數(shù)學(xué)-專項17 最值問題中的將軍飲馬模型（原版）

專題17最值問題中的將軍飲馬模型【模型展示】特點傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫。一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題。將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲(yìn)馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短?從此，這個被稱為"將軍飲馬"的問題廣泛流傳。實際問題：應(yīng)該怎樣走才能使路程最短?作圖問題：在直線l上求作一點C,使AC+BC最短問題.結(jié)論AC+BC最短【模型證明】解決方案(1)現(xiàn)在假設(shè)點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？連接AB,與直線l相交于一點C.

AC+BC最短（兩點之間線段最短）(2)現(xiàn)在假設(shè)點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？作法：（1）作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．所作的AC+BC最短嗎？請說明理由？【證明】如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．【題型演練】一、單選題1．如圖，正方形ABCD的邊長是4，點E是DC上一個點，且DE＝1，P點在AC上移動，則PE＋PD的最小值是（

）A．4 B．4.5 C．5.5 D．52．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在DC上，且DM=1，N是AC上一動點，則DN+MN的最小值為（

）A．4 B． C． D．53．如圖，矩形中，，點是矩形內(nèi)一動點，且，則的最小值是（

）A． B．C． D．

4．如圖，等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是邊AC上一點，若AE＝2，則EM＋CM的最小值為（

）A． B．3 C．2 D．45．已知線段AB及直線l，在直線上確定一點，使最小，則下圖中哪一種作圖方法滿足條件（

）．A． B．C． D．6．如圖，點M是菱形ABCD的邊BC的中點，P為對角線BD上的動點，若AB＝2，∠A＝120°，則PM＋PC的最小值為（

）A．2 B． C． D．17．如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點，直線l經(jīng)過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（）

A． B．2 C．2 D．38．如圖，凸四邊形中，，若點M、N分別為邊上的動點，則的周長最小值為（

）A． B． C．6 D．3二、填空題9．在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常會看到許多“標(biāo)準”的矩形，如我們的課本封面、A4的打印紙等，其實這些矩形的長與寬之比都為，我們不妨就把這樣的矩形稱為“標(biāo)準矩形”，在“標(biāo)準矩形”中，如圖所示，點在上，且，若為邊上一動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，則的值為______．10．如圖，點是內(nèi)任意一點，，點和點分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是______．

11．如圖，等邊的邊長為4，點是邊的中點，點是的中線上的動點，則的最小值是_____．12．如圖，正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上且DM＝2，N是AC上的一動點，則DN＋MN的最小值是______．13．如圖所示，在中，，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點，M是EF上一個動點，的面積為12，，則周長的最小值是_______________．14．如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點M、N，使△AMN的周長最小，則∠MAN＝_____°．

15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把邊AB沿對角線BD平移，點A′，B′分別對應(yīng)點A，B給出下列結(jié)論：①順次連接點A′，B′，C，D的圖形是平行四邊形；②點C到它關(guān)于直線AA′的對稱點的距離為50；③A′C﹣B′C的最大值為15；④A′C+B′C的最小值為9．其中正確結(jié)論的序號是______________16．如圖，O為矩形ABCD對角線AC，BD的交點，AB=8，M，N是直線BC上的動點，且MN=2，則OM+ON的最小值是____________．17．如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠ABC＝120°，M是BC邊的一個三等分點，P是對角線AC上的動點，當(dāng)PB＋PM的值最小時，PM的長是________．三、解答題18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點D為AB

中點，連接CD，點P、Q分別為CE、CD上的動點．（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別與x軸的負半軸、y軸的正半軸交于A、B兩點，其中OA＝2，S△ABC＝12，點C在x軸的正半軸上，且OC＝OB．(1)求直線AB的解析式；(2)將直線AB向下平移6個單位長度得到直線l1，直線l1與y軸交于點E，與直線CB交于點D，過點E作y軸的垂線l2，若點P為y軸上一個動點，Q為直線l2上一個動點，求PD+PQ+DQ的最小值；(3)若點M為直線AB上的一點，在y軸上是否存在點N，使以點A、D、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．20．如果有一條直線經(jīng)過三角形的某個頂點，將三角形分成兩個三角形，其中一個三角形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線”．如圖1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于點D，連接AD．

(1)證明直線AD是△ABC的自相似分割線；(2)如圖2，點P為直線DE上一點，當(dāng)點P運動到什么位置時，PA+PC的值最小？求此時PA+PC的長度．(3)如圖3，射線CF平分∠ACB，點Q為射線CF上一點，當(dāng)取最小值時，求∠QAC的正弦值．21．在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點P、Q為BC邊上的兩個動點（點P位于點Q的左側(cè)，P、Q均不與頂點重合），PQ＝2(1)如圖①，若點E為CD邊上的中點，當(dāng)Q移動到BC邊上的中點時，求證：AP＝QE；(2)如圖②，若點E為CD邊上的中點，在PQ的移動過程中，若四邊形APQE的周長最小時，求BP的長；(3)如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個動點（M、N均不與頂點重合），當(dāng)BP＝3，且四邊形PQNM的周長最小時，求此時四邊形PQNM的面積．22．在中，，D為BC延長線上一點，點E為線段AC，CD的垂直平分線的交點，連接EA，EC，ED．

（1）如圖1，當(dāng)時，則_______°；（2）當(dāng)時，①如圖2，連接AD，判斷的形狀，并證明；②如圖3，直線CF與E