《樂律全書》之明代嘉量說

()《樂律全書》之明代嘉量說上傳書齋名：瀟湘館112XiāoXiāngGuǎn112何世強(qiáng)HoSaiKeung提要：“嘉量”是古代量度穀物體積之標(biāo)準(zhǔn)量器之名稱，《嘉量筭經(jīng)》稱之為“嘉量釡”。嘉量釡分成三部分：鬴、臀及耳，本文詳述各部分體積之算法。關(guān)鍵詞：嘉量釡鬴臀耳筆者已有文談及古代之“嘉量”，本文作補(bǔ)充。本文主要說明“嘉量”各部分之體積算法。本文題材取自《樂律全書?卷十》及《嘉量筭經(jīng)》。兩書均為明?朱載堉所著?！凹瘟俊笔枪糯慷确Y物體積之標(biāo)準(zhǔn)量器之名稱，《嘉量筭經(jīng)》稱之為“嘉量釡”。“嘉量釡”主要分成三部分：上部分鬴音“釡”。﹝或曰“腹”音“釡”。下部分臀左右部分耳嘉量之製作最早見之於《周禮》之記載，王莽新朝“始建國”元年亦有製作嘉量，銅製，後世稱之為“新莽嘉量”。嘉量之說早見於《周禮?冬官考工記》：?此非“栗”字。此非“栗”字。改煎金錫則不耗，不耗然後權(quán)之，權(quán)之然後準(zhǔn)之，準(zhǔn)之然後量之。量之以為釜，深尺，內(nèi)方尺而圜其外，其實(shí)一釜。其臀一寸，其實(shí)一豆；其耳三寸，其實(shí)一升。重一鈞。其聲中黃鐘之宮。概而不稅。其銘曰：“時(shí)文思索，允臻其極。嘉量既成，以觀四國。永啟厥後，茲器維則?！币陨衔囊庵讣瘟坑秀懳模懳目淘诩瘟恐砖z見後文﹞?！吨芏Y注疏?卷四十》原文：《周禮注疏》注曰：?，古文或作歷。“?氏”指姓?之人及其相關(guān)人士；“為量”指負(fù)責(zé)製造“量器”也；“?氏為量”此處指?氏製作嘉量也。《周禮注疏》注曰：量之以為鬴，深尺指深一尺。，內(nèi)方尺而圜指深一尺。圓也。即鬴之外形為圓形。容積也。注意《周禮注疏》所云之“一鬴”可容六斗四升也。周時(shí)以四升為一豆，以四豆為一區(qū)，以四區(qū)為一鬴。即可知“一鬴”有64升，即6斗4升。明?朱載堉認(rèn)為此容積數(shù)錯(cuò)誤，見筆者另文。注意《周禮》所談及之嘉量稱為釡，故明?朱載堉稱之為“嘉量釡”，釡之名實(shí)有所本?！吨芏Y》之嘉量釡深一尺，外為圓形，內(nèi)可容邊長(zhǎng)一尺之正方形。其容量為一“鬴”﹝朱載堉作一“釜”﹞。其“臀”高一寸，“臀”乃鬴之底，相信為圓形，但無說明其直徑之長(zhǎng)，但比“鬴”之直徑短?！巴巍敝萘繛橐欢埂ａ溨绺?，相信亦為圓形，亦無說明其直徑之長(zhǎng)，其容量為一升。釡之重為一鈞，古代以三十斤為一鈞。明嘉量之臀及耳均有尺寸。《漢書?律曆志上》曰：一曰備數(shù)，二曰和聲，三曰審度，四曰嘉量，五曰權(quán)衡。以上五種乃不同類別之單位?！稌x書》稱之為“大率”，《晉書?志第六》曰：大率有五：一曰備數(shù)，一、十、百、千、萬也；二曰和聲，宮、商、角、徵、羽也；三曰審度，分、寸、尺、丈、引也；四曰嘉量，龠、合、升、斗、斛也；五曰權(quán)衡，銖、兩、斤、鈞、石也。班固因而志之。故“嘉量”又屬五“大率”之一，其量度之單位為龠、合、升、斗、斛，二龠為合，十合為升，十升為斗，十斗為斛。相信朱載堉依《周禮》所云而談?wù)摷瘟??！稑仿扇珪?卷十》曰嘉量用銅鑄，古之所謂“赤金”，“赤金”其實(shí)為紅銅與白錫之合金，紅銅佔(zhàn)6份，白錫佔(zhàn)1份，共7份?！吨芏Y注疏》疏曰：“六分其金而錫居其一?！惫手燧d堉之說有所本也。以下兩圖源自《嘉量筭經(jīng)》：上圖之嘉量可算作明代之尺寸，與《周禮》所記未完全相同，《周禮》曰：深尺，內(nèi)方尺而圜其外，其實(shí)一釜。其臀一寸，其實(shí)一豆；其耳三寸，其實(shí)一升。但上圖之耳深四寸，《周禮》云耳只有三寸，此乃顯著之不同。不過《樂律全書?卷十》言三寸誤，以四寸為是。以下兩圖源自《樂律全書?卷十》：嘉量為圓形，內(nèi)之正方形為ABCD，每邊長(zhǎng)1尺﹝見下頁之“嘉量中截曰底圖”﹞。其內(nèi)直徑AC長(zhǎng)√(12+12)=√2=1.414213562﹝尺﹞。《樂律全書》作

1尺4寸1分4釐。 A 內(nèi)徑 D C B 外徑嘉量之厚為1分﹝見上圖右﹞，即0.01尺，所以外徑=1.414213562+0.02=1.434213562﹝尺﹞?！稑仿扇珪纷?尺4寸3分4釐。嘉量上截曰“鬴”，“鬴”之高為1尺，此為“夏尺”﹝見下圖之說明﹞，若為如此，其他尺寸理亦應(yīng)為夏尺方合，否則容易混亂，但《樂律全書》無詳細(xì)說明或強(qiáng)調(diào)。以下為《樂律全書》原文：以上左圖乃右圖之平面圖。底上之銘文見前頁《周禮?冬官考工記》。《樂律全書》所云之夏尺與周武王八寸尺、與商湯十二寸半之尺之關(guān)係如下頁圖所示。若以夏禹十寸之尺為準(zhǔn)﹝夏尺﹞，周武王之十寸尺只等於夏尺之八寸，即將夏尺之八寸分成十份即為“周武王八寸尺”，8寸夏尺=10寸周尺，1寸夏尺=1.25寸周尺，或1寸周尺=0.8寸夏尺。又商湯尺之十寸尺中之八寸，等於夏尺之十寸，即將商湯尺之八寸分成十份即為“夏尺”之十寸，8寸商湯尺=10寸夏尺，1寸商湯尺=1.25寸夏尺，或1寸夏尺=0.8寸商湯尺。因?yàn)?0寸商湯尺=12.5寸夏尺，所以商湯尺稱為“商湯十二寸半之尺”。以下為《樂律全書?卷四》原圖：《樂律全書》云鬴﹝或曰“腹”或“釡”﹞能容二十豆，即二十豆是為“一鬴”，其“積實(shí)”即“體積”為1571348分﹝應(yīng)為“立方分”﹞?，F(xiàn)簡(jiǎn)介《樂律全書》之算法：《樂律全書》指出若圓直徑為9√2，則其圓周為40﹝近似值﹞，略去單位。見筆者另文。即9√2π=40，則π=4092。《樂律全書》以此數(shù)為π，等於3.142696805，此數(shù)比準(zhǔn)確之π 直徑141.4213562分 高1尺 即100分若圓直徑√2=1.414213562﹝尺﹞=141.4213562分。半徑平方=222×10000平方分=5000積實(shí)=π×半徑平方×高=4092×5000×=1571348.403立方分。若小數(shù)後之位數(shù)略去，即可得1571348立方分，《樂律全書》即以此為答案。此數(shù)其實(shí)略大，若π=3.141592654，則π×5000×100立方分=1570796.327立方分。﹝二﹞《樂律全書》云臀容4升，是為1豆。積實(shí)78567分﹝應(yīng)為“立方分”﹞?！巴巍庇肿鳌澳櫋??！捌渫我淮?，其實(shí)一豆” 直徑100分，半徑為50分 高1寸即10分積實(shí)=π×半徑平方×高=4092×2500×=78567.42013立方分。若小數(shù)後之位數(shù)略去，即可得78567立方分，《樂律全書》即以此為答案。如上條，此數(shù)略大，若π=3.141592654，則π×2500×10立方分=78539.81634立方分。另法：鬴之容積為20豆，臀之容積為1豆，所以臀之容積乃鬴之120即其積實(shí)=120×1571348.403立方分=78567.42013答案與前相同。﹝三﹞《樂律全書》云其耳容20龠，即1升。積實(shí)19641分﹝應(yīng)為“立方分”﹞。以下為《樂律全書》原圖，圖左為嘉量之雙耳。“臀”似“羅圈”，“羅圈”指以矮欄所圍繞成之大圓形面積，古時(shí)之“羅圈”以柵欄圍攏牲畜，大而呈圓形之地之謂也?！爸窆c”乃以竹製成之內(nèi)空筩；《樂律全書》強(qiáng)調(diào)兩耳無底。 耳 厚一分 內(nèi)直徑25分﹝連厚直徑27分﹞ 高4寸即40分積實(shí)=π×半徑平方×高=4092×2522×=4092×6254=19641.85503立方分。若小數(shù)後之位數(shù)略去，即可得19641立方分。另法：20龠為1升，4升為1豆，即80龠為1豆，1豆為78567.42013立方分，即80龠為78567.4201