2024年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練 專題06 四點(diǎn)共圓（知識(shí)解讀）

專題06四點(diǎn)共圓（知識(shí)解讀）【專題說(shuō)明】四點(diǎn)共圓在圓內(nèi)接四邊形綜合問(wèn)題的求解中占據(jù)了重要地位，都是在大題中結(jié)合題目的幾何背景進(jìn)行綜合考查，重在考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力．考查的基本類型有：利用四點(diǎn)共圓證相似，利用四點(diǎn)共圓求最值，這些問(wèn)題大都利用轉(zhuǎn)化思想，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為四點(diǎn)共圓問(wèn)題，使題目能簡(jiǎn)單求解.【方法技巧】1.四點(diǎn)共圓如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡(jiǎn)稱為“四點(diǎn)共圓”．2．四點(diǎn)共圓的性質(zhì)(1)共圓的四個(gè)點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個(gè)三角形的頂角相等．(2)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．(3)圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角．3．四點(diǎn)共圓的判定(1)用“角”判定：①一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上；②一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上；③如果兩個(gè)三角形有一條公共邊，且位于公共邊同側(cè)的兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)三角形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上．(2)“等線段”判定：四頂點(diǎn)到同一點(diǎn)的距離相等，若OA＝OB＝OC＝OD，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓．(3)用“比例線段”判定：若線段AB，CD(或其延長(zhǎng)線)交于點(diǎn)P，且PA·PC＝PB·PD，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓.模型解讀：模型1：對(duì)角互補(bǔ)型：若∠A+∠C=180o或∠B+∠D=180o,則A、B、C、D四點(diǎn)共圓模型2：同側(cè)等角型（1）若∠A=∠C,則A、B、C、D四點(diǎn)共圓（2）手拉手(雙子型)中的四點(diǎn)共圓條件：△OCD∽△OAB結(jié)論：①△OAC∽△OBD②AC與BD交于點(diǎn)E,必有∠AEB=∠AOB；③點(diǎn)E在△OAB的外接圓上,即O、A、B、E四點(diǎn)共圓.同理：ODCE也四點(diǎn)共圓.模型3：直徑是圓中最長(zhǎng)的弦1.定圓中最長(zhǎng)的弦是直徑；2.經(jīng)過(guò)圓中定點(diǎn)最短的弦是垂直于過(guò)這點(diǎn)直徑的弦；3.定弦中最小的圓是以該弦為直徑的圓?！镜淅治觥俊灸Ｐ?：對(duì)角互補(bǔ)型】【典例1】如圖,正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到正方形AEFG,連接BE,延長(zhǎng)BE交于CF于點(diǎn)M,求證：M是線段CF的中點(diǎn).【變式1】如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分別是線段AC、BC上的點(diǎn),四邊形PEFD為矩形,若AP=2,求CF的長(zhǎng)?！灸Ｐ?：同側(cè)等角型】【典例2】在Rt△ABC中,∠ACB=90o,將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)αo(0＜α＜180)得△ADE,∠AED=90o,直線BD與直線CE的交點(diǎn)為P.求證：PB=PD【模型3：直徑是圓中最長(zhǎng)的弦】【典例3】在△ABC中,∠ACB=90o,AC=6,BC=8,O為AB的中點(diǎn),過(guò)O作OE⊥OF,OE、OF分別交射線AC,BC于E、F,則EF的最小值為?【變式3】如圖,在⊙O中,直徑AB=12,點(diǎn)D是圓上任意一點(diǎn)(A,B除外),點(diǎn)P為CD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,連接AD,EP.求EP的最大值?！倦S堂精練】1．（2021秋?永泰縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，將△ABC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，使D點(diǎn)落在BC邊上．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：A，D，B，E四點(diǎn)共圓．2．如圖，四邊形ABCD是某高新區(qū)核心地塊用地示意圖，經(jīng)測(cè)量得如下數(shù)據(jù)：AB＝30km，BC＝40km，∠B＝120°，∠A+∠C＝180°，請(qǐng)計(jì)算這塊規(guī)劃用地的最大面積．3．如圖，已知AC＝BC＝4，點(diǎn)D是AB下方一點(diǎn)，且∠C＝∠D＝90°，求四邊形ACBD面積的最大值． 專題06四點(diǎn)共圓（知識(shí)解讀）【專題說(shuō)明】四點(diǎn)共圓在圓內(nèi)接四邊形綜合問(wèn)題的求解中占據(jù)了重要地位，都是在大題中結(jié)合題目的幾何背景進(jìn)行綜合考查，重在考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力．考查的基本類型有：利用四點(diǎn)共圓證相似，利用四點(diǎn)共圓求最值，這些問(wèn)題大都利用轉(zhuǎn)化思想，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為四點(diǎn)共圓問(wèn)題，使題目能簡(jiǎn)單求解.【方法技巧】1.四點(diǎn)共圓如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡(jiǎn)稱為“四點(diǎn)共圓”．2．四點(diǎn)共圓的性質(zhì)(1)共圓的四個(gè)點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個(gè)三角形的頂角相等．(2)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．(3)圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角．3．四點(diǎn)共圓的判定(1)用“角”判定：①一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上；②一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上；③如果兩個(gè)三角形有一條公共邊，且位于公共邊同側(cè)的兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)三角形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上．(2)“等線段”判定：四頂點(diǎn)到同一點(diǎn)的距離相等，若OA＝OB＝OC＝OD，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓．(3)用“比例線段”判定：若線段AB，CD(或其延長(zhǎng)線)交于點(diǎn)P，且PA·PC＝PB·PD，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓.模型解讀：模型1：對(duì)角互補(bǔ)型：若∠A+∠C=180o或∠B+∠D=180o,則A、B、C、D四點(diǎn)共圓模型2：同側(cè)等角型（1）若∠A=∠C,則A、B、C、D四點(diǎn)共圓（2）手拉手(雙子型)中的四點(diǎn)共圓條件：△OCD∽△OAB結(jié)論：①△OAC∽△OBD②AC與BD交于點(diǎn)E,必有∠AEB=∠AOB；③點(diǎn)E在△OAB的外接圓上,即O、A、B、E四點(diǎn)共圓.同理：ODCE也四點(diǎn)共圓.模型3：直徑是圓中最長(zhǎng)的弦1.定圓中最長(zhǎng)的弦是直徑；2.經(jīng)過(guò)圓中定點(diǎn)最短的弦是垂直于過(guò)這點(diǎn)直徑的弦；3.定弦中最小的圓是以該弦為直徑的圓?！镜淅治觥俊灸Ｐ?：對(duì)角互補(bǔ)型】【典例1】如圖,正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到正方形AEFG,連接BE,延長(zhǎng)BE交于CF于點(diǎn)M,求證：M是線段CF的中點(diǎn).【簡(jiǎn)答】∵AC=AF,AB=AE且∠BAE=∠CAF∴△AEB∽△AFC,∴∠ABE=∠ACF,∴A、B、C、M四點(diǎn)共圓,∵∠ABC=90o,∴AC是直徑,∴∠AMC=90o,∵AE=AC,∴AM垂直且平分CF(三線合一).【變式1】如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分別是線段AC、BC上的點(diǎn),四邊形PEFD為矩形,若AP=2,求CF的長(zhǎng)?！窘馕觥俊螾EF=∠PDF=∠DCE=90o,知D,F,C,D,P共圓,如下圖,由∠1=∠2,∠4=∠5,易得△APD∽△DCF,CF:AP=CD:AD,得CF=1.5?！灸Ｐ?：同側(cè)等角型】【典例2】在Rt△ABC中,∠ACB=90o,將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)αo(0＜α＜180)得△ADE,∠AED=90o,直線BD與直線CE的交點(diǎn)為P.求證：PB=PD【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CAE=∠BAD=α,AC=AE,AB=AD,∴∠CEA=∠ADB∴A,D,E,P四點(diǎn)共圓∴∠APD=∠AED=90o∴AP⊥BD∴PB=PD【模型3：直徑是圓中最長(zhǎng)的弦】【典例3】在△ABC中,∠ACB=90o,AC=6,BC=8,O為AB的中點(diǎn),過(guò)O作OE⊥OF,OE、OF分別交射線AC,BC于E、F,則EF的最小值為?【解析】∵∠EOF=∠C=90o,∴C,O均在以EF為直徑的圓上∵EF是圓的直徑,O、C均在圓上,且OC長(zhǎng)度固定,要使EF最短,則圓最小,要使圓最小,由于OC為固定長(zhǎng)度,則OC為直徑時(shí),圓最小,此時(shí)EF=CO=OA=OB=5(斜邊上中線等于斜邊一半)【變式3】如圖,在⊙O中,直徑AB=12,點(diǎn)D是圓上任意一點(diǎn)(A,B除外),點(diǎn)P為CD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,連接AD,EP.求EP的最大值。【解析】延長(zhǎng)DE交⊙O于點(diǎn)F,連接FC,利用三角形的中位線得出PE=0.5FC.當(dāng)FC為⊙O的直徑時(shí)，PE最大=6?！倦S堂精練】1．（2021秋?永泰縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，將△ABC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，使D點(diǎn)落在BC邊上．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：A，D，B，E四點(diǎn)共圓．【解答】（1）解：由旋轉(zhuǎn)知，AD＝AC，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，∴∠ADC＝∠C＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣80°＝10°；（2）證明：連接BE，由旋轉(zhuǎn)知，AB＝AE，∠EAD＝∠BAC＝90°，∵∠BAD＝10°，∴∠EAB＝∠EAD﹣∠BAD＝90°﹣10°＝80°，∴∠EBA＝∠BEA＝×（180°﹣∠EAB）＝×（180°﹣80°）＝50°，∴∠EBD＝∠EBA+∠ABC＝50°+40°＝90°，即△EBD是以ED為斜邊的直角三角形，又∵△EAD也是以ED邊為斜邊的直角三角形，∴A，D，B，E四點(diǎn)在以ED為直徑的圓上，即A，D，B，E四點(diǎn)共圓．2．如圖，四邊形ABCD是某高新區(qū)核心地塊用地示意圖，經(jīng)測(cè)量得如下數(shù)據(jù)：AB＝30km，BC＝40km，∠B＝120°，∠A+∠C＝180°，請(qǐng)計(jì)算這塊規(guī)劃用地的最大面積．【解答】解：∵四邊形ABCD中，∠DAC+∠DCB＝180°，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，如圖，延長(zhǎng)CB，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CB于點(diǎn)E，連接AC，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．∵∠ABC＝120°，∴∠ADC＝∠ABE＝60°，∴BE＝AB＝15km，AE＝＝15km，CE＝40+15＝55km，∴S△ABC＝＝＝300km2．則當(dāng)△ADC的面積最大時(shí)，四邊形ABCD的面積最大．當(dāng)AD＝CD時(shí)，DF最大，此時(shí)四邊形ABCD的面積最大．在Rt△ACE中，AC＝＝10km，AF＝AC＝5km，∵∠ADF＝＝30°，∴DF＝AF＝5km，∴S△ADC＝＝＝925km2．300+925＝1225km2．∴四邊形ABCD的最大面積為1225km2．3．如圖，已知AC＝BC＝4，點(diǎn)D是AB下方一點(diǎn)，且∠C＝∠D＝90°，求四邊形ACBD面積的最大值．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E