第一章高等數(shù)學(xué)（二十五）

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)第五節(jié)矩陣的特征值與特征向量1．定義設(shè)是階方陣，倘若存在數(shù)和維非零向量，使得成立，則稱為的特征值，是對(duì)應(yīng)特征值的特征向量。稱行列式為的特征多項(xiàng)式,稱為的特征方程，特征方程的根就是的的特征值；稱矩陣為的特征矩陣，以它為系數(shù)矩陣的方程組一定有非零解，它的解就是對(duì)應(yīng)特征值的特征向量?！纠}11-1】已知3維列向量滿意，設(shè)3階矩陣，則：(A)是的屬于特征值的特征向量(B)是的屬于特征值的特征向量(C)是的屬于特征值的特征向量(D)是的屬于特征值的特征向量解：因，由特征值、特征向量的定義，是的屬于特征值的特征向量，故應(yīng)選(C)?！纠}11-2】設(shè)是3階實(shí)對(duì)稱矩陣，是3階可逆矩陣，,已知是的屬于特征值的特征向量，則的屬于特征值的特征向量是：(A)(B)(C)(D)解：由是的屬于特征值的特征向量，有，而所以向量是矩陣的屬于特征值的特征向量，應(yīng)選(B).2．重要結(jié)論（1)設(shè)為的特征值，是屬于特征值的特征向量，則矩陣的特征值分離為，且特征向量都是。（2）倘若是矩陣的互不相同的特征值，則其對(duì)應(yīng)的特征向量一定是線性無(wú)關(guān)的。異常地，當(dāng)是對(duì)稱陣時(shí)，特征向量是正交的。【例題11-3】已知階可逆矩陣的特征值為，則矩陣的特征值是:(A)(B)(C)(D)解：由矩陣特征值的性質(zhì)，的特征值為，的特征值為，應(yīng)選(C).【例題11-4】設(shè)為三階實(shí)對(duì)稱陣的特征值，屬于的特征向量為則屬于的特征向量是：(A)（B）（C）（D）解：因?yàn)閷?shí)對(duì)稱陣，故屬于不同特征值的特征向量是正交的，設(shè)，則解方程組，得，故應(yīng)選A。該題也可用下面主意求解，記則而其他選項(xiàng)都不滿意這個(gè)條件，故選A。第六節(jié)相似矩陣及矩陣的對(duì)角化1．相似矩陣的概念與性質(zhì)（1)定義:設(shè)、為兩個(gè)階方陣，倘若存在一個(gè)可逆矩陣使得成立，則稱矩陣與相似，記為。并稱可逆矩陣為將變?yōu)榈南嗨谱儞Q陣。（2)性質(zhì):倘若,則有①為正整數(shù))②,即相似矩陣有相同的特征值。③,即相似矩陣行列式的值相等，從而相似矩陣同時(shí)可逆或不可逆。④相似矩陣有相同的秩?！纠}11-4】已知矩陣與相似，則等于：(A)(B)(C)(D)解：矩陣和相似，則有相同的特征值，由解得矩陣的特征值為，故有，應(yīng)選(A).2．矩陣的相似對(duì)角化（1）定義：設(shè)是階方陣，若與對(duì)角陣相似，則稱可以相似對(duì)角化。這時(shí)對(duì)角陣中對(duì)角線上的元素就是的特征值，而相似變換陣的列向量就是的屬于對(duì)應(yīng)特征值的特征向量，即有，，（2）重要結(jié)論1）階矩陣可相似對(duì)角化的充足須要條件是有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。2）若有個(gè)互不相同的特征值，則可相似對(duì)角化?！纠}11-5】設(shè)三階方陣的特征值為,,,它們所對(duì)應(yīng)的特征向量分離為,令,則(A);(B);(C);(D)解：方陣有三個(gè)互不相同的特征值，故能與對(duì)角陣相似。為相似變換陣，與相似的對(duì)角陣的對(duì)角線元素就是的特征值,,，其羅列順序與特征向量在中的順序相同，故選A。第七節(jié)二次型1．基本概念（1)定義：含有個(gè)變量的二次齊次函數(shù)（即每項(xiàng)都是二次的多項(xiàng)式）稱為二次型。（2)二次型的矩陣表示:倘若取，則，于是二次型可表為。倘若記，，則有，稱該式為二次型的矩陣表示。這里有，即為對(duì)稱矩陣，稱為二次型的矩陣，稱矩陣的秩為二次型的秩，記為。例如：二次型的矩陣。（3)合同矩陣:設(shè),為兩個(gè)階實(shí)對(duì)稱陣陣,倘若存在一個(gè)可逆矩陣使得成立,則稱矩陣與合同，記為。【例題11-6】設(shè)，與合同的矩陣是：(A)(B)(C)(D)解：取，則，而，故選(A)。2．二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形（1）定義：倘若二次型中只含有變量的平方項(xiàng)，所有混合項(xiàng)的系數(shù)全是零，即這樣的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)形。異常地形如標(biāo)準(zhǔn)型，稱為二次型的規(guī)范形。其中為的秩，為正慣性指數(shù),為負(fù)慣性指數(shù)。（2）結(jié)論：任一實(shí)二次型都可經(jīng)合同變換化為規(guī)范形,且規(guī)范性是惟一的。3．二次型的正定性及正定矩陣（1)定義：倘若實(shí)二次型對(duì)隨意一組不全為零的實(shí)數(shù)，都有，則稱該二次型為正定二次型，正定二次型的矩陣稱為正定矩陣。（2）重要結(jié)論：1）合同變換不改變二次型的正定性。2)二次型是正定二次型的充足須要條件是：正慣性指數(shù)為或的特征值都大于零或的各階順序主子式大于零?！纠?/p>