第八章(第一節(jié)矩估計法)

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。PAGE第頁/共頁第八章參數(shù)預(yù)計參數(shù)的點預(yù)計對總體舉行統(tǒng)計研究，主要是想決定出總體的概率分布。然而，在許多情況下，對總體的分布情況知道甚少或只知道部分信息。在實際問題中碰到的許多總體，按照以往的經(jīng)驗和理論分析可以知道總體的分布函數(shù)的形式，但分布中的一個或幾個參數(shù)未知，一旦這些參數(shù)決定以后，總體的概率分布就徹低決定了。例如，總體，但不知道其中參數(shù)和的詳細數(shù)值，我們要主意決定參數(shù)。設(shè)總體的分布函數(shù)形式已知，其中是未知參數(shù)（也可以是未知向量）。試問怎樣由樣本提供的信息，建立樣本的函數(shù)即統(tǒng)計量來對未知參數(shù)作出預(yù)計？這類問題，稱為參數(shù)的預(yù)計問題。參數(shù)預(yù)計主要有參數(shù)的點預(yù)計和參數(shù)的區(qū)間預(yù)計?，F(xiàn)從總體中抽得一個樣本,相應(yīng)的一個樣本值看見值為；點預(yù)計的問題就是要構(gòu)造一個適當?shù)慕y(tǒng)計量，用它的看見值來預(yù)計未知參數(shù)。統(tǒng)計量稱為的預(yù)計量，稱為的預(yù)計值。在不致混淆的情況下，預(yù)計量與預(yù)計值統(tǒng)稱為預(yù)計，并都簡記為。下面推薦參數(shù)點預(yù)計的兩種主意：矩預(yù)計法和極大似然預(yù)計。矩預(yù)計法矩預(yù)計是由英國統(tǒng)計學(xué)家Pearson,K.于1900年提出的一種參數(shù)預(yù)計主意，在統(tǒng)計學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。若要考察成人的身高分布情況。（人類學(xué)、遺傳變異學(xué)、社會學(xué)要用。）每一個人的身高是一個體，全體人的身高構(gòu)成一個總體。因為隨機因素的影響，不同人的身高普通是不一樣的。由中央極限定理和實際經(jīng)驗知道，人體身高。但不知道其中參數(shù)和的詳細數(shù)值。（知道之后，有實踐和檢驗理論的多種用途。）為了決定一個國家或一個地區(qū)內(nèi)人體的身高總的情況,天然需要預(yù)計一個地區(qū)人的平均身高以及身高的差異程度,即要求預(yù)計和的值.為了對參數(shù)和舉行預(yù)計，我們從一個地區(qū)中隨機的抽取一批人，舉行身高測量。我們從總體中抽取樣本（對于一次詳細的抽取，它就是詳細的數(shù)值,在不致引起混淆的情況下，今后也用表示隨機變量），按照樣本矩在一定程度上反映了總體矩的特征，天然想到用樣本矩作為總體矩的預(yù)計。于是，我們分離用樣本均值和樣本方差作為總體均值和總體方差的預(yù)計，記為和，即有,(8.1),(8.2)顯然，和都是樣本的函數(shù)，是統(tǒng)計量，分離稱為和的矩預(yù)計量。若為樣本值（一批次的測量值）,則把,,分離作為和的預(yù)計值.對于不同的樣本值，預(yù)計值也是不同的。實際中，需要舉行多批次、分組次、多年代的測量。通過觀測記錄，對不同年代、不同地區(qū)，人身高的分布和差別都記錄下來，得出客觀結(jié)果，分析其緣故，構(gòu)成科學(xué)記載資料數(shù)據(jù)，堆積人類智慧，可被當代人或后代人借鑒引用。這種用樣本矩來預(yù)計相應(yīng)的總體矩的主意，稱為矩預(yù)計法。矩預(yù)計的普通問題、理論按照和主意：設(shè)總體的分布函數(shù)為,未知參數(shù);問題：試給出參數(shù)的預(yù)計值。解決主意如下首先求出總體矩:,；或,;第二，對總體舉行隨機抽樣，設(shè)為來自于總體的樣本,為樣本值(看見值,抽樣結(jié)果,詳細記錄下來的一組數(shù)).構(gòu)造樣本矩:,,。理論上已知，在一定條件下成立,()或，()于是，可把作為的近似值,；即令(人為作出方程組),,或令,,得到含個未知數(shù)的個方程式;解這個聯(lián)列方程組可得到的一組解(記為):,則把這組解就稱作為的矩預(yù)計量,其看見值稱為矩預(yù)計值.矩預(yù)計的另一種觀點:首先在方程組,,中,求解出解,;然后將其中的用替換,得到,()稱()為()的矩預(yù)計量;將樣本值代入得矩預(yù)計值.按照依概率收斂的隨機變量的性質(zhì)，可知，()。()。(或從方程組,,中,求解出解,;將其中的用替換,得到,()稱()為()的矩預(yù)計量;將樣本值代入得矩預(yù)計值.)設(shè)總體的概率密度為,為來自于總體的樣本,為樣本值,求的矩預(yù)計。解先求總體矩，然后令,即得,即有,解之得，把作為的矩預(yù)計量,作為的矩預(yù)計值.有一批零件，其長度，現(xiàn)從中任取4件，測得長度（單位：mm）分離為12.6,13.4,12.8,13.2。試預(yù)計和的值。解因為，總體矩，令，，則得，，于是，分離為和的矩預(yù)計量；將樣本值代入,得和的預(yù)計值分離為13(mm)和0.133(mm)。對于由總體矩和樣本矩作等式的原則，總體矩和樣本矩都有多種，要用同樣種類的矩列出等式。多個參數(shù)時，列等式的方式不唯一，因此，矩預(yù)計的方式不是唯一的.例如兩個參數(shù)情形的矩預(yù)計,可有如下幾種方式:,或,或.例4設(shè)總體的概率密度為,（），，求的矩預(yù)計量.解法一固然中僅含有一個參數(shù)，但因，不含，不能由此解出，需繼續(xù)求總體