第5章 動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析

第5章動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析

5.1拉普拉斯變換5.2復(fù)頻域電路模型5.3電路的復(fù)頻域分析小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)理解并掌握拉普拉斯變換的定義及基本性質(zhì)、常用信號(hào)的拉普拉斯變換

理解并掌握拉普拉斯反變換的部分分式法。理解并掌握電路元件的電壓電流關(guān)系及電路的復(fù)頻域模型、電路定律的復(fù)頻域形式。掌握線性電路的復(fù)頻域分析方法。5.1.1拉普拉斯變換的定義一個(gè)定義在時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換記為，其定義為(5.1)其中稱為復(fù)頻率，積分限0_和是固定的，所以積分的結(jié)果與無(wú)關(guān)，而只取決于參數(shù)，即(5.2)5.1拉普拉斯變換

F(s)即為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換，F(xiàn)(s)稱為f(t)的象函數(shù)，稱為F(s)的原函數(shù)。在電路中我們用U(s)的I(s)分別表示u(t)和i(t)的拉普拉斯變換。

如果F(s)已知，要求出它所對(duì)應(yīng)的原函數(shù)f(t)，則由F(s)到f(t)的變換稱為拉普拉斯反變換，它的定義為（5.3）應(yīng)該認(rèn)識(shí)到：u(t)和i(t)是時(shí)間的函數(shù)，即時(shí)域變量,時(shí)域是實(shí)際存在的變量。而它們的拉普拉斯變換U(s)和I(s)則是一種抽象的變量。我們之所以把直觀的時(shí)域變量變?yōu)槌橄蟮膹?fù)頻率變量，是為了便于分析和計(jì)算電路問(wèn)題，待得出結(jié)果后再反變換為相應(yīng)的時(shí)域變量。5.1.2

拉普拉斯變換的基本性質(zhì)一、線性性質(zhì)1若則拉普拉斯變換的一個(gè)重要性質(zhì)是它的線性性質(zhì)(直線性)。亦即拉普拉斯變換是時(shí)域與復(fù)頻域間的線性變換。它表現(xiàn)為以下兩個(gè)定理：2若則5.1.2

拉普拉斯變換的基本性質(zhì)二、微分性質(zhì)1若則拉普拉斯變換的第二個(gè)重要性質(zhì)是函數(shù)的拉普拉斯變換與其導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換之間存在著簡(jiǎn)單的關(guān)系。重復(fù)運(yùn)算的微分定理，我們還可以得到下面關(guān)于函數(shù)的拉普拉斯變換及其高階的拉普拉斯變換之間關(guān)系的推論。5.1.2

拉普拉斯變換的基本性質(zhì)三、積分性質(zhì)若則拉普拉斯變換的第三個(gè)重要性質(zhì)是函數(shù)的拉普拉斯變換與其積分的拉普拉斯變換之間存在著簡(jiǎn)單的關(guān)系。由此可見(jiàn)，在時(shí)域中的積分運(yùn)算相當(dāng)于復(fù)頻域中的除法運(yùn)算。5.1.3常用信號(hào)的拉普拉斯變換例：正弦余弦信號(hào)的拉氏變換例：衰減余弦的拉氏變換5.1.4拉普拉斯反變換的部分分式法可以把任意一個(gè)有理函數(shù)分解成許多簡(jiǎn)單項(xiàng)之和，而這些簡(jiǎn)單項(xiàng)都可以在拉氏變換表中找到，這種方法稱為部分分式展開，或稱為分解定理。這是用拉氏變換法求解線性電路時(shí)，進(jìn)行反變換的主要方法。

令用部分分式展開有理分式F(s)時(shí)，第一步是把有理分式化為真分式5.1.4拉普拉斯反變換的部分分式法上式中的A是一個(gè)常數(shù)，其對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)為。所以在下面的討論中都假定F(s)為真分式。

為用部分分式展開有理分式F(s)，首先必須求出D(s)=0的根。下面就這些根的不同情況分別討論F(s)的展開。1．設(shè)D(s)=0有n個(gè)單根的情況。設(shè)n個(gè)單根分別為。于是F(s)可以展開為

5.1.4拉普拉斯反變換的部分分式法式中等是待定系數(shù)。這些系數(shù)可以按下述方法確定，把上式兩邊都乘以，得令，則等式除第一項(xiàng)外都變?yōu)榱?，這樣就求得各待定系數(shù)的公式為

5.1.4拉普拉斯反變換的部分分式法于是F(s)所對(duì)應(yīng)的原函數(shù)f(t)進(jìn)行反拉氏變換便可求得，即例5.1例5.2例5.3作業(yè)P1605.15.25.3

5.2.1電路元件的S域模型R.L.C元件的時(shí)域關(guān)系為：各式進(jìn)行拉氏變換得：5.2復(fù)頻域電路模型對(duì)電流解出得：5.2.2電路的復(fù)頻域模型通過(guò)上述分析，已經(jīng)獲得了理想電路元件的復(fù)頻域電路模型。這樣，時(shí)域電路變換為復(fù)頻域電路就比較容易了。其步驟如下：

1、計(jì)算各儲(chǔ)能元件的初始條件，進(jìn)而獲得其復(fù)頻域電路模型；2、用理想電路元件（不包括電源）的復(fù)頻域電路模型代替該元件；3、用、代替相應(yīng)的及；4、用、代替原電路中相應(yīng)的及。例5.4

圖5.1(a)所示的電路開關(guān)閉合前已處于穩(wěn)態(tài)。試畫出復(fù)頻域電路模型。(a)(b)

圖5.1例5.4的圖解:

先求電感和電容的初始條件和在圖5.1(a)中，開關(guān)動(dòng)作前電路已處穩(wěn)態(tài)，因而在t=0_時(shí)電感相當(dāng)于短路，電容相當(dāng)于開路。故

由此獲得相應(yīng)的復(fù)頻域電路模型如圖5.1(b)所示。作業(yè)P1605.55.3.1.基爾霍夫定律的復(fù)頻域形式

KC.L對(duì)于任意的節(jié)點(diǎn)，在同一時(shí)刻流入該節(jié)點(diǎn)的電流代數(shù)和恒等于零即K.V.L沿任意閉合回路，各段電壓的代數(shù)和恒等于零，即5.3電路的復(fù)頻域分析

用拉氏變換分析電路的步驟如下：

A.將已知的電動(dòng)勢(shì)、恒定電流進(jìn)行拉氏變換。

B.根據(jù)原電路圖畫出運(yùn)算等效電路圖。

C.用計(jì)算線性系統(tǒng)或電路穩(wěn)定狀態(tài)的任何方法解運(yùn)算電路，求出待求量的象函數(shù)。

D.將求得的象函數(shù)變換為原函數(shù)。5.3.2電路的復(fù)頻域分析方法例5.5

用拉氏變換求R、L、C串聯(lián)電路的(a)單位階躍響應(yīng)和(b)零輸入響應(yīng)。設(shè)。解:(a)。此時(shí)有令則可得查表5.1可得則可得由查表5.1可得例5.6

在圖5.7(a)所示電路中，直流電壓源的電壓，試求零狀態(tài)響應(yīng)。(a)(b)

圖5.7

例5.6的圖解：作出電路的復(fù)頻域模型，如圖5.7（b）所示。

方法1：用節(jié)點(diǎn)分析法求解其中：所以：其對(duì)應(yīng)的時(shí)域形式為：方法2：用網(wǎng)孔法求解網(wǎng)孔方程為：所以方法3：用戴維南定理求解斷開電感支路如圖5.8a所示，開路電壓和輸入運(yùn)算阻抗分別為從而得到它的戴維南等效電路如圖5.8b所示。

圖5.8戴維南等效電路所以進(jìn)行反變換得：這與前面兩種方法所得的結(jié)果一致。

例5.7

電路如圖5.9所示，試求在單位沖激電壓激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)和。解：作電路的復(fù)頻域模型如圖5.9b，由節(jié)點(diǎn)分析法得即：

從以上結(jié)果可見(jiàn)，用復(fù)頻域分析法求沖激響應(yīng)非常方便，這是因?yàn)閱挝粵_激函數(shù)的拉普拉斯形式為1。作業(yè)P1615.75.85.12(1)時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換定義為F(s)稱為的象函數(shù)，

稱為F(s)的原函數(shù)。(2)拉普拉斯變換有許多重要的性質(zhì)，本書介紹在分析線性時(shí)不變電路中用到的一些最基本的性質(zhì)：線性性質(zhì)、微分性質(zhì)和積分性質(zhì)。小結(jié)(3)拉普拉斯反變換一般采用部分分式法。電路響應(yīng)的象函數(shù)通常表示為兩個(gè)實(shí)系數(shù)的s的多項(xiàng)式之比，也就是s的一個(gè)有理分式式中的m和n為正整數(shù)，且。令D(S)=0，解出的根有三種情況：不同的負(fù)實(shí)根；共軛復(fù)根和m重根。其部分分式法展開的各項(xiàng)系數(shù)求法也不同。(4)動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析法（亦稱運(yùn)算法），它將時(shí)域中的電路問(wèn)題變換成復(fù)頻域中的電路問(wèn)題，并在復(fù)頻中應(yīng)用電路定理及分析方法求出相應(yīng)的解答，再通過(guò)拉氏反變換得到電路的時(shí)域響應(yīng)。由于需要將時(shí)域