動信號n(t)同時作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為例3-13系統(tǒng)結構圖如圖所示，當輸入r(t)=4·t時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess。

解:系統(tǒng)只有在穩(wěn)定的條件下計算穩(wěn)態(tài)誤差才有意義，所以應先判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表由勞斯判據(jù)知，系統(tǒng)穩(wěn)定條件為系統(tǒng)的誤差函數(shù)為由終值定理求得穩(wěn)態(tài)誤差計算表明，穩(wěn)態(tài)誤差的大小與系統(tǒng)的放大倍數(shù)K有關。即K越大，穩(wěn)態(tài)誤差ess越小。要減小穩(wěn)態(tài)誤差則應增大倍數(shù)K，而從穩(wěn)定性分析卻得出，使系統(tǒng)穩(wěn)定的K只應小于5/4，表明系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度和穩(wěn)定性對放大倍數(shù)的要求常常是矛盾的。3.4.4應用靜態(tài)誤差系數(shù)計算給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)直接影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差1.系統(tǒng)的類型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)可表示為

系統(tǒng)常按開環(huán)傳遞函數(shù)中所含有的積分環(huán)節(jié)個數(shù)來分類。把=0，1，2，…的系統(tǒng)，分別稱為0型，Ⅰ型，Ⅱ型，…系統(tǒng)。

2.靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp

當系統(tǒng)的輸入為單位階躍信號r(t)=1(t)時，由穩(wěn)態(tài)誤差表達式，有其中，，定義為系統(tǒng)靜態(tài)位置誤差系數(shù)。對于0型系統(tǒng)對于Ⅰ型或高于Ⅰ型以上系統(tǒng)由上面分析可見：1、Kp的大小反映了系統(tǒng)在階躍輸入下消除誤差的能力，Kp越大，穩(wěn)態(tài)誤差越?。?、0型系統(tǒng)對階躍輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差為一個常數(shù)，其大小與K有關，K越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小，但總有差，所以把0型系統(tǒng)稱為有差系統(tǒng)；3、在階躍輸入時，若要系統(tǒng)誤差為零，則系統(tǒng)至少為I型或高于I型的系統(tǒng)

3.靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv當系統(tǒng)的輸入為單位斜坡信號時r(t)=t·1(t)，即則由穩(wěn)態(tài)誤差表達式有

其中

，定義為系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù)。

對于0型系統(tǒng)

對于Ⅰ型系統(tǒng)對于Ⅱ型或Ⅱ型以上系統(tǒng)

由上面分析可見：1、Kv的大小反映了系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入信號的能力，Kv越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小；2、0型系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時，無法跟蹤斜坡輸入信號；3、I型系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時，輸出與輸入在速度上相等，但有一個與K成反比的常值位置誤差；4、Ⅱ型或Ⅱ型以上系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時，可完全跟蹤斜坡輸入信號。4.靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka

當系統(tǒng)輸入為單位加速度信號時，即則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為其中，，定義為系統(tǒng)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。對于0型系統(tǒng)，Ka=0，ess=∞；對于Ⅰ型系統(tǒng)，Ka=0，ess=∞；對于Ⅱ型系統(tǒng)，Ka=K，；對于Ⅲ型或Ⅲ型以上系統(tǒng)，Ka=∞，ess=0。

由上面分析可見：1、Ka的大小反映了系統(tǒng)跟蹤加速度輸入信號的能力，Ka越大，系統(tǒng)跟蹤精度越高；2、Ⅱ型以下系統(tǒng)輸出不能跟蹤加速度輸入信號，在跟中過程中，誤差越來越大，穩(wěn)態(tài)時達到無限大；3、Ⅱ型系統(tǒng)能跟蹤加速度輸入，但有一個常值誤差，其大小與K成反比；4、Ⅲ型或Ⅲ型以上系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時，可準確跟蹤加速度輸入信號。表3-1各種輸入下各種類型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

輸入形式穩(wěn)態(tài)誤差0型系統(tǒng)Ⅰ型系統(tǒng)Ⅱ型系統(tǒng)單位階躍00單位斜坡∞0單位加速度∞∞例3-14系統(tǒng)結構如圖3-9所示，求當輸入信號r(t)=2t+t2時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess。首先判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由開環(huán)傳遞函數(shù)知，閉環(huán)特征方程為根據(jù)勞斯判據(jù)知閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。求穩(wěn)態(tài)誤差ess，因為系統(tǒng)為II型系統(tǒng)，根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性和疊加性，有

故系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess=ess1+ess2=0.1。

3.4.5干擾信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與

系統(tǒng)結構的關系

擾動信號n(t)作用下的系統(tǒng)結構圖如圖所示

擾動信號n(t)作用下的誤差函數(shù)為

穩(wěn)態(tài)誤差

若，則上式可近似為由上可得，干擾信號作用下產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差essn除了與干擾信號的形式有關外，還與干擾作用點之前(干擾點與誤差點之間)的傳遞函數(shù)的結構及參數(shù)有關，但與干擾作用點之后的傳遞函數(shù)無關。例如，若則穩(wěn)態(tài)誤差擾動作用點之前的增益K1越大，擾動產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差越小，而穩(wěn)態(tài)誤差與擾動作用點之后的增益K2無關。若則穩(wěn)態(tài)誤差比較以上兩例可見，擾動信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與擾動信號作用點之后的積分環(huán)節(jié)無關，而與誤差信號到擾動點之間的前向通道中的積分環(huán)節(jié)有關，要想消除穩(wěn)態(tài)誤差，應在誤差信號到擾動點之間的前向通道中增加積分環(huán)節(jié)。3.4.6改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的途徑

返回從上面穩(wěn)態(tài)誤差分析可知，采用以下途徑來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度：＊1.提高系統(tǒng)的型號或增大系統(tǒng)的開環(huán)增益，可以提高系統(tǒng)對給定信號的跟蹤能力。但同時帶來系統(tǒng)穩(wěn)定性變差，甚至導致系統(tǒng)不穩(wěn)定。＊2.增大誤差信號與擾動作用點之間前向通道的開環(huán)增益或積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，可以降低擾動信號引起的穩(wěn)態(tài)誤差。但同樣也有穩(wěn)定性問題。＊3.采用復合控制，即將反饋控制與擾動信號的前饋或與給定信號的順饋相結合。這部分在系統(tǒng)校正部分介紹?！?.5一階系統(tǒng)的時域響應

3.5.1數(shù)學模型

能夠用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為其中T為一階系統(tǒng)的時間常數(shù)3.5.2單位階躍響應

當r(t)=1(t)時，一階系統(tǒng)的輸出c(t)稱為單位階躍響應，記作h(t)。圖3-12一階系統(tǒng)的單位階躍響應3.5.3性能指標

1.調(diào)整時間ts

經(jīng)過時間3T～4T，響應曲線已達穩(wěn)態(tài)值的95%～98%，可以認為其調(diào)整過程已完成，故一般取ts=(3～4)T。2.穩(wěn)態(tài)誤差ess

系統(tǒng)的實際輸出h(t)在時間t趨于無窮大時，接近于輸入值，即3.超調(diào)量Mp

一階系統(tǒng)的單位階躍響應為非周期響應，故系統(tǒng)無振蕩、無超調(diào)，Mp=0。3.5.4一階系統(tǒng)的單位脈沖響應

當輸入信號r(t)=δ(t)時，系統(tǒng)的輸出稱為單位脈沖響應，記為g(t)。當r(t)=δ(t)，即R(s)=1時，有輸入信號輸出響應同理可求出一階系統(tǒng)對單位斜坡輸入和單位拋物線輸入的響應，并列表如下：從表中可見，單位拋物線函數(shù)的導數(shù)是單位斜坡函數(shù)，單位斜坡函數(shù)的導數(shù)是單位階躍函數(shù)，單位階躍函數(shù)的導數(shù)是單位脈沖函數(shù)。這些典型輸入信號的一階系統(tǒng)響應也存在這種等價關系，這種對應關系表明：系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的導數(shù)；系統(tǒng)對輸入信號積分的響應等于系統(tǒng)對該信號響應的積分，而積分常數(shù)由零初始條件的輸出決定。這個重要特征，對任何階的線性定常系統(tǒng)都適用。返回§3.6二階系統(tǒng)的時域響應

3.6.1二階系統(tǒng)的數(shù)學模型

當系統(tǒng)輸出與輸入之間特性由二階微分方程描述時，稱為二階系統(tǒng)。在控制工程中，不僅二階系統(tǒng)的典型應用極為普遍，而且很多高階系統(tǒng)的特性在一定條件下可用二階系統(tǒng)的特性來表征。因此著重研究二階系統(tǒng)的分析和計算方法，具有較大的實際意義。

典型二階系統(tǒng)的結構圖如圖3-14所示，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為或圖3-14典型二階系統(tǒng)結構圖其中ζ——系統(tǒng)的阻尼比ωn——系統(tǒng)的無阻尼自然振蕩角頻率——系統(tǒng)振蕩周期系統(tǒng)的特征方程為特征根為系統(tǒng)的特征根完全由ζ和ωn描述，下面討論一下。3.6.2二階系統(tǒng)的單位階躍響應

1.當ζ>1時，系統(tǒng)有兩個不相等的負實根，稱為過阻尼狀態(tài)。兩個不相等的負實根為單位階躍響應當時，通過測試：當時，系統(tǒng)的過渡過程時間可近似為系統(tǒng)的超調(diào)量

圖3-15過阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應2.當0<ζ<1時，系統(tǒng)有一對實部為負的共軛復根，稱為欠阻尼狀態(tài)。在欠阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)的兩個閉環(huán)極點為一對共軛復極點，即其中，稱為阻尼振蕩角頻率。

單位階躍響應

也可寫成

式中系統(tǒng)響應由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量組成。

圖3-16欠阻尼狀態(tài)下系統(tǒng)單位階躍響應上升時間tr其中

欠阻尼下，二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標如下：(2)峰值時間tp

由式（3-41）令h(t)對時間求導，并令其為零，有：整理得：由式（3-42）知：所以有：根據(jù)峰值時間定義，(3)最大超調(diào)量Mp

(4)調(diào)整時間ts

誤差帶范圍為

±5%誤差帶范圍為±2%(5)振蕩次數(shù)N

3.當阻尼比ζ=1時，系統(tǒng)的特征根為兩相等的負實根，稱為臨界阻尼狀態(tài)。

此時系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，系統(tǒng)的超調(diào)量Mp=0，調(diào)節(jié)時間(對應誤差帶為5%)圖3-18臨界阻尼系統(tǒng)階躍響應4.當阻尼比ζ=0時，系統(tǒng)特征根為一對純虛根，稱為無阻尼狀態(tài)。

系統(tǒng)特征根

單位階躍響應為

系統(tǒng)的階躍響應為等幅振蕩過程，振蕩角頻率為ωn根據(jù)以上分析，可得出不同阻尼比系統(tǒng)單位階躍響應曲線簇，見P77圖3-20。由圖可見，1、阻尼比ζ越大，超調(diào)量越小，響應的平穩(wěn)性越好。反之，阻尼比越小，振蕩越強，平穩(wěn)性越差，阻尼比為零時，系統(tǒng)等幅振蕩，振蕩頻率ωn，所以ωn稱為無阻尼自然振蕩角頻率。2、過阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)響應遲緩，過渡過程時間長，系統(tǒng)快速性差；欠阻尼狀態(tài)下，ζ過小，響應的起始速度較快，但因振蕩強烈，衰減緩慢，所以調(diào)整時間長，快速性差。3、ζ=0.707時，系統(tǒng)超調(diào)量Mp<5%,調(diào)整時間最短，平穩(wěn)性和快速性最好。4、當阻尼比ζ為常數(shù)時，ωn越大，調(diào)節(jié)時間越短，快速性越好。5、系統(tǒng)超調(diào)量和振蕩次數(shù)僅由阻尼比決定，反映系統(tǒng)的平穩(wěn)性。6、工程實踐中，二階系統(tǒng)多設計成0<ζ<1的欠阻尼情況，且ζ常取0.4-0.8，此時超調(diào)量為1.5%-25.4%3.6.3二階系統(tǒng)的單位脈沖響應

1.脈沖響應及脈沖響應函數(shù)

當系統(tǒng)輸入信號為單位脈沖函數(shù)δ(t)時，系統(tǒng)的響應為單位脈沖響應，記為g(t)。

2.脈沖響應與階躍響應的關系系統(tǒng)的單位階躍響應是該系統(tǒng)單位脈沖響應的積分，或系統(tǒng)的單位脈沖響應是該系統(tǒng)單位階躍響應的導數(shù)。即或

3.二階系統(tǒng)的單位脈沖響應

當ζ>1時當0<ζ<1時當ζ=1時當ζ=0時

例3-15原控制系統(tǒng)如圖3-23(a)所示，引入速度反饋后的控制系統(tǒng)如圖3-23(b)所示，已知在圖3-23(b)中，系統(tǒng)單位階躍響應的超調(diào)量Mp%=16.4%，峰值時間tp=1.14s，試確定參數(shù)K和Kt，并計算系統(tǒng)在(a)和(b)的單位階躍響應h(t)。圖3-23例3-15圖解對于系統(tǒng)(b)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為與典型二階系統(tǒng)相比較，有（3-59）而已知Mp=16.4%tp=1.14s根據(jù)

求得又

求得

將代入(3-59)得

其單位階躍響應為

對于系統(tǒng)(a)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為與典型二階系統(tǒng)比較有系統(tǒng)的最大超調(diào)量峰值時間其單位階躍響應為

返回§3.7高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應3.7.1高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應

n階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

當輸入為單位階躍函數(shù)r(t)=1(t)，即時，則假設所有閉環(huán)零點和極點互不相等且均為實數(shù)當極點中包含共軛復極點時

進行拉普拉斯反變換可得系統(tǒng)的單位階躍響應

對于高階系統(tǒng)的因式分解比較困難，因而求取系統(tǒng)的響應也比較困難。階次越高，困難越大，在實際分析設計中很少直接用上述方法求取高階系統(tǒng)的響應，往往采用忽略一些次要因素的影響，把系統(tǒng)降階，用低階次的系統(tǒng)響應近似的估計系統(tǒng)的響應特性。3.7.2高階系統(tǒng)的降階

主導極點

在整個響應過程中起著主要的決定性作用的閉環(huán)極點，我們稱它為主導極點。工程上往往只用主導極點估算系統(tǒng)的動態(tài)特性。即將系統(tǒng)近似地看成是一階或二階系統(tǒng)。2.偶極子

將一對靠得很近的閉環(huán)零、極點稱為偶極子。工程上，當某極點和某零點之間的距離比它們的模值小一個數(shù)量級，就可認為這對零極點為偶極子。閉環(huán)傳遞函數(shù)中，如果零、極點數(shù)值上相近，則可將該零點和極點一起消掉，稱之為偶極子相消。3.7.3零極點對階躍響應的影響1.零點對階躍響應的影響假設系統(tǒng)中增加一個閉環(huán)實零點，即系統(tǒng)中增加了一個串聯(lián)環(huán)節(jié)且閉環(huán)零點z位于復平面的左半平面，

上式拉普拉斯反變換可見，增加一個閉環(huán)左實零點以后，系統(tǒng)階躍響應增加了一項，該項的值與c(t)的變化率成正比，與該零點離虛軸的距離成反比。顯然，該零點的增加將使系統(tǒng)響應過程加快，超調(diào)量增大，系統(tǒng)對輸入作用的反應靈敏了。反之，如果增加的閉環(huán)零點位于復平面的右半平面，即，則這將使系統(tǒng)響應過程變慢，超調(diào)量減小，系統(tǒng)對輸入作用的反應變滯呆了。

由上述分析可知，如果在降階處理時略去一個左實零點，那么求得的階躍響應將較實際系統(tǒng)的響應慢一些，超調(diào)量也小一些。略去的零點離虛軸越遠，計算誤差越小。反之，如果略去的是右實零點，則計算結果將較實際系統(tǒng)的響應快些，超調(diào)量大些。略去的零點離虛軸越遠，造成的誤差越小。

2.極點對階躍響應的影響

假設系統(tǒng)增加一個閉環(huán)左實極點-|p|，系統(tǒng)在單位階躍信號作用下輸出

取拉普拉斯反變換得

可以看出：系統(tǒng)中增加一個閉環(huán)左實極點，系統(tǒng)的過渡過程將變慢，超調(diào)量將減小，系統(tǒng)的反應變得較為滯呆。對于閉環(huán)傳遞函數(shù)存在右極點的情況，系統(tǒng)時域響應是發(fā)散的，系統(tǒng)不穩(wěn)定返回小結線性系統(tǒng)的時域響應時域響應性能指標（穩(wěn)態(tài)性能指標、暫態(tài)性能指標）線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念（充要條件）穩(wěn)定性判據(jù)，運用穩(wěn)定性判據(jù)計算是系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍穩(wěn)態(tài)誤差定義、計算，應用靜態(tài)誤差系數(shù)求取給定信號作用下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差一、二階系統(tǒng)時域響應及性能指標高階系統(tǒng)降階（主導極點、偶極子相消），對系統(tǒng)的影響返回1、當b=0時，試確定系統(tǒng)的阻尼系數(shù)，自然頻率，超調(diào)量δ％和調(diào)節(jié)時間（允許誤差取5％）,并求當r(t)=t時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差2、當b≠0時，若要求=0.8，確定b的值，并求當r(t)=t時，

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差§3.8用MATLAB和SIMULINK

進行瞬態(tài)響應分析3.8.1單位脈沖響應當輸入信號為單位脈沖函數(shù)δ(t)時，系統(tǒng)輸出為單位脈沖響應，MATLAB中求取脈沖響應的函數(shù)為impulse()，其調(diào)用格式為

［y，x，t］=impulse(num，den，t)或impulse(num，den)式中G(s)=num/den；t為仿真時間；y為時間t的輸出響應；x為時間t的狀態(tài)響應。例3-16試求下列系統(tǒng)的單位脈沖響應MATLAB命令為：>>t=[0：0.1：40]；>>num=[1]；

>>den=[1，0.3，1]；>>impulse(num，den，t)；>>grid；>>title('Unit-impulseResponseofG(s)=1/(s^2+0