2024屆內(nèi)江市高三數(shù)學(xué)（理）上學(xué)期期末試題卷附答案解析

屆內(nèi)江市高三數(shù)學(xué)（理）上學(xué)期期末試題卷全卷滿分150分，考試用時120分鐘．2024.01一、選擇題（每小題5分，共60分．每題只有一個正確選項）1．若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則為（

）A． B． C．5 D．2．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．3．已知向量、的夾角為，，，則（

）A．4 B．5 C． D．4．若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（

）A．4 B． C．2 D．5．相關(guān)變量的樣本數(shù)據(jù)如下表，x1234567y2.93.33.64.44.8a5.9經(jīng)回歸分析可得y與x線性相關(guān)，并由最小二乘法求得回歸直線方程為，下列說法正確的是（

）A．x增加1時，y一定增加2.3 B．變量x與y負(fù)相關(guān)C．當(dāng)y為6.3時，x一定是8 D．a(chǎn)=5.26．已知函數(shù)滿足對任意，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知點A（1，m），B（2，n）是角的終邊上的兩點，若，則的值為（

）A． B． C． D．8．函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（

）A． B．C． D．9．已知，則的值為（

）A． B．1 C．4 D．10．若數(shù)列滿足，，則滿足不等式的最大正整數(shù)為（

）A．28 B．29 C．30 D．3111．如圖，在棱長為1的正方體中，下列結(jié)論不正確的是（

）

A．異面直線AC與所成的角為60°B．直線與平面所成角為45°C．二面角的正切值為D．四面體的外接球的體積為12．已知是銳角三角形，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空（每小題5分，共20分）13．已知，則．14．已知奇函數(shù)在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式．15．已知A、B、C、D、E為0﹣9中五個不重復(fù)的數(shù)字，且滿足以下豎式加法，則滿足條件的四位數(shù)ABCD共有個．16．已知A，B，分別為雙曲線（）的左，右頂點，點M在E上，且，則雙曲線E的漸近線方程為.三、解答題（17-21題各12分，22、23選做一題10份，共70分）17．設(shè)是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，已知=3，是與的等差中項，(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和．18．年月日第屆亞運會在杭州開幕，本屆亞運會共設(shè)個競賽大項，包括個奧運項目和個非奧運項目.為研究不同性別學(xué)生對杭州亞運會項目的了解情況，某學(xué)校進行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各名作為樣本，設(shè)事件“了解亞運會項目”，“學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計，.(1)根據(jù)已知條件，填寫下列列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為該校學(xué)生對亞運會項目的了解情況與性別有關(guān)？(2)現(xiàn)從該校了解亞運會項目的學(xué)生中，采用分層隨機抽樣的方法隨機抽取名學(xué)生，再從這名學(xué)生中隨機抽取人，設(shè)抽取的人中男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.了解不了解合計男生女生合計參考公式：，.附：19．如圖，在四棱錐中，平面，，，．(1)求證：平面；(2)若，二面角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值．20．已知拋物線的焦點為F，且F與圓上點的距離的最大值為8．(1)求拋物線M的方程；(2)若點Q在C上，QA，QB為M的兩條切線，A，B是切點（A在B的上方），求面積的最小值．21．已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時，求在處的切線方程；(2)當(dāng)且時，存在一個極小值點，若，求實數(shù)的取值范圍.22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，已知直線，直線以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線C以及直線，的極坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線C分別交于O、A兩點，直線與曲線C分別交于O、B兩點，求的面積．23．設(shè)x，y是兩個正數(shù)．（1）證明：若，則；（2）已知，．證明：．1．B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可算出z的值，再利用公式計算其模.【詳解】，故.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法以及復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.2．B【分析】解一元二次不等式求解集、根式的性質(zhì)求定義域確定集合，由交集運算求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，集合，集合，所以.故選：B3．B【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式可得，再根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以.故選：B4．A【分析】目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是可行域內(nèi)的點到直線l：的距離的倍．由約束條件作出可行域，找到可行域內(nèi)到直線l的距離最大的點，求解即可.【詳解】由約束條件作出可行域，如圖中陰影部分所示．由點到直線的距離公可知，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是可行域內(nèi)的點到直線l：的距離的倍．?dāng)?shù)形結(jié)合可知，可行域內(nèi)到直線l的距離最大的點為，且點A到直線l的距離，則的最大值為4．故選：A.5．D【分析】根據(jù)回歸直線方程的幾何意義判斷A、B錯誤；令求解判斷C，計算并代入回歸直線方程中，求得a的值，判斷D正確.【詳解】根據(jù)回歸直線方程知，x增加1時，估計y增加，故A錯誤；由知，，故變量x與y正相關(guān)，故B錯誤；時，，解得，估計的值應(yīng)為8，故C錯誤;又，，代入回歸直線方程中，則，解得，故D正確.故選：D6．B【分析】已知關(guān)系說明函數(shù)是減函數(shù)，分段函數(shù)為減函數(shù)，則兩段均是減函數(shù)，且左端函數(shù)值不小于右端函數(shù)值，由此可得．【詳解】因為函數(shù)對任意，都有成立，所以函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以，解得．故選：B．【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，解題注意分段函數(shù)的兩部分均為減函數(shù)外，還需滿足左側(cè)函數(shù)值不小于右側(cè)函數(shù)值．7．B【分析】依題意可得，將化簡之后即可求得結(jié)果.【詳解】依題意，由斜率公式及可得，則.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是：由斜率公式及得到.8．D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可【詳解】設(shè)，因為，所以該函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于縱軸稱，故排除A、C，，當(dāng)時，，該函數(shù)此時單調(diào)遞減，排除B，故選：D9．C【分析】對所給二項式合理變形，求展開項系數(shù)即可.【詳解】在中，而，由二項式定理知展開式的通項為，令，解得，令，，故，同理令，解得，令，解得，故，故.故選：C10．A【分析】由題意先由遞推關(guān)系通過累乘法求通項公式，再由單調(diào)性解不等式即可得解.【詳解】由題意，即，所以，而，所以，由題意令，而是單調(diào)遞增的，且發(fā)現(xiàn)，，所以滿足不等式的最大正整數(shù)為28.故選：A.11．B【分析】由正方體性質(zhì)得出異面直線AC與所成的角，直線與平面所成角，二面角的平面角并計算判斷ABC，由四面體的外接球即為正方體的外接球，由正方體性質(zhì)求得外接球半徑后可得體積從而判斷D．【詳解】選項A，由正方體性質(zhì)易得，因此異面直線AC與所成的角為或其補角，是等邊三角形，，A正確；選項B，由平面，平面，得，又，，平面，所以平面，設(shè)，則是直線與平面所成角，由平面，平面，可得，在直角中，，，B錯；

選項C，由上分析得是二面角的平面角，由得，C正確；選項D，四面體的外接球即為正方體的外接球，由正方體性質(zhì)知其外接球半徑為，因此體積為，D正確；故選：B．12．C【分析】由余弦定理和正弦定理，結(jié)合正弦和角公式得到，結(jié)合為銳角三角形，得到，故，再利用正弦定理得到，求出取值范圍即可.【詳解】因為，得．由余弦定理得，所以，即．由正弦定理得，因為，則，所以，即．因為是銳角三角形，所以，，所以．又在上單調(diào)遞增，所以，則．因為是銳角三角形，所以，，，所以，由正弦定理得，令，因為，所以．在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故故選：C．【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.13．【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系先求出，再用二倍角公式求出、，最后再利用余弦的和角公式求．【詳解】∵，，∴，∴，，∴，故答案為：．14．【分析】根據(jù)奇函數(shù)滿足求解即可.【詳解】依題意，當(dāng)時，，故在區(qū)間上的解析式.故答案為：15．4【分析】由已知條件，判斷關(guān)系，結(jié)合，推出滿足條件的四位數(shù)的個數(shù)即可.【詳解】由題可知，個位無進位且為，所以，千位為，所以千位上的是由百位進1得到的，即，百位有進位則，所以，，十位的個位為，則有進位，則，所以，，，所以滿足條件的四位數(shù)ABCD為：5983，3985，1987，7981，共4個．故答案為：4．16．【分析】根據(jù)的三邊關(guān)系及雙曲線的幾何性質(zhì)，利用余弦定理求出，進而得到點的坐標(biāo)，再將點的坐標(biāo)代入雙曲線方程，得到的關(guān)系代入雙曲線的漸近線方程即可求解.【詳解】根據(jù)題意，易知點在雙曲線的右支上，不妨設(shè)點在第一象限，如圖所示：因為，所以，，在中，由余弦定理可得，，即，因為，所以，，過作軸于點，則，所以點的坐標(biāo)為，將點代入雙曲線可得，，化簡可得，所以雙曲線E的漸近線方程為.故答案為：【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)；考查數(shù)形結(jié)合思想、邏輯推理能力和運算求解能力；掌握雙曲線的幾何性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)是與的等差中項求出等比數(shù)列的公比，即可求得的通項公式；（2）由（1）可得，利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和即可.【詳解】（1）設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，且，因為是與的等差中項，所以，即，，解得，所以；（2）由（1）可得，所以

①，則

②，①—②，得，所以.18．(1)答案見解析.(2)分布列見解析；.【分析】（1）先根據(jù)條件概率求得人數(shù)填寫列聯(lián)表；再代入公式求出，將該值與臨界值比較即可求解.（2）先根據(jù)分層抽樣確定抽取的男生人數(shù)和女生人數(shù)；再寫出的所有可能取值并計算相應(yīng)的概率，列出分布列并根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可得出答案．【詳解】（1）因為事件“了解亞運會項目”，“學(xué)生為女生”，，，所以表示女生中了解亞運會項目的概率為；表示了解亞運會項目的人是女生的概率為.因為女生有名，所以對杭州亞運會項目了解的女生人數(shù)為，了解杭州亞運會項目的人數(shù)為結(jié)合男生和女生各名，填寫列聯(lián)表為：了解不了解合計男生女生合計零假設(shè)：該校學(xué)生對杭州亞運會項目的了解情況與性別無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，.依據(jù)的獨立性檢驗，可以推斷成立，即該校學(xué)生對亞運會項目的了解情況與性別無關(guān).（2）由(1)可知：了解杭州亞運會項目的人數(shù)為，.其中女生人數(shù)為.則采用分層隨機抽樣的方法隨機抽取的女生人數(shù)為：；男生人數(shù)為：.的所有可能取值為：，，，.，，,從而的分布列為0123故．19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點，連接，根據(jù)條件得到，再利用平面，得到，從而得出四邊形是平行四邊形，進而有，即可證明結(jié)果；（2）取取中點，連接，，根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面的法向量和向量，利用線面角的向量法即可求出結(jié)果.【詳解】（1）如圖，取中點，連接，因為，，所以，且，又平面，平面，所以，又面，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，得到，又平面，平面，所以平面.（2）如圖，取中點，連接，，則，因為平面，由（1）知，所以平面，又，所以，過作，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為平面，面，所以，又，，所以面，又面，所以,故為二面角的平面角，所以，又，所以，又，所以，所以，則，設(shè)平面的一個法向量為，則由得到，，取，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.20．(1)(2)16【分析】（1）根據(jù)條件確定F與圓上點的距離的最大值為，從而求得，可得答案;（2）設(shè)點，，聯(lián)立方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系式，求出弦長，再利用導(dǎo)數(shù)表示出QA，QB的方程，進而表示出點Q的坐標(biāo)，求出點Q到直線AB的距離，從而表示出，結(jié)合二次函數(shù)的知識可求得答案.【詳解】（1）由題意知，，圓C的半徑為，所以，即，解得，所以拋物線M的方程為．（2）設(shè)，，直線AB的方程為，聯(lián)立方程組，消去x，得，則，，．所以，因為，所以或，則或，所以切線QA的斜率為，其方程為，即，同理切線QB的斜率為，其方程為．聯(lián)立方程組,解得,即點Q的坐標(biāo)為，因為點Q在圓C上，所以，且，，即，．滿足判別式的條件．點Q到直線AB的距離為，所以，又由，得，令，則，且，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，t取得最小值4，此時，所以面積的最小值為16．【點睛】本題考查了拋物線方程的求法以及和直線的位置關(guān)系中的三角形面積問題，綜合性較強，解答時要有清晰的解答思路，即明確問題的解決是要一步步向表示出三角形QAB的面積靠攏，難點在于繁雜的計算，要十分細(xì)心.21．(1)(2).【分析】（1）把代入，求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.（2）求出函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分類探討的極小值點即可求解作答.【詳解】（1）當(dāng)時，，，有，，因此有，即，所以在處的切線方程為.（2）函數(shù)，則，，，由，解得或，①若，有，，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此有一個極小值點，即，于是得，解得，則，②若，則，則當(dāng)或時，，當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此有一個極小值點，即，于是得，解得，無解，③若，有，則當(dāng)或時，，當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此有一個極小值點，即，于是得，解得，則，綜上，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=f(x)在點處的切線方程為：.22．（1），，．（2）【分析】（1）根據(jù)題意消參求出曲線C的直線坐標(biāo)方程，然后利用，，，即可求解.（2）把代入曲線C的極坐標(biāo)方程，得出；同理，把代入曲線C的極坐標(biāo)方程，得出，再利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）依題意，由曲線C的參數(shù)方程（為參數(shù)）消參得，故曲線C的普通方程為由，，，得曲線C